因式分解經典講義(精)

./第二章分解因式[知識要點]1．分解因式〔1概念：把一個________化成幾個___________的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.〔2注意：①分解因式的實質是一種恒等變形,但并非所有的整式都能因式分解.②分解因式的結果中,每個因式必須是整式.③分解因式要分解到不能再分解為止.2．分解因式與整式乘法的關系整式乘法是____________________________________________________；分解因式是____________________________________________________；所以,分解因式和整式乘法為_______關系.3．提公因式法分解因式〔1公因式：幾個多項式__________的因式.〔2步驟：①先確定__________,②后__________________.〔3注意：①當多項式的某項和公因式相同時,提公因式后該項變?yōu)?.②當多項式的第一項的系數是負數時,通常先提出""號.4．運用公式法分解因式〔1平方差公式：_________________________〔2完全平方公式：_________________________注：分解因式還有諸如十字相乘法、分組分解法等基本方法,做為補充講解內容.[考點分析]考點一：利用提公因式法分解因式及其應用[例1]分解因式：〔1〔2〔3〔4解析：〔1題先提一個""號,再提公因式；〔2題的公因式為；〔3題的公因式為；〔4題的公因式為.答案：〔1；〔2；〔3；〔4.[例2]〔1已知,,求的值.〔2已知,,求的值.解析：〔1題：,所以考慮整體代入求該代數式的值；〔2題：,整體代入求值時注意符號.答案：〔1〔2[隨堂練習]1．分解因式：〔1〔2〔3〔42．不解方程組,求的值注：〔1公因式應按"系數大〔最大公約數,字母同,指數低"的原則來選取.〔2當多項式的某項和公因式相同時,提公因式后該項變?yōu)?,而不是沒有.〔3當多項式的第一項的系數是負數時,通常先提出""號.〔4利用分解因式整體代入往往應用于代數式的求值問題.考點二：利用平方差公式分解因式及其應用[例3]分解因式：〔1〔2解析：〔1題：原式從整體看符合平方差公式,所以整體套用平方差公式；〔2題：,所以符合平方差公式,此題注意分解完全.答案：〔1；〔2.[例4]計算：〔1；〔2.解析：〔1題：原式中每一個因式符合平方差公式,可以借助分解因式簡化計算.〔2題：先化簡,再使用平方差公式.答案：〔1；〔2.[例5]利用因式分解說明：能被整除.解析：對于符號相反的二項式,我們考慮使用平方差公式.此種題型應先將兩項化為底數相同的情況,再利用提取公因式法和平方差公式進行因式分解,最后湊出除數.所以能被140整除.[隨堂練習]1．分解因式：〔1〔22.利用分解因式說明：能被60整除.注：〔1平方差公式的結構特征是：二項式,兩項都是平方項,且兩項符號相反；〔2公式中的可以是具體數,也可以是代數式；〔3在運用平方差公式的過程中,有時需要變形.考點三：利用完全平方公式分解因式及其應用[例6]〔1分解因式：〔2已知是完全平方式,求的值.〔3計算：.解析：〔1題：原式要先提取公因式,再利用完全平方差公式進行分解.〔2題：此種題型考察完全平方公式的特征,中間項是首尾兩項底數積的2倍〔或其相反數.〔3題：.答案：〔1；〔2；〔3[例7]〔XX·XX已知,那么的值是________.解析：原式的前三項可以進行因式分解,分解為,再將變形為,整體代入求值.答案：1．[隨堂練習]1．〔1分解因式：〔2若多項式能運用完全平方差公式進行因式分解,求的值.〔32．〔1已知：,,求代數式.〔2當時,求代數式的值.注：〔1完全平方公式的結構特征是：三項式,首尾兩項分別為兩個數的平方,中間項是兩個底數積的2倍〔或其相反數；〔2公式中的可以是具體數,也可以是代數式；考點四：綜合利用各種方法分解因式及其應用[例8]分解因式：〔1〔2解析：〔1、〔2題都應先利用完全平方公式,再利用平方差公式進行因式分解.答案：〔1；〔2.[例9]〔XX·XX給出三個多項式：,請選擇你最喜歡的兩個多項式進行加減運算,使所得整式可以因式分解,并進行因式分解.解析：本題是一道開放題,只要所得整式可以因式分解.本題可任取兩個多項式進行加法運算再因式分解.如：[例10]已知分別是三角形ABC的三邊,試證明解析：已知分別是三角形ABC的三邊,可以想到利用三角形的三邊關系,再由不等式的左邊是平方差形式,可想到利用平方差公式分解因式.由三角形三邊關系可知,上式的前三個因式大于0,而最后一個因式小于0,則有：[隨堂練習]1．分解因式：〔1〔22.〔2009,XX在三個整式：中,請你任意選出兩個進行加〔或減法運算,使所得整式可以因式分解,并進行因式分解.注：分解因式的一般步驟可歸納為："一提、二套、三查".一提：先看是否有公因式,如果有公因式,應先提取公因式；二套：再考察能否運用公式法分解因式；運用公式法,首先觀察項數,若為二項式,則考慮用平方差公式；若為三項式,則考慮用完全平方公式.三查：分解因式結束后,要檢查其結果是否正確,是否分解徹底.[鞏固提高]一、選擇題1．下列從左到右的變形中,是分解因式的有〔①②③④⑥⑦=A、1個B、2個C、3個D、4個2．下列多項式能分解因式的是〔A、B、C、D、3．下列多項式中,不能用完全平方公式分解因式的是〔A、B、C、D、4．是△ABC的三邊,且,那么△ABC的形狀是〔A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等邊三角形5．如果是一個完全平方式,那么的值是〔A、B、C、D、6．已知多項式分解因式為,則的值為〔 A、B、 C、D、7．已知,則的值是〔A、或B、C、D、或8．若,則是〔A、B、C、D、9．已知二次三項式可分解為兩個一次因式的積,下面說法中錯誤的是〔A、若,則同取正號；B、若,則同取負號；C、若,則異號,且負的一個數的絕對值較大；D、若,則異號,且負的一個數的絕對值較大.10．已知,,,則多項式的值為〔A、B、C、D、二、填空題11.分解因式：=.12．在括號前面填上"＋"或"－"號,使等式成立：13．若是一個完全平方式,則的值是；14．已知：,那么的值為_____________.15．△ABC的三邊滿足,則△ABC的形狀是__________.16.觀察圖形,根據圖形面積的關系,不需要連其他的線,便可以得到一個用來分解因式的公式,這個公式是.17．若,則=___________.18．分解因式:________________________.<第16題圖>19．若,則___________,___________.20．若,則___________.三、解答題21.分解因式：〔1〔2〔3〔4〔5〔6〔7 〔822．先分解因式,再求值：已知,求的值23．設,,,〔為大于零的自然數.探究是否為8的倍數,并用文字語言表達你所得到的結論.24．對于實數,定義一種新運算：,分解因式：25．閱讀下列計算過程：99×99+199=992+2×99+1=〔99+12=1002=104〔1計算：999×999+1999=____________=_____________=____________=_____________；9999×9999+19999=__________=_____________=____________=_____________..第三章分式[知識要點]1．分式的概念及特征：、表示兩個整式,÷就可以表示成的形式,如果中含有字母,式子就叫做分式.2．分式有意義、無意義的條件：因為不能做除數,所以在分式中,有：則有意義；則無意義.3．分式值為零的條件：分式的值為零要同時滿足：分母的值不為零,分式的值為零這兩個條件.即則有且.4.分式的符號法則：＝＝＝5.分式的運算〔1同分母分式相加減,分母不變,只把分式相加減,即=〔2異分母分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜傅姆质?然后再加減,即==注：1.無論是探求分式有意義、無意義的條件,還是分式值等于零的條件,都將轉化成解方程或不等式的問題.2.分式約分步驟：〔1找出分式的分子與分母的公因式,當分子分母是多項式時,要先把分式的分子和分母分解因式.〔2約去分子與分母的公因式.3.最簡公分母的確定：〔1當幾個分式的分母是單項式時,各分式的最簡公分母是系數的最小公倍數、相同字母的最高次冪、所有不同字母的積；〔2如果各分母都是多項式,應先把各個分母按某一字母降冪或升冪排列,再分解因式,找出最簡公分母.[考點分析]考點一：分式有意義、無意義、值等于零的條件〔重點[例1]〔2009,天津若分式的值為零,則的值等于.答案：評析：由于可得,解得或.又因為時,；時,.所以要使分式的值為零,的值只能等于.[隨堂練習]1.若分式的值為0,則x的值等于.2.若分式的值為零,則x的值等于.考點二：分式的約分[例2]〔2009,XX化簡的結果是〔A．B．C.D.答案：Ｄ評析：觀察題中所給分式,分子、分母都為多項式,且都能分解,因此應先將分子分母分解因式,再約去公因式.如注：1.在應用分式的基本性質時要充分理解＂都＂和＂同＂這兩字的含義.2.約分的結果是最簡分式或整式.[隨堂練習]1.〔2008,XX化簡的結果是〔A.B.C.D.2．化簡>的結果是〔A.B.C.D.考點三：分式的加減運算〔重點[例3]〔2009,XX分式的計算結果是〔A.B.C.D.答案：C評析：先通分化為同分母分式,再進行加法運算.+=+==注：1.同分母分式加減運算中的"把分子相加減"是指把各個分式的"分子的繁體相加減,故當分子是多項式時,應加括號.2.通分和約分是兩種截然不同的變形,約分是針對一個分式而言,通分是針對多個分式而言；約分是將一個分式簡化,通分是將一個分式化繁.[隨堂練習]〔2008,XX化簡的結果是〔A.B.C.D.考點四：分式的乘除運算[例4]〔2009,XX已知,計算評析：因為,所以且,即原式==,當時,原式=注：先化簡再求值,運算更簡便,分式的乘除運算要進行到分式和分母不再有公因式為止.[隨堂練習]化簡1.2..考點五：分式的混合運算[例5]〔2010,XX化簡：評析：原式==注：1.正確運用運算法則；2.靈活運用運算規(guī)律；3.運算結果要最簡化[隨堂練習]〔2010,XX化簡：考點六：條件分式求值的常用技巧〔難點[例6]已知,則分式的值為答案:評析:由已知條件不能直接求出的值,所以考慮將已知條件向著所求代數式的方向進行變形轉化,通過整體代換解決問題.由,可得,所以,所以原式===注：條件分式求值主要方法有：1.參數法：當已知條件形如所要求值的代數式是一個含而又不易化簡的分式時,常設〔就是我們所說的參數,然后將其變形為的形式,再代入所求代數式,約分即可.2.整體代換法：若由已知條件不能直接求分式中字母的值,可考慮把已知條件和所求代數式進行適當的變形,然后整體代換,可使問題得到解決．[隨堂練習]已知,求代數式的值若,則的值[鞏固提高]一、選擇題1．〔2009,XX計算：的結果是〔A.B.C.D.2．〔2009,威海化簡>的結果是〔A.B.C.D.3．若,則等于〔A.B.C.D.4．〔2010,XX化簡的結果是〔A.B.C.D.5．〔2009,XX化簡的結果是〔A.B.C.D.二、填空題6．計算：7．〔2009,XX若分式無意義,則實數8．〔2010,黃岡當x=2010時,代數式的值為9．在下列三個不為零的式子：中,任選兩個組成一個分式是把這個分式化簡所得結果是三、解答題10．<2010,XX>先化簡,再求值：,其中11．<2010,XX>先化簡：,當時,再從的范圍選取一個合適的整數代入求值.12．〔表格信息題按下圖的程序計算,把答案寫在表格內：→平方→〔→→〔→答案〔1填寫表格輸入輸出答案〔2請將題中的計算程序用代數式表達出來,并化簡.13．〔條件開放題請從下列三個代數式中任選兩個構造一個分式,并化簡該分式：.第四章相似三角形[知識要點]1．相似三角形對應角相等,對應邊成比例的三角形叫做相似三角形.注：〔1兩個全等三角形一定相似〔2兩個直角三角形不一定相似.兩個等腰直角三角形一定相似.〔3兩個等腰三角形不一定相似.兩個等邊三角形一定相似.2．相似比〔1相似三角形對應邊的比叫做相似比.〔2面積比等于相似比的平方.注：相似比要注意順序：如△ABC∽△A'B'C'的相似比,而∽△ABC的相似比,這時.3．相似三角形的識別〔1如果一個三角形的兩角分別與另一個三角形的兩角對應相等,那么這兩個三角形相似.〔2如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例,并且夾角相等,那么這兩個三角形相似.〔3如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例,那么這兩個三角形相似.[考點分析]考點一：相似三角形的判定[例1]如圖,∠1＝∠2＝∠3,圖中相似三角形有〔對.解析：由平行線的性質,,可知∥,,,再由相似三角形判定定理一,可得有四組三角形相似.答：4對.[隨堂練習]1．如圖,已知：△ABC、△DEF,其中∠A＝50°,∠B＝60°∠C＝70°,∠D＝40°,∠E＝60°,∠F＝80°,能否分別將兩個三角形分割成兩個小三角形,使△ABC所分成的每個三角形與△DEF所分成的每個三角形,分別對應相似？如果可能,請設計一種分割方案；若不能,說明理由.考點二：相似三角形的識別、特征在解題中的應用[例2]〔2008·XX省如圖所示,四邊形ABCD是平行四邊形,點F在BA的延長線上,連結CF交AD于點E.〔1求證：△CDE∽△FAE；〔2當E是AD的中點,且BC＝2CD時,求證：∠F＝∠BCF.解析：由AB∥DC得：∠F＝∠DCE,∠EAF＝∠D∴△CDE∽△FAE,又E為AD中點∴DE＝AE,從而CD＝FA,結合已知條件,易證BF＝BC,∠F＝∠BCF〔1∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD∴∠F＝∠DCE,∠EAF＝∠D∴△CDE∽△FAE〔2∵E是AD中點,∴DE＝AE由〔1得：∴CD＝AF∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB＝CD∴AB＝CD＝AF∴BF＝2CD,又BC＝2CD∴BC＝BF∴∠F＝∠BCF注：平行往往是證兩個三角形相似的重要條件,利用比例線段也可證明兩線段相等.[隨堂練習]1．已知：如圖<a>,在梯形ABCD中,AD∥BC,對角線交于O點,過O作EF∥BC分別交AB,DC于E,F.求證：<1>OE=OF;<2>;<3>若MN為梯形中位線,求證AF∥MC.考點三：未知數的設定應用[例3]在梯形ABCD中,∠A＝90°,AD∥BC,點P在線段AB上從A向B運動,〔1是否存在一個時刻使△ADP∽△BCP；〔2若AD＝4,BC＝6,AB＝10,使△ADP∽△BCP,則AP的長度為多少？解析：〔1存在〔2若△ADP∽△BCP,則設或或或∴AP長度為4或6[隨堂練習]1．如圖,有一批形狀大小相同的不銹鋼片,呈直角三角形,已知∠C＝90°,AB＝5cm,BC＝3cm,試設計一種方案,用這批不銹鋼片裁出面積達最大的正方形不銹鋼片,并求出這種正方形不銹鋼片的邊長.考點四：直角三角形相似的比例關系[例4]已知：如圖,RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,DE⊥AC于E,DF⊥BC于F.求證：<1>；<2>;<3>解析：〔1掌握基本圖形"RtΔABC,∠C=90°,CD⊥AB于D"中的常用結論.①勾股定理：②面積公式：AC·BC=AB·CD③三個比例中項：,,④⑤〔2靈活運用以上結論,并掌握恒等變形的各種方法,是解決此類問題的基本途徑,如等式兩邊都乘或除以某項,都平方、立方,或兩等式相乘等.〔3學習三類問題的常見的思考方法,并熟悉常用的恒等變形方法,以及中間等量代換.第〔1題：證法一∵∴證法二∵,∴第〔2題：證法一∵,利用ΔBDF∽ΔDAE,證得,命題得證.證法二由得證法三∵∽,∴<相似三角形對應高的比等于對應邊的比>∵DE∥BC,∴∴第〔4題：證法一∵,∴,∴證法二：∵ΔADC∽ΔCDB,∴∴·證法三：∵,∴[隨堂練習]1．如圖,已知直角梯形ABCD中,∠A＝∠B＝90°,設,,作DE⊥DC,DE交AB于點E,連結EC.〔1試判斷△DCE與△ADE、△DCE與△BCE是否分別一定相似？若相似,請加以證明.〔2如果不一定相似,請指出a、b滿足什么關系時,它們就能相似？FADEBC[鞏固提高]1.如圖,已知DE∥BC,CD和BE相交于O,若,則AD：DB＝____________.2.如圖,△ABC中,CE：EB＝1：2,DE∥AC,若△ABC的面積為S,則△ADE的面積為____________.3.若正方形的4個頂點分別在直角三角形的3條邊上,直角三角形的兩直角邊的長分別為3cm和4cm,則此正方形的邊長為____________.〔2000年XX市中考題4.閱讀下面的短文,并解答下列問題：我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等,但形狀完全相同,就把它們叫做相似體.如圖,甲、乙是兩個不同的正方體,正方體都是相似體,它們的一切對應線段之比都等于相似比：,設分別表示這兩個正方體的表面積,則,又設分別表示這兩個正方體的體積,則.〔1下列幾何體中,一定屬于相似體的是〔A.兩個球體 B.兩個圓錐體C.兩個圓柱體D.兩個長方體〔2請歸納出相似體的3條主要性質：①相似體的一切對應線段〔或弧長的比等于____________；②相似體表面積的比等于____________；③相似體體積的比等于____________.〔2001年XX省XX市中考題5.如圖,鐵道口的欄桿短臂長1m,長臂長16m,當短臂端點下降0.5m時,長臂端點升高〔A.11.25m B.6.6m C.8m6.如圖,D為△ABC的邊AC上的一點,∠DBC＝∠A,已知,△BCD與△ABC的面積的比是2：3,則CD的長是〔A. B. C. D.7.如圖,在正三角形ABC中,D、E分別在AC、AB上,且,AE＝BE,則有〔A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD〔2001年XX市中考題8.如圖,已知△ABC中,DE∥FG∥BC,且AD：FD：FB＝1：2：3,則等于〔A.1：9：36 B.1：4：9C.1：8：27 D.1：8：369.如圖,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ACD＝∠B