北京市大興區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1北京市大興區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題）一?選擇題1.已知全集，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，，則.故選：C.2.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，則，所以復(fù)數(shù)的虛部是．故選：A．3.二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A. B.15 C.20 D.〖答案〗B〖解析〗展開式通項(xiàng)為：，令，常數(shù)項(xiàng)為．故選：B.4.設(shè)向量，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：D.5.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，即，令，且均為增函?shù)，則不等式為，在同一坐標(biāo)系下作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以由圖像可知：的解集為：，故選：B.6.在中，“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗在中，，則，充分性：當(dāng)時(shí)，，，，所以“”是“”的充分條件;必要性：當(dāng)時(shí)，取，，此時(shí)滿足，但，所以“”是“”的不必要條件.綜上所述，“”是“”充分不必要條件.故選：A.7.已知定點(diǎn)和拋物線是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的點(diǎn)，則的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗由題拋物線是拋物線的焦點(diǎn)，則，準(zhǔn)線方程為，是拋物線上的點(diǎn)，過作垂直準(zhǔn)線于，過作垂直準(zhǔn)線于交拋物線于，則由拋物線定義知，由圖像可知,即的最小值的最小值為，由，準(zhǔn)線方程為，所以.故選：C8.已知且，則下列結(jié)論中不正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)A：，故A正確；對(duì)B：由，則，故，故B正確；對(duì)C：由，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由，故等號(hào)不成立，即，故C正確；對(duì)D：當(dāng)、時(shí)，符合題意，但此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：D.9.木楔在傳統(tǒng)木工中運(yùn)用廣泛.如圖，某木楔可視為一個(gè)五面體，其中四邊形是邊長為2的正方形，且均為等邊三角形，，，則該木楔的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，分別過點(diǎn)A，B作的垂線，垂足分別為G，H，連接，則由題意等腰梯形全等于等腰梯形，則.取的中點(diǎn)O，連接，因?yàn)?，所以，則，∴因?yàn)?，，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，所以平面，同理可證平面，∴多面體的體積，故選：D.10.設(shè)無窮等差數(shù)列的公差為，集合.則（）A.不可能有無數(shù)個(gè)元素B.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)元素C.當(dāng)只有2個(gè)元素時(shí)，這2個(gè)元素的乘積有可能為D.當(dāng)時(shí)，最多有個(gè)元素，且這個(gè)元素的和為0〖答案〗D〖解析〗選項(xiàng)，取，則，由，因?yàn)槭菬o窮等差數(shù)列，正弦函數(shù)是周期為的函數(shù)，所以在每個(gè)周期上的值不相同，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)，取，即，則，只有一個(gè)元素，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)，假設(shè)只有2個(gè)元素，，這2個(gè)元素的乘積為，如圖可知當(dāng)?shù)扔诨驎r(shí)，顯然不是等差數(shù)列，與已知矛盾，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)，當(dāng)時(shí),，，，，，，，所以最多有個(gè)元素，又因?yàn)檎液瘮?shù)的周期為，數(shù)列的公差為，所以把周期平均分成份，所以個(gè)元素的和為0，故正確.故選:.第二部分（非選擇題）二?填空題11.設(shè)是等比數(shù)列，，，則__________.〖答案〗16〖解析〗設(shè)，則，故.故〖答案〗為：16.12.若雙曲線的一條浙近線方程為，則__________.〖答案〗2〖解析〗雙曲線的漸近線方程為，所以故〖答案〗為：213.能夠說明“設(shè)是任意實(shí)數(shù).若，則”是假命題的一組整數(shù)的值依次為__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗當(dāng)時(shí)，滿足，但是，.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）14.如圖是六角螺母的橫截面，其內(nèi)圈是半徑為1的圓，外框是以為中心，邊長為2的正六邊形，則到線段的距離為__________；若是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是__________.〖答案〗1〖解析〗取中點(diǎn)為，由于正六邊形的邊長為2，所以,因此到線段的距離為,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則,，，由于,故，故〖答案〗為：1；15.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足如下性質(zhì)：（i）若將的圖象向左平移2個(gè)單位，則所得的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，（ii）若將圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的，再向左平移個(gè)單位，則所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.〖答案〗①③④〖解析〗由（i）可得，即有關(guān)于對(duì)稱；由（ii）可得，即，用代替，有，即關(guān)于對(duì)稱；由關(guān)于對(duì)稱，故，即①正確；由關(guān)于對(duì)稱的直線為，故關(guān)于對(duì)稱，則不一定等于，故②不正確；對(duì)，令，則有，對(duì)，令，則有，故，故③正確；對(duì)，即有，對(duì)，即有，即，即，則，即有，故周期為，則，對(duì)，令，則，即，故④正確.故〖答案〗為：①③④.三?解答題16.如圖.在三棱柱中，平面，，，、分別為、的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面，所成角的正弦值.（1）證明：平面，平面，，又，且為中點(diǎn)，，又、平面，且，平面，又平面，平面平面；（2）解：取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有，由，，，則，，即、、、，則、、，令平面的法向量為，則有，可取，則，則，故直線與平面，所成角的正弦值.17.在中.（1）若，求的面積：（2）在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在，求.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（1）解：由題意可知，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以；?）解：若選①，則有且，由，可得，所以，即，不滿足題意；若選②，則有且，由，可得，所以，即，，又因?yàn)?，解得；若選③，則有且，由，可得，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以不可能為鈍角或直角，只能為銳角，所以，所以.綜上，選②或選③，.18.為了解客戶對(duì)A，B兩家快遞公司的配送時(shí)效和服務(wù)滿意度情況，現(xiàn)隨機(jī)獲得了某地區(qū)客戶對(duì)這兩家快遞公司評(píng)價(jià)的調(diào)查問卷，已知A，B兩家公司的調(diào)查問卷分別有120份和80份，全部數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：快遞公司A快遞公司B快遞公司項(xiàng)目份數(shù)評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)配送時(shí)效服務(wù)滿意度配送時(shí)效服務(wù)滿意度292416124756404844402420假設(shè)客戶對(duì)A，B兩家快遞公司的評(píng)價(jià)相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.（1）從該地區(qū)選擇A快遞公司的客戶中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該客戶對(duì)A快遞公可配送時(shí)效的評(píng)價(jià)不低于75分的概率：（2）分別從該地區(qū)A和B快遞公司的樣本調(diào)查問卷中，各隨機(jī)抽取1份，記X為這2份問卷中的服務(wù)滿意度評(píng)價(jià)不低于75分的份數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望：（3）記評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)為“優(yōu)秀”等級(jí)，為“良好”等級(jí)，為“一般”等級(jí)?已知小王比較看重配送時(shí)效的等級(jí)，根據(jù)該地區(qū)A，B兩家快遞公司配送時(shí)效的樣本評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)的等級(jí)情況，你認(rèn)為小王選擇A，B哪家快遞公司合適？說明理由，解：（1）調(diào)查問卷中共有120份，其中不低于75分的份數(shù)為，則，故可估計(jì)該客戶對(duì)A快遞公可配送時(shí)效的評(píng)價(jià)不低于75分的概率為；（2）A快遞公司的樣本調(diào)查問卷中抽取的1份服務(wù)滿意度評(píng)價(jià)不低于75分的概率為：，B快遞公司的樣本調(diào)查問卷中抽取的1份服務(wù)滿意度評(píng)價(jià)不低于75分的概率為：，X的可能取值為0，1，2，，，，故其分布列：X012P其期望；（3）A快遞公司的樣本調(diào)查問卷中“優(yōu)秀”等級(jí)占比為，“良好”等級(jí)占比為，“一般”等級(jí)占比為；B快遞公司的樣本調(diào)查問卷中“優(yōu)秀”等級(jí)占比為，“良好”等級(jí)占比為，“一般”等級(jí)占比為；其中A快遞公司的樣本調(diào)查問卷中“優(yōu)秀”或“良好”等級(jí)占比為，B快遞公司的樣本調(diào)查問卷中“優(yōu)秀”或“良好”等級(jí)占比為，我認(rèn)為小王應(yīng)該選擇B快遞公司，因?yàn)锽快遞公司中“優(yōu)秀”或“良好”等級(jí)占比比A公司大.19.已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，焦點(diǎn)在軸上，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn).求證：與的面積之比為定值.（1）解：由題意得，，則，則，則橢圓的方程為.（2）證明：顯然當(dāng)直線的斜率為0和不存在時(shí)，不合題意，則可設(shè)直線的方程為，，，則聯(lián)立橢圓方程有，化簡得，則，解得或，則，，，，，則，則直線的方程為，令，則，，則直線的方程為，令，則，則，，因?yàn)?，則同號(hào)，則.20.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）證明：是為單調(diào)函數(shù)的充分而不必要條件.（1）解：，則，即；（2）解：當(dāng)時(shí)，，則，即，又，故為奇函數(shù)，，，令，即，解得，令，即或，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，則，又，故在上必有一零點(diǎn)，由為奇函數(shù)，則在上亦有一零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)；（3）證明：，，由，故，，即當(dāng)時(shí)，，即，故，即此時(shí)在上單調(diào)遞減，故是為單調(diào)函數(shù)的充分條件；當(dāng)時(shí)，，即，故，即此時(shí)在上單調(diào)遞增，故不是為單調(diào)函數(shù)的必要條件；綜上所述，是為單調(diào)函數(shù)的充分而不必要條件.21.若各項(xiàng)為正的無窮數(shù)列滿足：對(duì)于，，其中為非零常數(shù)，則稱數(shù)列為數(shù)列.記.（1）判斷無窮數(shù)列和是否是數(shù)列，并說明理由；（2）若是數(shù)列，證明：數(shù)列中存在小于1的項(xiàng)；（3）若是數(shù)列，證明：存在正整