備戰(zhàn)2024年高考模擬數(shù)學(xué)試卷05(新高考Ⅰ數(shù)學(xué)試卷專用)(解析版)

PAGEPAGE1備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷05（新高考Ⅰ卷專用）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由題設(shè)，，所以.故選：C.2．設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限〖答案〗B〖解析〗由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則設(shè)，由得，由，得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.故選：B.3．在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗設(shè)，由題意可知：為的重心，且為的中點(diǎn)，可知四點(diǎn)共線，且，所以.故選：A.4．某地投資億元進(jìn)行基礎(chǔ)建設(shè)，年后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益為億元，若該地投資基礎(chǔ)建設(shè)4年后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的2倍，且再過(guò)年，該項(xiàng)投資產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的16倍，則（

）A．4 B．8 C．12 D．16〖答案〗C〖解析〗依題意，顯然，即，所以，則，所以，令，即，所以，即，所以，所以該地投資基礎(chǔ)建設(shè)年后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的倍，所以.故選：C.5．某大學(xué)強(qiáng)基測(cè)試有近千人參加，每人做題最終是否正確相互獨(dú)立，其中一道選擇題有5個(gè)選項(xiàng)，假設(shè)若會(huì)做此題則必能答對(duì).參加考試的同學(xué)中有一部分同學(xué)會(huì)做此題；有一半的同學(xué)完全不會(huì)，需要在5個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)蒙一個(gè)選項(xiàng)；剩余同學(xué)可以排除一個(gè)選項(xiàng)，在其余四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)蒙一個(gè)選項(xiàng)，最終統(tǒng)計(jì)該題的正答率為30%，則真會(huì)做此題的學(xué)生比例最可能為（

）A．5% B．10% C．15% D．20%〖答案〗B〖解析〗設(shè)測(cè)試總?cè)藬?shù)為，真會(huì)做此題的學(xué)生人數(shù)為，依題意，，解得.故選：B6．設(shè)函數(shù)，且在上單調(diào)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．是的一個(gè)對(duì)稱中心B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)镈．先將的圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，然后向左平移個(gè)單位得到的圖象〖答案〗C〖解析〗依題意，，，，，并化簡(jiǎn)得，，是偶數(shù)，由③得，所以，代入①得，而，所以，所以.A選項(xiàng)，，所以是的一個(gè)對(duì)稱中心，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，所以，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，先將的圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到，然后向左平移個(gè)單位得到，所以D選項(xiàng)正確.故選：C7．已知，，，則（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗，，∴.在B，C中選，比較a，b大小，令，，令，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以時(shí),，則，即，故.故選：C.8．油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮開(kāi)展油紙傘文化藝術(shù)節(jié)活動(dòng)中，某油紙傘撐開(kāi)后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示，該傘傘沿是一個(gè)半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2，當(dāng)陽(yáng)光與地面夾角為時(shí)，在地面形成了一個(gè)橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，若該橢圓的離心率為e，則（

）

A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因傘柄底端正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，由圖可知，橢圓的短半軸長(zhǎng)，在中，，由正弦定理得：，所以，

故選：D.二、多項(xiàng)選擇題9．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則（

）A．與是異面直線B．存在點(diǎn)，使得，且平面C．與平面所成角的余弦值為D．點(diǎn)到平面的距離為〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)，以作坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，由于，故與平行，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)，因?yàn)椋?，即，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，因?yàn)椋?，平面，故存在點(diǎn)，使得，且平面，B正確；C選項(xiàng)，平面的法向量為，故與平面所成角的正弦值為，則與平面所成角的余弦值為，C正確；D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，則點(diǎn)到平面的距離為，D錯(cuò)誤.故選：BC.10．已知函數(shù)，則（

）A． B．恰有5個(gè)零點(diǎn)C．必有極值點(diǎn) D．在上單調(diào)遞減〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，，錯(cuò)誤；對(duì)于B，，令得，所以或，又，所以或或或或，解得或或或或，即恰有5個(gè)零點(diǎn)，正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在異號(hào)零點(diǎn)，則在必有極值點(diǎn)，正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，，所以，所以時(shí)，所以，所以在上單調(diào)遞減，正確.故選：BCD11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，直線、分別交于、，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為 B．C．的最小值為 D．的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)于拋物線，，可得，所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若直線與軸重合，此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，所以，，，則，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，判別式為，由韋達(dá)定理可得，，同理可得，，同理可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為，D對(duì).故選：ABD.12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則（

）A．存在“90°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”B．“70°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”一定是“80°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”C．若為“45°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則D．若為“45°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，如，旋轉(zhuǎn)90°后為滿足條件，故A正確；對(duì)于B，如傾斜角為的直線是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，不是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)與C，若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，不存在與軸垂直的直線，使得直線與函數(shù)有1個(gè)以上的交點(diǎn)．故不存在傾斜角為的直線與的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．即與至多1個(gè)交點(diǎn)．聯(lián)立，可得．當(dāng)時(shí)，最多1個(gè)解，滿足題意；當(dāng)時(shí)，的判別式，對(duì)任意的，都存在使得判別式大于0，不滿足題意，故．故C正確；對(duì)與D，同C，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)小于等于1，即對(duì)任意的，至多1個(gè)解，故為單調(diào)函數(shù)，由，故恒成立，即恒成立．即圖象在上方，故，即．當(dāng)與相切時(shí)，可設(shè)切點(diǎn)，對(duì)求導(dǎo)有，故，解得，此時(shí)，故．故D正確．故選：ACD．第II卷（非選擇題）三、填空題13．已知，且，若的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則展開(kāi)式中的系數(shù)為.〖答案〗6〖解析〗展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，因?yàn)榇嬖诔?shù)項(xiàng)，所以，故只有當(dāng)時(shí)滿足題意，即求展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)，令，即，所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為6.故〖答案〗為：6.14．已知圓和兩點(diǎn)，.若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為．〖答案〗11〖解析〗由題意得：圓的圓心，半徑，∵，則點(diǎn)在以為直徑的圓上（不能是兩點(diǎn)），以為直徑的圓的圓心為，半徑，注意到圓心到y(tǒng)軸的距離為，即y軸與圓相離，由題意得：圓與圓有公共點(diǎn)（由于y軸與圓相離，公共點(diǎn)不可能為），且,則，即，解得，故的最大值為11.故〖答案〗為：1115．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).若以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓在x軸上方的部分恰好是圖像的一部分，則的〖解析〗式為.〖答案〗〖解析〗以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓的方程為，則該圓在x軸上方的部分的方程為，由是奇函數(shù)，得，當(dāng)時(shí)，，，所以的〖解析〗式為.故〖答案〗為：16．如圖，對(duì)于曲線G所在平面內(nèi)的點(diǎn)O，若存在以O(shè)為頂點(diǎn)的角，使得對(duì)于曲線G上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)恒有成立，則稱角為曲線G的相對(duì)于點(diǎn)O的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線G的相對(duì)于點(diǎn)O的“確界角”.已知曲線C：（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線C的相對(duì)于點(diǎn)O的“確界角”為，則.〖答案〗1〖解析〗函數(shù)，因?yàn)?，所以該函?shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.過(guò)原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)，由，則切線的斜率為，直線過(guò)，∴，∴，即，由函數(shù)與的圖象在有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)滿足方程，故方程有唯一解，則；過(guò)原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)，由，得切線的斜率，則切線過(guò)原點(diǎn)，則有，∴，則，則有，∴兩切線垂直，曲線C的相對(duì)于點(diǎn)O的“確界角”為，則，.故〖答案〗為：1.四、解答題17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．解：(1)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橐卜仙鲜剑裕?2)由(1)可知，所以．18．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且向量，，.(1)求角A的大?。?2)若為上一點(diǎn)，且，，求面積的最大值.解：(1)，故，即，故，整理得到，即，，故.(2)，，故為等邊三角形，即，

中：，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立..19．如圖，已知四邊形和都是直角梯形，，，，，，，且二面角的大小為．

(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)因?yàn)樗倪呅魏投际侵苯翘菪危?，，且平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?2)過(guò)點(diǎn)、分別作直線、的垂線、垂足為、．由已知和平面幾何知識(shí)易知，，，則四邊形和四邊形是矩形，所以在和中，，假設(shè)在上存在點(diǎn)，使得二面角的大小為．由(1)知平面，則是二面角的平面角，所以，所以是正三角形．取的中點(diǎn)，則，又平面，所以平面，過(guò)點(diǎn)作平行線，則以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，則，，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，又平面的法向量，所以，整理化簡(jiǎn)的，解得或（舍去）．所以存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，且．20．已知，.(1)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.(2)當(dāng)時(shí)，證明：（其中），使得.(1)解：由函數(shù)，可得，所以不是函數(shù)的零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值為，又由當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，，所以函數(shù)的圖象如圖所示，要使得函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則滿足或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.(2)解：設(shè)，即，當(dāng)，令滿足，且，若在區(qū)間單調(diào)遞增，此時(shí)，不滿足題意；若在區(qū)間單調(diào)遞減，此時(shí)，不滿足題意；所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上必有極值點(diǎn)，即存在，使得，即，即，使得.21．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)的距離和它到直線距離之比為2；(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)直線l在x軸上方與x軸平行，交曲線C于A，B兩點(diǎn)，直線l交y軸于點(diǎn)D.設(shè)OD的中點(diǎn)為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過(guò)M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點(diǎn)N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)設(shè)，由動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離和它到直線距離之比為2，可得，化簡(jiǎn)得，即，故點(diǎn)P的軌跡C的方程為；(2)設(shè)l的方程為，則，故，由已知直線PQ斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，故.與雙曲線方程聯(lián)立得：，由對(duì)應(yīng)漸近線方程為：，易判斷，得，設(shè)，，則，①，由，得：，，即，，消去得：，即②由①②得：，化簡(jiǎn)得，由已知，故存在定直線l：滿足條件.

22．（12分）某種植物感染病毒極易死亡，當(dāng)?shù)厣镅芯克鶠榇搜邪l(fā)出了一種抗病毒的制劑．現(xiàn)對(duì)20株感染了病毒的該植株樣本進(jìn)行噴霧試驗(yàn)測(cè)試藥效．測(cè)試結(jié)果分“植株死亡”和“植株存活”兩個(gè)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并對(duì)植株吸收制劑的量（單位：毫克）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．規(guī)定植株吸收在6毫克及以上為“足量”，否則為“不足量”．現(xiàn)對(duì)該20株植株樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中“植株存活”的13株，對(duì)制劑吸收量統(tǒng)計(jì)得下表．已知“植株存活”但“制劑吸收不足量”的植株共1株．編號(hào)12345678910吸收量（毫克）6838956627編號(hào)11121314151617181920吸收量（毫克）75106788469(1)補(bǔ)全列聯(lián)表中的空缺部分，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“植株的存活”與“制劑吸收足量”有關(guān)？吸收足量吸收不足量合計(jì)植株存活1植株死亡合計(jì)20(2)現(xiàn)假設(shè)該植物感染病毒后的存活日數(shù)為隨機(jī)變量（可取任意正整數(shù)）．研究人員統(tǒng)計(jì)大量數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的，存活日數(shù)為的樣本在存活日數(shù)超過(guò)的樣本里的數(shù)量占比與存活日數(shù)為1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均等于0.1，這種現(xiàn)象被稱為“幾何分布的無(wú)記憶性”．試推導(dǎo)的表達(dá)式，并求該植物感染病毒后存活日數(shù)的期望的值．附：，其中；當(dāng)足夠大時(shí)，．0.0100.