新教材新高考2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)精講精練 第06講 拓展一：平面向量的拓展應(yīng)用 高頻精講（解析版）

第06講拓展一：平面向量的拓展應(yīng)用(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：典型例題剖析 1高頻考點(diǎn)一：平面向量夾角為銳角（或鈍角）問(wèn)題 1角度1：兩個(gè)向量所成角為銳角 1角度2：兩個(gè)向量所成角為鈍角 4高頻考點(diǎn)二：平面向量模的最值（或范圍）問(wèn)題 7方法一：定義法 7方法二：幾何法 10方法三：三角不等式法 17方法四：坐標(biāo)法 19方法五：轉(zhuǎn)化法 24高頻考點(diǎn)三：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問(wèn)題 29方法一：定義法 29方法二：向量數(shù)量積幾何意義法 35方法三：坐標(biāo)法（自主建系法） 41方法四：積化恒等式法 47第一部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：平面向量夾角為銳角（或鈍角）問(wèn)題角度1：兩個(gè)向量所成角為銳角典型例題例題1．（多選）（2023春·河南·高一河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的值可能是（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】BC【詳解】，則.當(dāng)與同向時(shí)，，由于與的夾角為銳角，則且故選：BC例題2．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，，.(1)若，求；(2)若與的夾角為銳角，求的取值范圍.【答案】(1)或(2)【詳解】（1），，解得：或，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；綜上所述：或10（2）若共線，則，解得：或，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)同向；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)反向；若與的夾角為銳角，則，解得：且，的取值范圍為.例題3．（2023春·山西運(yùn)城·高一康杰中學(xué)校考階段練習(xí)）已知：?是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，其中=（1，2），(1)若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求在上投影向量.【答案】(1)；(2).【詳解】（1），又與的夾角為銳角，且與不平行，，解得且，實(shí)數(shù)的取值范圍是（2）由題得，，在上的投影向量為.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·湖北十堰·高一校考階段練習(xí)）若向量與的夾角為銳角，則的取值范圍為_(kāi)_．【答案】【詳解】根據(jù)題意，向量與的夾角為銳角，則且、不共線，即，解可得且，則的取值范圍為．故答案為：2．（2023春·廣東廣州·高一廣州市真光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，（）．(1)若，求t的值；(2)若，與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題可知，∵，∴，∴．（2）若，則，，∵與的夾角為銳角，∴，且與不共線，∴，解得且，∴m的取值范圍是．3．（2023春·山東濱州·高一?？茧A段練習(xí)）（1）已知，，求向量在上的投影向量的坐標(biāo)．（2）已知，若的夾角為銳角，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由題意可得：，向量在方向上的投影向量為：；（2）因?yàn)榈膴A角為銳角，所以，解得：，又當(dāng)與共線時(shí)，可得：，解得：，此時(shí)，此時(shí)與同向，需排除，所以的取值范圍是：.角度2：兩個(gè)向量所成角為鈍角典型例題例題1．（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，令與共線，則，即，即，解得，此時(shí)，，即，與反向，又與的夾角為鈍角，所以且與不反向共線，即且，解得且，故選：C例題2．（2023春·寧夏·高一六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則向量與向量的夾角為鈍角時(shí)的取值范圍是__________．【答案】且【詳解】因?yàn)椋蛄颗c向量的夾角為鈍角則，所以，且向量與向量不共線，即，解得且.故答案為：且.例題3．（2023·河南南陽(yáng)·高三南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是______．【答案】【詳解】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以，當(dāng)與的夾角為平角時(shí)，則有，則有，因?yàn)?，所以，所以x的取值范圍是，故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（2023春·江蘇·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，若的夾角為鈍角，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】夾角為鈍角，且不共線，即且，解得：且，的取值范圍為.故選：B.2．（2023春·天津和平·高一?？茧A段練習(xí)）已知，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】且【詳解】若與的夾角為鈍角,則，且與不共線，即，得且.故答案為：且.3．（2023春·江蘇徐州·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，，若向量與向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_(kāi)________．【答案】且【詳解】由題意得，向量與向量的夾角為鈍角，即，且向量與向量不共線，則，且，故，且，解得且，故答案為：且高頻考點(diǎn)二：平面向量模的最值（或范圍）問(wèn)題方法一：定義法典型例題例題1．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知在三角形中，，點(diǎn)，分別為邊，上的動(dòng)點(diǎn)，，其中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，則，而，，而的對(duì)稱(chēng)軸為，故當(dāng)時(shí)，，故選：B例題2．（2023春·吉林·高一東北師大附中?？茧A段練習(xí)）在中，，，點(diǎn)滿足，，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】3【詳解】∵，∴，則當(dāng)時(shí)，，∴.故答案為：3例題3．（2023春·江蘇常州·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，滿足：，，，則______；若為非零實(shí)數(shù)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】

【詳解】，，兩式作差可得，所以，，所以，所以．，當(dāng)，即時(shí)不等式等號(hào)成立，所以的最小值為．故答案為：；．例題4．（2023春·河南開(kāi)封·高一河南省杞縣高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量，其中，的夾角是，則____________；若為任意實(shí)數(shù)，則的最小值為_(kāi)___________．【答案】

【詳解】由題意，平面向量，其中，的夾角是，可得，則，所以，又由，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：；.練透核心考點(diǎn)1．（2023·陜西榆林·校考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)向量，的夾角為，則，易知，即所以，所以，即.故選：D.2．（2023春·江蘇淮安·高一淮陰中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，的夾角為，且，，，其中，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】，，當(dāng)時(shí)，有最小值為，故的最小值為.故答案為：3．（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量滿足.與的夾角為60°，則的取值范圍是____.【答案】【詳解】由題意可得：，則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的取值范圍是.故答案為：.方法二：幾何法典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知平面向量、、滿足，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在平面內(nèi)一點(diǎn)，作，，，則，則，因?yàn)?，則，故為等腰直角三角形，則，取的中點(diǎn)，則，所以，，所以，，因?yàn)?，所以，，則，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)、同向時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故選：B.例題2．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量均為單位向量，且．向量與向量的夾角為，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【詳解】向量,向量均為單位向量，,.如圖，設(shè).則是等邊三角形.向量滿足與的夾角為,.因?yàn)辄c(diǎn)在外且為定值,所以的軌跡是兩段圓弧,是弦AB所對(duì)的圓周角.因此：當(dāng)AC是所在圓(上述圓弧)的直徑時(shí),取得最大值|AC|,在中,由正弦定理可得:.取得最大值2.故選：D例題3．（多選）（2023春·安徽銅陵·高一銅陵一中?？茧A段練習(xí)）若均為單位向量，且，，則的值可能為（

）A．－1 B．1 C． D．2【答案】AB【詳解】由，即，而，又，即，由上圖，，，則在劣弧上，易知：，當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，所以，即，故只有A、B符合.故選：AB例題4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，，滿足，，若，則的取值范圍是_____________【答案】[11，13]【詳解】解：因?yàn)?，所以、、三點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，又，所以，所以，所以是圓的直徑，所以，所以，設(shè)、的夾角為，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，即的取值范圍?故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，，為平面向量，，且使得與所成夾角為，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)椋?，如圖所示：在平面直角坐標(biāo)系中，，，不妨設(shè)，，延長(zhǎng)到使得，則，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，，則，，則滿足題意時(shí)，，結(jié)合點(diǎn)，為定點(diǎn)，且，由正弦定理可得：，可得，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的優(yōu)弧上，當(dāng)三點(diǎn)共線，即點(diǎn)位于圖中點(diǎn)位置時(shí)，取得最大值，其最大值為，故選：A.2．（多選）（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考期末）向量滿足，，，則的值可以是（

）A．3 B．6 C．4 D．【答案】AC【詳解】解：設(shè)，，，由向量滿足，，，所以，所以.①

當(dāng)時(shí)，，即,即四點(diǎn)共圓，由余弦定理可得：，設(shè)四邊形的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，又點(diǎn)在優(yōu)弧上（不含端點(diǎn)），則，則有，則；②當(dāng)時(shí)，，則在以為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)在優(yōu)弧上（不含端點(diǎn)），則，綜合①②可得，故選：AC.3．（多選）（2023·遼寧·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）向量滿足，，，則的值可以是（

）A．3 B． C．2 D．【答案】BC【詳解】設(shè)，，，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，則①，②，第①種情況，可得點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，如圖所示：因?yàn)椋?，所以圓的半徑為1，那么；第②種情況，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，如圖所示：此時(shí)，；綜上所述：.故選：BC.4．（2023·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考）已知向量，滿足，且，若向量滿足，則的最大值為_(kāi)_______.【答案】##【詳解】因?yàn)椋?，又，，如圖，向量的終點(diǎn)在以A點(diǎn)為圓心1為半徑的圓上，又，所以的最大值為，即的最大值為.故答案為：.方法三：三角不等式法向量模的三角不等式來(lái)求解：.典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知為等邊三角形，，所在平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，所以，，由平面向量模的三角不等式可得.當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為.故選：C.例題2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)為單位向量，若向量滿足，則的最大值是____________．【答案】【詳解】試題分析：因?yàn)橄蛄繚M足，所以，當(dāng)所以＋≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值．練透核心考點(diǎn)1．（2023·安徽安慶·高一安慶一中校考）已知向量，，，滿足，，，，若，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】##【詳解】設(shè)，則，所以，，由二次函數(shù)性質(zhì)可得，，即：所以，所以的最小值為故答案為：2．（2023·遼寧大連·高一大連二十四中校考）已知向量，滿足，，則的最小值是______，最大值是______．【答案】

6

【詳解】解：，且，，當(dāng)且僅當(dāng)與反向時(shí)取等號(hào).此時(shí)的最小值為6.，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，所以的最大值為2.故答案為：6；2.3．（2023·浙江寧波·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，滿足，，，，若，則的最小值為_(kāi)_________，最大值為_(kāi)___________．【答案】

##1.4

5．【詳解】設(shè)，則，所以，，由二次函數(shù)性質(zhì)可得，，即：所以,且，所以的最小值為，最大值為.故答案為：；方法四：坐標(biāo)法典型例題例題1．（2023·四川成都·高一四川省成都市鹽道街中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知邊長(zhǎng)為1的正方形位于第一象限，且頂點(diǎn)，分別在，的正半軸上（含原點(diǎn)）滑動(dòng)，則的最大值是（

）．A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【詳解】解：當(dāng)與重合時(shí)，，此時(shí)，；當(dāng)與不重合時(shí)，設(shè)，，因?yàn)?，所以，，，，，，所以?dāng)，即時(shí)，取得最大值3.綜上可知的最大值為3.故選：C.例題2．（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，滿足，，，則的最大值是______________.【答案】【詳解】設(shè)，，，，，，則，，整理得：，所以，則，解得：，所以，故答案為：.例題3．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的坐標(biāo)為，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，且滿足，記，若的最小值為，則的最大值為_(kāi)_______．【答案】##【詳解】設(shè)點(diǎn)，由已知可得，則，化簡(jiǎn)可得，,，因?yàn)辄c(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，由可得，即，不妨設(shè)，其中，，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，令，其中，則，，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，則，所以，的最大值為.故答案為：.例題4．（2023·貴州銅仁·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，，其中，.(1)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，即，所以，即的取值范圍?（2）當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋?，即，即，所以的取值范圍?練透核心考點(diǎn)1．（2023·安徽合肥·高三安徽省肥東縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，，滿足，，則的取值范圍是___________【答案】【詳解】因，則，設(shè)，的夾角為，于是得，而，因此，，即，所以的取值范圍是.故答案為：2．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考）已知平面直角坐標(biāo)系中，向量，.(1)若，求x；(2)當(dāng)時(shí)，求的最小值【答案】(1)或(2)最小值為3(1)，，即，解得或；(2)，則當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號(hào)，故最小值為3.3．（2023·浙江寧波·高一寧波市北侖中學(xué)?？迹┮阎蛄?，，是坐標(biāo)平面上的三點(diǎn)，使得，.(1)若，的坐標(biāo)為，求；(2)若，，求的最大值.【答案】(1)(2)12(1)由題意，，∴，，∴由，則?，故；(2)由題意，，∴，，∴由，則?，即，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為12；4．（2023·安徽宣城·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，．（1）求的坐標(biāo)以及與之間的夾角；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，設(shè)與之間的夾角為，則，因?yàn)?，所以與之間的夾角為.（2），因?yàn)?，所以，故的取值范圍?方法五：轉(zhuǎn)化法典型例題例題1．（2023·山東泰安·高三新泰市第一中學(xué)?？迹┮阎蛄繚M足，，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：，，，以為y軸，為x軸，建立直角坐標(biāo)系設(shè)，，，所以，由，可得，化簡(jiǎn)可得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，原點(diǎn)到的距離為，所以的取值范圍是，即故選：C．例題2．（2023·陜西西安·高一陜西師大附中?？迹┮阎蛄?，，，滿足，與的夾角為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)在第一象限，，設(shè)，則，則，整理得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，設(shè)圓心為，又，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，取得最小值，最小值為，即的最小值為.故選：D.例題3．（2023·湖南永州·高一永州市第一中學(xué)校考）已知平面向量滿足，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，，，因?yàn)?，所以，設(shè)，，，，，所以，即，所以點(diǎn)在以為圓心，半徑的圓上，表示圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)的距離，所以的最小值為，故選：D.例題4．（2023·廣東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若向量，，，且，則的最小值為_(kāi)________．【答案】【詳解】由題設(shè)，，，又，∴，則，又，則，∴要求的最小值，即求定點(diǎn)到直線的距離，∴.故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（2023·浙江杭州·高一校聯(lián)考）已知平面向量，，且，，向量滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意設(shè)，，，，，，所以，，，設(shè)，，由得，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，，點(diǎn)在直線上，所以的最小值是圓心到直線的距離減去圓的半徑2，即．故選：B．2．（2023秋·安徽銅陵·高三銅陵一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，是平面向量，與是單位向量，且，向量滿足，則的最大值與最小值之和是（

）A． B． C．4 D．【答案】A【詳解】解：不妨設(shè)，設(shè)，向量滿足，，，所以，所以的終點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上.，設(shè)，，則，．又是單位向量，所以，所以，所以或，所以，如圖所示，的最小值為，最大值為，所以的最大值與最小值之和是.故選：A3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平面向量，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，令，，則，即，因此在為圓心，4為半徑的圓上，易知，故，即.故選：C.4．（2023·浙江舟山·高三舟山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，，，滿足，與的夾角為，且，則的最小值為（

）A． B．1C． D．

【答案】D【詳解】由題意知，，則，由可得，即，設(shè)，則，所以，所以表示以，半徑為1的圓，表示圓C上的點(diǎn)到定點(diǎn)B(-2，0)的距離，而的最小值即為圓心到定點(diǎn)B(-2，0)的距離減去半徑，如圖所示，又，所以.故選：D高頻考點(diǎn)三：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問(wèn)題方法一：定義法典型例題例題1．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，圓半徑為1，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)與的夾角為，則，，因?yàn)?，所以，故選：C例題2．（2023春·江蘇南京·高一金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，為中點(diǎn)，為圓心為、半徑為1的圓的動(dòng)直徑，則的取值范圍是__________.【答案】【詳解】，且.即設(shè)與的夾角為，則.因?yàn)?，所?故答案為：例題3．（2023春·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，且，若，則的最大值為_(kāi)____________．【答案】【詳解】設(shè)，則，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由余弦定理得：，，即，，，，即，，，，，，則當(dāng)，即時(shí)，，.故答案為：.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在中，已知，，則的最小值為（

）A．-1 B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)三角形外接圓半徑為，則，所以的外接圓半徑為1，為鈍角時(shí)，取到負(fù)值；如圖，為的中點(diǎn)，在上的投影向量為；由可知當(dāng)在上的投影長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，即與圓相切時(shí)，可取到最小值；，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為.故選：D2．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）四邊形ABCD中，，，，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．－3【答案】D【詳解】延長(zhǎng)交于，因?yàn)椋?，∴，為等邊三角形，設(shè)，則，∴，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：D.3．（2023春·安徽淮北·高一淮北一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，扇形的弧的中點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)分別在上（包括端點(diǎn)），且，，，則的取值范圍______．【答案】【詳解】如圖所示，連接、和，因?yàn)榍覟榈闹悬c(diǎn)，可得為平行四邊形，所以，設(shè)，其中，因?yàn)?，可得，，在中，可得，在中，可得，又因?yàn)榍?，所以，所以，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，且在在上單調(diào)遞減，在在上單調(diào)增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，又由，即函數(shù)的最大值為，所以的取值范圍.故答案為：.4．（2023春·江蘇宿遷·高一?？茧A段練習(xí)）在中，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的取值范圍是__________.【答案】【詳解】依題意，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，，，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以是的中位線，則，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是邊上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)作于，則，結(jié)合圖形可知：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)位置時(shí)，最小，最小為0，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)位置時(shí)，最大，最大值與相等，此時(shí)；綜上，的取值范圍是.故答案為：.5．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在如圖所示的平面圖形中，，，求：(1)設(shè)，求的值；(2)若且，求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，所以，即?）解：因?yàn)?，所以記因?yàn)?，所以，設(shè)，則所以，，所以所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，又因?yàn)椋?，所以，即的最小值為方法二：向量?shù)量積幾何意義法典型例題例題1．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)市第三十一中學(xué)校聯(lián)考）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬(wàn)象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田．已知正八邊形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是正八邊形邊上的一點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，觀察圖形可知，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在方向上的射影取最大值，且，則，所以，，故的最大值為.故選：C.例題2．（2023·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）如圖，為外接圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，，，則的最大值______.【答案】【詳解】解：由余弦定理得，所以，由正弦定理得外接圓半徑，解法1：設(shè)d是在上的投影，即，則，過(guò)點(diǎn)O作交圓于點(diǎn)P，且作于，于，如圖所示，此時(shí)在上的投影最大，即最大易得四邊形是矩形，所以則，所以的最大值為；解法2：連接，，所以，，因?yàn)?，所以所以的最大值為，故答案為：例題3．（2023·湖南衡陽(yáng)·高一統(tǒng)考）剪紙藝術(shù)是一種中國(guó)傳統(tǒng)的民間工藝，它源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，經(jīng)久不衰，已成為世界藝術(shù)寶庫(kù)中的一種珍藏．某學(xué)校為了豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，組織了剪紙比賽，小明同學(xué)在觀看了2022年北京冬奧會(huì)的節(jié)目《雪花》之后，被舞臺(tái)上一片片漂亮的“雪花”所吸引，決定用作品“雪花”參加剪紙比賽．小明的參賽作品“雪花”如圖1所示，它的平面圖可簡(jiǎn)化為圖2的平面圖形，該平面圖形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其中，為該平面圖形上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），六邊形為正六邊形，，，為等邊三角形，則的最大值為_(kāi)_______．【答案】##【詳解】可以是與在上投影向量的數(shù)量積．如圖，把題中圖2的平面圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)正六邊形的中心為，連接，，連接，交于點(diǎn)，易得，在上，．過(guò)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)作，垂足為點(diǎn)．由題意得，，所以，，所以，所以．易證四邊形為矩形，所以．易得，所以．所以當(dāng)與重合時(shí)，．故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（2023·海南·高一統(tǒng)考）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的取值范圍是__________．【答案】【詳解】解：由，可知點(diǎn)P在以AB為直徑的圓O上運(yùn)動(dòng)，設(shè)線段CO與圓O交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)CO與圓O交于點(diǎn)E，則，，．則當(dāng)點(diǎn)P與D重合時(shí)，在上的投影向量的模最小，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P與E重合時(shí)，在方向上的投影向量的模最大，此時(shí)．所以的取值范圍是．故答案為：2．（2023·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)校考）已知平面上兩定點(diǎn)A、B滿足，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別滿足，則的取值范圍是___．【答案】[－6,6]【詳解】若，由題意知：在以為圓心，1為半徑的圓上；在以為圓心，2為半徑的圓上.又，，則：最大時(shí)，同向，此時(shí)，最小時(shí)，反向，此時(shí)，綜上，的范圍為[－6,6].故答案為：[－6,6]3．（2023·廣東深圳·高一福田外國(guó)語(yǔ)高中?？迹┤鐖D，邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC的邊AC落在直線l上，AC中點(diǎn)與定點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)B與定點(diǎn)P重合.將正三角形ABC沿直線l順時(shí)針滾動(dòng)，即先以頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)B落在l上，再以頂點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù).當(dāng)滾動(dòng)到時(shí)，頂點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)__________；在滾動(dòng)過(guò)程中，的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】

##

【詳解】由題設(shè)，到過(guò)程中，B運(yùn)動(dòng)軌跡為兩段半徑為2，圓心角為的圓弧，所以B運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為，軌跡如下圖示：所以當(dāng)在軸上時(shí)最小，當(dāng)與對(duì)應(yīng)圓弧的圓心連線垂直于軸時(shí)最大，故的范圍為.故答案為：，.方法三：坐標(biāo)法（自主建系法）典型例題例題1．（2023·天津·校聯(lián)考一模）如圖所示，梯形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，若向量在向量上的投影向量的模為4，設(shè)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，且，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，梯形為直角梯形，，，即，由，同理可得，又向量在向量上的投影向量的模為4，所以，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，所以，由且可得，令，則由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增，故，由知，，故，故選：D例題2．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）剪紙是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，剪紙時(shí)常會(huì)沿著紙的某條對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折．將一張紙片先左右折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開(kāi)得到最后的圖形，若正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在四段圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，易知，以為半徑的左半圓的方程為，以為半徑的右半圓的方程為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，又因?yàn)椋?，所以?故選：B.例題3．（2023春·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，，若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，∴，∴當(dāng)時(shí)，，故答案為：．例題4．（2023春·江蘇常州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，正八邊形中，