第一章高等數(shù)學（十六）

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁第8章無窮級數(shù)第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)1.基本概念(1)定義：給定數(shù)列{}，稱式子為常數(shù)項無窮級數(shù)（簡稱級數(shù)）.(2）收斂與發(fā)散：對于級數(shù)，記，稱為級數(shù)的部分和數(shù)列，倘若，則稱級數(shù)收斂，其和為S，倘若不存在，則稱級數(shù)發(fā)散。(3）絕對收斂與條件收斂：若收斂，則稱級數(shù)絕對收斂；若收斂，但發(fā)散，則稱級數(shù)條件收斂.2.基本性質(1）與具有相同斂散性.(2）設,,則收斂，且(3）在級數(shù)的隨意位置加、減有限項不改變斂散性,但和會發(fā)生變化。(4）收斂級數(shù)隨意加括號所得的新級數(shù)仍收斂，且其和不變。一個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)若發(fā)散，則原級數(shù)一定發(fā)散。一個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)收斂，則原級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。(5）級數(shù)收斂須要條件:若收斂，則倘若，則級數(shù)一定發(fā)散。幾個重要結論(1）幾何級數(shù)時收斂，時發(fā)散.(2）調和級數(shù)發(fā)散(3）P－級數(shù)時收斂，時發(fā)散.(4）級數(shù)時)絕對收斂；時條件收斂；時發(fā)散.【例題8-1】級數(shù)收斂的充足須要條件是：（A）；（B）；（C）；（D）存在（其中）解：由級數(shù)收斂的定義知，部分和數(shù)列的極限存在，是級數(shù)收斂的充足須要條件，故應選（D）。是級數(shù)收斂的須要條件，但不是充足條件；和是正項級數(shù)收斂的充足條件，但不是須要的?！纠}8-2】若級數(shù)收斂，則下列級數(shù)中不收斂的是：（A）（B）（C）；（D）解：由級數(shù)收斂，利用收斂級數(shù)的性質知和都收斂；再由和收斂知收斂；故應選（D）。事實上，由級數(shù)收斂，有，，但級數(shù)發(fā)散?！纠}8-3】已知級數(shù)是收斂的，則下列結果成立的是：（A）必收斂（B）未必收斂（C）；（D）發(fā)散解：級數(shù)是由級數(shù)加括號而得的級數(shù)，故收斂，無法得到關于級數(shù)斂散的結果，故應選（B）。該題也可通過舉例說明，例如由收斂，但級數(shù)發(fā)散;收斂，而也收斂。4.數(shù)項級數(shù)審斂法(1）正項級數(shù)審斂法1）正項級數(shù)收斂的充足須要條件是其部分和數(shù)列有上界。2）比較審斂法設和均為正項級數(shù)1°若收斂，且（從某項開始），則收斂；2°若發(fā)散，且（從某項開始），則發(fā)散。3）比較審斂法的極限形式設和均為正項級數(shù)，若，則1°時，與同斂散2°時，若收斂，則收斂3°時，若發(fā)散，則發(fā)散4）比值（根值）審斂法對于正項級數(shù)，若，則時收斂；時發(fā)散。對于正項級數(shù)，若，則時收斂；時發(fā)散。注：當這個主意失效。(2）交錯級數(shù)審斂法形如或的級數(shù)稱為交錯級數(shù)。若交錯級數(shù)滿意條件：1°2°則該交錯級數(shù)收斂?！纠}8-4】下列各級數(shù)中發(fā)散的是：(A)(B)(C)(D)解：因為，而比少一項，他們有相同的斂散，是的p-級數(shù)發(fā)散，故發(fā)散，應選(A).其它三個選項與上題基本相同，都是收斂的。【例題8-5】級數(shù)滿意下列什么條件時收斂：（A）（B）（C）發(fā)散（D）單調增且解：當單調增且，時，有單調減且，這時收斂，故選D。【例題8-