長涇中學(xué)青年教師業(yè)務(wù)能力測試試卷

2007—2008學(xué)年度長涇中學(xué)青年教師素質(zhì)能力測試高中數(shù)學(xué)試卷2007-9-26本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．63 B．45 C．36 3．設(shè)和是兩個(gè)集合，定義集合，如果，，那么等于（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4．若函數(shù)的圖象按向量平移后，得到函數(shù)的圖象，則向量（）A． B． C． D．5．若是兩條異面直線外的任意一點(diǎn)，則（）A．過點(diǎn)有且僅有一條直線與都平行B．過點(diǎn)有且僅有一條直線與都垂直C．過點(diǎn)有且僅有一條直線與都相交D．過點(diǎn)有且僅有一條直線與都異面6．設(shè)雙曲線的離心率為，且它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則此雙曲線的方程為（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．7．從5張100元，3張200元，2張300元的奧運(yùn)預(yù)賽門票中任取3張，則所取3張中至少有2張價(jià)格相同的概率為（）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)，則（）A．在區(qū)間上是增函數(shù) B．在區(qū)間上是減函數(shù)C．在區(qū)間上是增函數(shù) D．在區(qū)間上是減函數(shù)9．某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與19秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成六組：每一組，成績大于等于13秒且小于14秒；第二組，成績大于等于14秒且小于15秒；……第六組，成績大于等于18秒且小于等于19秒．右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，設(shè)成績小于17秒的學(xué)生人數(shù)占全班人數(shù)的百分比為，成績大于等于15秒且小于17秒的學(xué)生人數(shù)為，則從頻率分布直方圖中可以分析出和分別為（）A． B． C． D．10．設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：“當(dāng)成立時(shí)，總可推出成立”．那么下列命題總成立的是（）Ａ．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立Ｂ．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立Ｃ．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立Ｄ．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．11．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．（用數(shù)字作答）12．若一個(gè)底面邊長為，棱長為的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則此球的體積為．13．已知⊙O的方程是x2+y2-2=0,⊙O’的方程是x2+y2-8x+10=0，由動(dòng)點(diǎn)P向⊙O和⊙O/所引的切線長相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是．14．如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，且兩端的格子的顏色也不同，則不同的涂色方法共有種（用數(shù)字作答）．15．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則的最小值為． 16．下面有五個(gè)命題：①函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是.②終邊在y軸上的角的集合是{a|a=|.③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn).④把函數(shù)⑤函數(shù)其中真命題的序號是（寫出所有正確命題的序號）三、解答題：本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分12分）已知<<<,(Ⅰ)求的值.（Ⅱ）求.18．（本小題滿分13分）數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（本題滿分13分）在如圖所示的幾何體中，平面，平面，，且，是的中點(diǎn)．（=1\*ROMANI）求證：；（=2\*ROMANII）求與平面所成的角的正切值．20．（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù)（），其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值和極小值；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明存在，使得不等式對任意的恒成立．21．（本小題滿分16分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以 為直徑的圖過橢圓的右頂點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．2007—2008長涇中學(xué)青年教師業(yè)務(wù)能力測試卷參考答案一、選擇題：CBBABDCAAD二、填空題11．12．13．14．63015．416．①④三、解答題17．解：（Ⅰ）由，得∴，于是…………5分（Ⅱ）由，得又∵，∴…………8分由得：所以……………………12分18．解：（Ⅰ），，．…………2分又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，．當(dāng)時(shí)，，……………………5分（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，；………7分當(dāng)時(shí)，，…………①，………②得：………………9分．．又也滿足上式，．………………13分19．解：方法一：（=1\*ROMANI）證明：因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫?，所以．…?分（=2\*ROMANII）解：連結(jié)，設(shè)，則，在直角梯形中，，是的中點(diǎn)，所以，，，因此．因?yàn)槠矫?，所以，因此平面，故是直線和平面所成的角．………10分在中，，，．……………13分方法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸和軸，過點(diǎn)作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，．，．…………3分（=1\*ROMANI）證明：因?yàn)?，，所以，故．……………?分（=2\*ROMANII）解：設(shè)向量與平面垂直，則，，即，．因?yàn)?，，所以，，即，………?0分因?yàn)?，，與平面所成的角是與夾角的余角，所以．…………13分20．解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，得，且，．所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，整理得．…………………4分（Ⅱ）解：．令，解得或．…………6分由于，以下分兩種情況討論．（1）若，當(dāng)變化時(shí)，的正負(fù)如下表：因此，函數(shù)在處取得極小值，且；函數(shù)在處取得極大值，且．……………………8分（2）若，當(dāng)變化時(shí)，的正負(fù)如下表：因此，函數(shù)在處取得極小值，且；…10分函數(shù)在處取得極大值，且．………………11分（Ⅲ）證明：由，得，當(dāng)時(shí)，，．…………………12分由（Ⅱ）知，在上是減函數(shù)，要使，只要，即…………①……13設(shè)，則函數(shù)在上的最大值為．要使①式恒成立，必須，即或．所以，在區(qū)間上存在，使得對任意的恒成立．…………16分21．解：（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，………………2分 由已知得：， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．………………6分 （2）設(shè)．聯(lián)立 得 ，…