等軸雙曲線與圓相交的優(yōu)美性質_第1頁
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等軸雙曲線和圓相交時的幾個優(yōu)美性質浙江省海鹽元濟高級中學（314300）崔寶法圓與等軸雙曲線都是具有高度對稱美的曲線,經過研究筆者發(fā)現(xiàn),當它們相交時具有一些比較優(yōu)美的性質.下面列出其中幾條,并給出證明.性質一若等軸雙曲線與任意一個定半徑的圓交于四點,則其中心到這四點的距離的平方和為定值.證明:設等軸雙曲線①與圓…②交于四點、、、.由①②消去,得的四次方程,由韋達定理得:,,.同理,.(定值).性質二若等軸雙曲線與一個圓交于四點,則（1）雙曲線必過其中任意三點所構三角形的垂心；（2）第四點與垂心的連線必過雙曲線的中心.證明:(1)如圖1，不妨設等軸雙曲線與圓相交的其中三點為、、，過點A、B的直線方程為：，AB邊上的高所在直線的為：，即…①.同理，BC邊上的高所在直線為：…②.從①②可以解得垂心H的坐標為，它滿足等軸雙曲線方程，故等軸雙曲線經過這個三角形的垂心.(2)連(為坐標原點),設直線交雙曲線于點,則因為在雙曲線上,且雙曲線關于點對稱,所以與關于原點對稱,故點坐標為.，，或、、、四點共圓,故即為第四個交點；因為在直線上,所以第四點與垂心的連線過雙曲線的中心.性質三若等軸雙曲線與一個圓交于四點,且其中兩點的連線是此圓的直徑,則另兩點的連線必過雙曲線的中心,且雙曲線在這兩點處的切線都與此直徑垂直.證明：如圖2，設等軸雙曲線方程是①，圓方程為②，聯(lián)立①②,消去,整理得.設兩曲線的四個交點的坐標為,則由韋達定理有.不妨設是圓的直徑,則.同理,,將代入得.又的方程為,即.過雙曲線的中心.又易知雙曲線在點處的切線方程為,其斜率為,而的斜率為,故過點的切線與垂直;同理可證:過點的切線也與垂直.性質四以等軸雙曲線平行于實軸的弦為直徑的圓必過雙曲線的兩個頂點.證明:如圖3,設等軸雙曲線方程為,為平行于實軸的弦,點坐標為,則點坐標為.雙曲線頂點為,直線的斜率為,直線的斜率為,.點在雙曲線上,,即,故,,所以點在以為直徑的圓上.同理,點也在以為直徑的圓上.性質五若等軸雙曲線與一個圓交于四點,則這四點的平均中心(其坐標為各點坐標的算術平均數(shù))平分雙曲線中心與圓心的連線.證明:設等軸雙曲線①與圓②交于四點,①代入②,得.由韋達定理得:,,.,,所以平均中心的坐標為.而雙曲線中心與圓心的坐標分別為和,所以其連線中點坐標也是,故平均中心平分雙曲線中心與圓心的連線.性質六若以等軸雙曲線過中心的一弦為半徑，以此弦的一個端點為圓心的圓與雙曲線交于四點，則另三個交點恰好是一個等邊三角形的三個頂點.證明:如圖4,設等軸雙曲線方程為①,過雙曲線中心的弦的兩個端點為、，則以為圓心，為半徑的圓方程為②，且③.聯(lián)立①②,消去得,與③聯(lián)立,消去,得,即.設另三個交

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