安徽省“皖江名校聯(lián)盟”2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1安徽省“皖江名校聯(lián)盟”2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)是（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，則共軛復(fù)數(shù)是.故選：D.2.集合，集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗集合，，或，，，，所以，故選項(xiàng)A不正確；，故選項(xiàng)B不正確；或，故選項(xiàng)C不正確；，故選項(xiàng)D正確；故選：D.3.函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故將的圖像向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，（事實(shí)上為奇函數(shù)），故選：B.4.已知向量，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．5.2022年11月29日神舟十五號(hào)載人飛船發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功，開啟了我國(guó)空間站應(yīng)用發(fā)展的新階段.在太空站內(nèi)有甲，乙、丙三名航天員，按照一定順序依次出倉(cāng)進(jìn)行同一試驗(yàn)、每次只派一人、每人最多出倉(cāng)一次，且時(shí)間不超過10分鐘.若第一次試驗(yàn)不成功，返倉(cāng)后派下一人重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)，若試驗(yàn)成功終止試驗(yàn).已知甲，乙，丙10分鐘內(nèi)試驗(yàn)成功的概率分別為，，，每人試檢能否成功相互獨(dú)立，則試驗(yàn)成功的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗法一：試驗(yàn)任務(wù)不成功的的概率是，所以成功的概率是法二：不妨設(shè)按照甲乙丙順序依次出倉(cāng)進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)任務(wù)成功的事件，甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成立的事件，，，，因?yàn)槭录?，，互斥，所以試?yàn)任務(wù)成功的概率.故選：D.6.在中，，BC邊上的高等于,則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè),故選C.7.已知數(shù)列對(duì)任意滿足，則（）A.3032 B.3035 C.3038 D.3041〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，兩式相減得：，令得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，.故選：C.8.在中，，，E，F(xiàn)，G分別為三邊，，的中點(diǎn)，將，，分別沿，，向上折起，使得A，B，C重合，記為，則三棱錐的外接球表面積的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，，由題設(shè).三棱錐中，，，，將放在棱長(zhǎng)為x，y，z的長(zhǎng)方體中，如圖，則有，三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，所以，由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以外接球表面積.故選：B.二、選擇題9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是遞增數(shù)列C.數(shù)列的最小項(xiàng)為和 D.滿足的最大正整數(shù)〖答案〗ABD〖解析〗當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；.數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項(xiàng)A、B正確；，當(dāng)或時(shí)最小，即數(shù)列的最小項(xiàng)為和，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，令，得，，即滿足的最大正整數(shù)，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.10.設(shè)，，滿足，則下列說法正確的是（）A.的最大值是 B.的最小值是9C.的最小值是 D.的最小值是1〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，正實(shí)數(shù)a，b滿足，所以，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，所以有最大值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則有最小值9，故B正確；對(duì)于C，正實(shí)數(shù)a，b滿足，則，故，所以，則當(dāng)時(shí)，有最小值，故C正確；對(duì)于D，結(jié)合C可知，，則當(dāng)時(shí)，有最小值，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其上、下底面圓的半徑分別為1和3，母線長(zhǎng)為4，E是母線的中點(diǎn)，則（）A.圓臺(tái)的側(cè)面積為B.圓臺(tái)的內(nèi)切球的表面積為C.圓臺(tái)的體積為D.在圓臺(tái)側(cè)面上從到的最短路徑的長(zhǎng)度為〖答案〗ACD〖解析〗軸截面梯形的上底為2，下底為6，高為，母線長(zhǎng)為，設(shè)側(cè)面展開圖的扇環(huán)對(duì)應(yīng)的圓心為，，，所以側(cè)面展開圖是半圓環(huán)（如圖），所以圓臺(tái)的側(cè)面積，圓臺(tái)的體積.因?yàn)樘菪斡邪霃綖榈膬?nèi)切圓（兩組對(duì)邊的和相等），所以圓臺(tái)的內(nèi)切球半徑為，表面積為.在圓臺(tái)側(cè)面上從到的最短路徑，在展開圖中是線段.故選：ACD12.已知函數(shù)，則（）A.時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增B.時(shí)，若有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C.若直線與曲線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，，，且，則D.若存在極值點(diǎn)，且，其中，則〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A：求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)不相等的實(shí)根，，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，令，得，，若有3個(gè)零點(diǎn)，則極大值，極小值，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選項(xiàng)B正確.對(duì)于C：令二階導(dǎo)數(shù)，得，則三次函數(shù)的對(duì)稱中心是.當(dāng)直線與曲線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，，，且時(shí)，點(diǎn)一定是對(duì)稱中心，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于D：若存在極值點(diǎn)，則，，.令，得，因?yàn)?，于是，所以，化?jiǎn)得：，因?yàn)?，故，于，?故選項(xiàng)D正確.故選：BD.三、填空題13.在一次籃球比賽中，某支球隊(duì)共進(jìn)行了8場(chǎng)比賽，得分分別為29，30，38，25，37，40，42，32，那么這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為______.〖答案〗39〖解析〗8場(chǎng)比賽的得分從小到大排列為：25，29，30，32，37，38，40，42，因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)為.故〖答案〗為：3914.設(shè)向量和滿足，，則的值為__________.〖答案〗2〖解析〗因?yàn)?，所以，，所?故〖答案〗為：215.已知函數(shù)，若不等式恒成立，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，，由函數(shù)單調(diào)性可得.所以，構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，所以恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)取得極大值也是最大值，因此，所以，的最小值為.故〖答案〗為：.16.若是關(guān)于的方程（a，b都是整數(shù)）的一個(gè)實(shí)根，則__________.〖答案〗0〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，又，所以，又因?yàn)?，所以，，則.故〖答案〗為：0四、解答題17.函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域.解：（1）觀察圖象可得，函數(shù)的周期，解得，即，由，得，即，，而，則，所以函數(shù)的〖解析〗式是.（2）將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以，因此在上的值域?yàn)?18.從2021年秋季學(xué)期起，安徽省啟動(dòng)實(shí)施高考綜合改革，實(shí)行高考科目“”模式，“3”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考學(xué)科，以原始分?jǐn)?shù)計(jì)入高考成績(jī)；“1”指考生從物理、歷史兩門學(xué)科中“首選”一門學(xué)科，以原始分?jǐn)?shù)計(jì)入高考成績(jī)；“2”指考生從政治、地理、生物、生物四門學(xué)科中“再選”兩門學(xué)科，以等級(jí)分計(jì)入高考成績(jī).按照方案，再選學(xué)科的等級(jí)分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績(jī)從高到低劃分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：等級(jí)ABCDE人數(shù)比例15%35%35%13%2%賦分區(qū)間將各等級(jí)內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級(jí)分，轉(zhuǎn)換公式為，其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，，分別表示等級(jí)賦分區(qū)間的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等級(jí)分，規(guī)定原始分為時(shí)，等級(jí)分為.某次生物考試的原始分最低分為45，最高分為94，呈連續(xù)整數(shù)分布，分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同.（1）根據(jù)頻率分布直方圖求a，b的值，并估計(jì)此次生物考試原始分的平均值；（2）按照等級(jí)分賦分規(guī)則，估計(jì)此次考試生物成績(jī)A等級(jí)的原始分區(qū)間；（3）用估計(jì)的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學(xué)生生物成績(jī)的原始分為83，試計(jì)算其等級(jí)分.解：（1）由題意知：，解得，故每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以生物原始分的平均值等于分.（2）由頻率分布直方圖知，原始分成績(jī)位于區(qū)間的占比為，位于區(qū)間的占比為，因?yàn)槌煽?jī)等級(jí)占比為，所以等級(jí)的原始分區(qū)間最低分位于區(qū)間，估計(jì)等級(jí)的原始分區(qū)間的最低分為分，已知最高分為94，所以估計(jì)此次考試生物成績(jī)等級(jí)的原始分區(qū)間為.（3）由，解得，該學(xué)生的等級(jí)分為89分.19.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，，點(diǎn)在線段上，，平面平面．（1）求四面體的體積；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的平行線，在菱形中，為等邊三角形，又底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，，且，又平面平面，平面平面平面，平面，又平面，又平面，又，如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，，取的中點(diǎn)，連接，則，，，設(shè)，則，由，得，即，設(shè)，則，，，；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得取，又，∴直線與平面所成角的正弦值為：.20.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足.（1）求；（2）若角的平分線交于點(diǎn)，且，求面積的最小值.解：（1）由已知和正弦定理可得：，所以.又因?yàn)?，，所以或?當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，與題設(shè)不符.綜上所述，.（2）面積，由是角平分線，，因?yàn)?，得，即，由基本不等式，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以面積.故面積的最小值.21.已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：對(duì)任意成立.（1）證明：由已知得，因此，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，因此，所以.（2）證明：由已知，，，…，顯然單調(diào)遞增，.當(dāng)且是奇數(shù)時(shí)，，所以.當(dāng)且是偶數(shù)時(shí)，則是奇數(shù)，有，所以，對(duì)任意，.22.設(shè)函數(shù)