新教材新高考2024年高考數(shù)學一輪復習高頻考點精講精練 第12講 拓展五：利用洛必達法則解決導數(shù)問題 高頻精講（解析版）

第12講拓展五：利用洛必達法則解決導數(shù)問題(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點必背 1第二部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：洛必達法則的簡單計算 3高頻考點二：洛必達法則在導數(shù)中的應用 5第一部分：知識點必背一、型及型未定式1、定義：如果當（或）時，兩個函數(shù)與都趨于零（或都趨于無窮大），那么極限（或）可能存在、也可能不存在.通常把這種極限稱為型及型未定式.2、定理1（型）：（1）設(shè)當時，及；（2）在點的某個去心鄰域內(nèi)（點的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)）都有，都存在，且；（3）；則：.3、定理2（型）：若函數(shù)和滿足下列條件：(1)及；

(2)，和在與上可導，且；

(3)，那么.4、定理3（型）：若函數(shù)和滿足下列條件：(1)及；

(2)在點的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導且；

(3)，那么=.5、將上面公式中的,,,洛必達法則也成立.6、若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止:,如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則.二、型、、、型1、型的轉(zhuǎn)化：或；2、型的轉(zhuǎn)化：3、、型的轉(zhuǎn)化：冪指函數(shù)類第二部分：高頻考點一遍過高頻考點一：洛必達法則的簡單計算典型例題例題1、求【答案】0解析：不適合條件，需轉(zhuǎn)化：故答案為：0例題2、求【答案】解析：故答案為：例題3．（2023·全國·高三專題練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【詳解】，故選：D例題4．（2023·全國·高三專題練習）我們把分子，分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當時，的極限即為型，兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法（洛必達法則），用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則______．【答案】2【詳解】由題可得.故答案為：2.練透核心考點1．求【答案】1【詳解】故答案為：1.2．求【答案】【詳解】3．（2023·廣東韶關(guān)·?？寄M預測）年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有______．【答案】【詳解】由題意可得：．故答案為：.4．（2023·黑龍江雞西·高三校考階段練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則________．【答案】##0.5【詳解】故答案為：高頻考點二：洛必達法則在導數(shù)中的應用典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)，(1)若，（為常數(shù)），求的解析式；(2)在（1）條件下，若當時，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因為，，所以，，解得，所以；（2）由（1）可知，時，，此時，；故時，成立時，成立，對恒成立，即對恒成立；記，則，記，則，記，則，∴當0時，，在上單調(diào)遞增；，所以在上單調(diào)遞增；；∴時，0，即在上單調(diào)遞增；記，，當時，，符合洛必達法則條件，∴，∴時，，∴．例題2．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考階段練習）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在點處的切線經(jīng)過點，求實數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程有唯一的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1），所以在點處的切線的斜率，又，所以切線的方程為：，即，由經(jīng)過點可得：.（2）易知為方程的根，由題只需說明當和時原方程均沒有實數(shù)解即可.①當時，若，顯然有，而恒成立，此時方程顯然無解若，，，令，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減故在單調(diào)遞減從而，，此時方程也無解.若，由，記，則，設(shè)，則有恒成立，所以恒成立，故令在上遞增，在上遞減，可知原方程也無解由上面的分析可知時，，方程均無解.②當時，若，顯然有，而恒成立，此時方程顯然無解若，和①中的分析同理可知此時方程也無解.若，由，記，則，由①中的分析知，故在恒成立，從而在上單調(diào)遞增，如果，即，則，要使方程無解，只需，即有如果，即，此時，方程一定有解，不滿足.由上面的分析知時，，方程均無解，綜合①②可知，當且僅當時，方程有唯一解.例題3．（2023·河北邯鄲·高三大名縣第一中學校考階段練習）已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點處的切線與直線垂直.(1)求實數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：,

；函數(shù)在處取得極值，

；又曲線在點處的切線與直線垂直，；解得：；（2）不等式恒成立可化為，即；當時，恒成立；當時，恒成立，令，則；令，則；令，則；得在是減函數(shù)，故，進而（或，，得在是減函數(shù)，進而）．可得：，故，所以在是減函數(shù)，而要大于等于在上的最大值，當時，沒有意義，由洛必達法得，．練透核心考點1．（2023·四川綿陽·四川省綿陽實驗高級中學?？寄M預測）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的最小值；(2)若，且對任意，都有不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴恒成立，∴，即，∴，即實數(shù)的最小值為.（2）∵，∴函數(shù)，由（1）可得在上單調(diào)遞增，故當，，即，由對任意都成立，得恒成立.即恒成立.①當，恒成立；②當，恒成立；③當時，即：恒成立；令，則∴在上單調(diào)遞增；由洛必達法則：，故，即實數(shù)的取值范圍為.初等方法解決：∵，∴函數(shù)，∵，∴.對于任意，令，則①當，即時，，∴在上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴，符合題意，∴.②當，即時，令，于是.∵，∴，∴，∴在上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴，即，∴.①當，即時，，∴在上為單調(diào)遞增函數(shù)，于是，符合題意，∴.②當，即時，存在，使得當時，有，此時在上為單調(diào)遞減函數(shù)，從而，不能使恒成立，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.2．（2023·全國·高三專題練習）若不等式對于恒成立，求的取值范圍.【答案】【詳解】當時，原不等式等價于.記，則.記，則.因為，，所以在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，且.因此在上單調(diào)遞減，且，故，因此在上單調(diào)遞減.由洛必達法則有，即趨向于0時，趨向，即有.故時，不等式對于恒成立.3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有3個不同零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)（1）時，

，令得或在時單調(diào)遞增，時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增；所以函數(shù)得單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）注意到，設(shè)，則在時有兩不同解，，令，，令，則有，是增函數(shù)，則時，，時，，所以時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，，所以時，

，時，，所以在時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，因為

，當時，，，即，當時，，并且，，并且，當時，，函數(shù)圖像如下：所以即；綜上，函數(shù)得單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，.4．（2023春·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）已知函數(shù)，且.(1)求實數(shù)a的值；(2)求證：存在唯一的極小值點，且；(3)設(shè)，.對，恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)(1)解：由題意，函數(shù)，可得其定義域為，因為，且，可得，且時函數(shù)的一個極值點，令，可得，因為，且，可得，解得，當時，，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，符合題意.所以實數(shù)的值為.(2)證明：由函數(shù)，可得，令，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，又由，，，所以，使得，當時，，即，單調(diào)遞增；當時，，即，單調(diào)遞減；當時，，即，