《控制工程基礎(chǔ)》第四章習(xí)題解題過程與參考答案解析

./4-1設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：。當(dāng)系統(tǒng)作用有下列輸入信號時：,試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：這是一個一階系統(tǒng)。系統(tǒng)增益為：,時間常數(shù)為：其幅頻特性為：其相頻特性為：當(dāng)輸入為,即信號幅值為：,信號頻率為：,初始相角為：。代入幅頻特性和相頻特性,有：所以,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為：4-2已知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：。試求系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。解：對輸出表達(dá)式兩邊拉氏變換：由于,且有〔單位階躍。所以系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：可知,這是由兩個一階環(huán)節(jié)構(gòu)成的系統(tǒng),時間常數(shù)分別為：系統(tǒng)的幅頻特性為二個一階環(huán)節(jié)幅頻特性之積,相頻特性為二個一階環(huán)節(jié)相頻特性之和：4-3已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下,試概略繪出奈氏圖?！?〔2〔3〔4解：手工繪制奈氏圖,只能做到概略繪制,很難做到精確。所謂"概略",即計算與判斷奈氏曲線的起點、終點、曲線與坐標(biāo)軸的交點、相角變化范圍等,這就可以繪制出奈氏曲線的大致形狀。對一些不太復(fù)雜的系統(tǒng),已經(jīng)可以從曲線中讀出系統(tǒng)的部分基本性能指標(biāo)了。除做到上述要求外,若再多取若干點〔如6-8點,并將各點光滑連線。這就一定程度上彌補了要求A的精度不足的弱點。但因為要進(jìn)行函數(shù)計算,例如求出實虛頻率特性表格,工作量要大些。在本題解答中,作如下處理：小題〔1：簡單的一階慣性系統(tǒng),教材中已經(jīng)研究得比較詳細(xì)了。解題中只是簡單套用。小題〔2：示范繪制奈氏圖的完整過程。小題〔3、小題〔4：示范概略繪制奈氏圖方法。4-3〔1這是一個一階慣性〔環(huán)節(jié)系統(tǒng),例4-3中已詳細(xì)示范過〔當(dāng)T=0.5時,奈氏曲線是一個半圓。而表4-2給出了任意時間常數(shù)T下的實虛頻率特性數(shù)據(jù)?？梢蕴子弥帘绢}。①系統(tǒng)參數(shù)：0型,一階,時間常數(shù)②起終點奈氏曲線的起點：〔1,0,正實軸奈氏曲線的終點：〔0,0,原點奈氏曲線的相角變化范圍：〔0,－90°,第IV象限③求頻率特性。據(jù)式〔4-29已知：實頻特性：虛頻特性：④可以得出如下實頻特性和虛頻特性數(shù)值：01012.525508010012520040080010001.000.990.980.940.800.610.500.390.200.060.020.010.000.00-0.10-0.12-0.24-0.40-0.49-0.50-0.49-0.40-0.24-0.12-0.100.00⑤繪圖：4-3〔2示范繪制奈氏圖的完整過程。這是一個由一個積分環(huán)節(jié)和一個一階慣性環(huán)節(jié)組成的二階系統(tǒng)。①系統(tǒng)參數(shù)：1型系統(tǒng),n=2,m=0②起終點奈氏曲線的起點：查表4-7,1型系統(tǒng)起點為負(fù)虛軸無窮遠(yuǎn)處；奈氏曲線的終點：n-m=2>0,查表4-7知終點為原點,入射角為-180°；奈氏曲線的相角變化范圍：〔-90°,-180°,第III象限③求頻率特性：實頻特性：虛頻特性：當(dāng)時,實頻曲線有漸近線為-0.1。④可以得出如下實頻特性和虛頻特性數(shù)值：00.10.20.50.6125891020-0.10-0.10-0.10-0.10-0.10-0.10-0.10-0.08-0.06-0.06-0.05-0.020.00-10.00-5.00-2.00-1.66-0.99-0.48-0.16-0.08-0.06-0.05-0.010.00⑤繪圖：4-3〔3示范概略繪制奈氏圖方法。①系統(tǒng)參數(shù)：1型系統(tǒng),n=3,m=1②起終點奈氏曲線的起點：查表4-7,1型系統(tǒng)起點為負(fù)虛軸無窮遠(yuǎn)處；奈氏曲線的終點：n-m=2>0,查表4-7知終點為原點,入射角為-180°；奈氏曲線的相角變化范圍：〔-90°,-180°；③繪圖：4-3〔4示范概略繪制奈氏圖方法。①系統(tǒng)參數(shù)：2型系統(tǒng),n=3,m=1②起終點奈氏曲線的起點：查表4-7,2型系統(tǒng)起點為負(fù)實軸無窮遠(yuǎn)處；奈氏曲線的終點：n-m=2>0,查表4-7知終點為原點,入射角為-180°；奈氏曲線的相角變化范圍：〔-180°,-180°；由于慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)大于一階微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù),二者相頻疊加總是小于零,故圖形在第2象限。③繪圖：如要詳繪,則先求頻率特性：即有實頻特性：虛頻特性：制表：00.050.10.20.30.40.50.60.812568∞-∞-19346-4414-835.4-276.9-121.5-64-38.3-17.63-10-2.038-0.304-0.21-0.1180032691466518.3232.2119.46841.9118.91101.3080.0850.0490.02104-4試畫出下列傳遞函數(shù)的波德圖?！?〔2〔3〔4〔5解：繪制波德圖要按照教材P134-135中的10步,既規(guī)范也不易出錯。4-4〔1開環(huán)傳遞函數(shù)已如式<4-41>標(biāo)準(zhǔn)化；計算開環(huán)增益K,計算；得系統(tǒng)型別,確定低頻段斜率；開環(huán)增益K＝2,0型系統(tǒng),低頻段斜率為0；求各轉(zhuǎn)折頻率,并從小到大按順序標(biāo)為,同時還要在轉(zhuǎn)折頻率旁注明對應(yīng)的斜率；①,慣性環(huán)節(jié),斜率-20；②,慣性環(huán)節(jié),斜率-20；繪制波德圖坐標(biāo)。橫坐標(biāo)從0.1到10二個十倍頻程。見圖；繪制低頻段幅頻漸近線,為水平線；在,斜率變?yōu)?20；在,斜率變?yōu)?40；標(biāo)注斜率見圖；幅頻漸近線的修正。在處修正-3dB,在處修正-1dB；在處修正-3dB,在處修正-1dB；注意在處有兩個-1dB修正量,共修正-２dB；繪制兩個慣性環(huán)節(jié)的相頻曲線；環(huán)節(jié)相頻曲線疊加,形成系統(tǒng)相頻曲線；檢查幅頻漸近線、轉(zhuǎn)折頻率、相頻起終點的正確性。4-4〔2開環(huán)傳遞函數(shù)已如式<4-41>標(biāo)準(zhǔn)化；計算開環(huán)增益K,計算；得系統(tǒng)型別,確定低頻段斜率；開環(huán)增益K＝200,2型系統(tǒng),低頻段斜率為-40；求各轉(zhuǎn)折頻率：①,慣性環(huán)節(jié),斜率-20；②,慣性環(huán)節(jié),斜率-20；以下文字略,見繪圖；低頻延長線過此點：L低頻延長線過此點：L<1>=46dB4-4〔3常見問題必要的文字與計算部分;橫坐標(biāo)的選取?常見問題必要的文字與計算部分;橫坐標(biāo)的選取?轉(zhuǎn)折頻率與斜率不準(zhǔn)確;34dB在何處?斜率的標(biāo)注;修正及其精度?相頻先環(huán)節(jié),后疊加;相頻從-180°起,不是0°;相頻左右趨勢,光滑與美觀;1~5分評分.計算開環(huán)增益K,計算；得系統(tǒng)型別,確定低頻段斜率；開環(huán)增益K＝50,2型系統(tǒng),低頻段斜率為-40；求各轉(zhuǎn)折頻率：①,慣性環(huán)節(jié),斜率-20；②,二階振蕩環(huán)節(jié),阻尼比,斜率-40；其它：二階振蕩環(huán)節(jié)在轉(zhuǎn)折頻率處要按實際阻尼比按圖4-17修正。見繪圖；低頻延長線過此點：低頻延長線過此點：L<1>=34dB4-4〔4開環(huán)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化：計算開環(huán)增益K,計算；得系統(tǒng)型別,確定低頻段斜率；開環(huán)增益K＝20,2型系統(tǒng),低頻段斜率為-40；求各轉(zhuǎn)折頻率：①,慣性環(huán)節(jié),斜率-20；②,一階微分環(huán)節(jié),斜率+20；其它見繪圖；低頻延長線過此點：低頻延長線過此點：L<1>=26dB4-4〔5開環(huán)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化：計算開環(huán)增益K,計算；得系統(tǒng)型別,確定低頻段斜率；開環(huán)增益K＝0.032,1型系統(tǒng),低頻段斜率為-20；求各轉(zhuǎn)折頻率：①,一階微分環(huán)節(jié),斜率+20；②,二階振蕩環(huán)節(jié),阻尼比,斜率-40；③,二階振蕩環(huán)節(jié),阻尼比,斜率-40；其它見繪圖；低頻延長線過此點：低頻延長線過此點：L<1>=-30dB4-5根據(jù)下列給定的最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線圖寫出相應(yīng)的傳遞函數(shù)。解：4-5<a>〔1求結(jié)構(gòu)從圖中看出,低頻段斜率為0,是0型系統(tǒng),由漸近線的斜率變化：第1個轉(zhuǎn)折頻率處斜率變化,是一階慣性環(huán)節(jié)；第2個轉(zhuǎn)折頻率處斜率變化也是,也是一階慣性環(huán)節(jié)；因此傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)為〔2求參數(shù)從圖中看出,低頻段與零分貝線水平重合,因此對第1個一階慣性環(huán)節(jié),轉(zhuǎn)折頻率,則：對第2個一階慣性環(huán)節(jié),轉(zhuǎn)折頻率,則：綜合得：解：4-5<b>〔1求結(jié)構(gòu)從圖中看出,低頻段斜率為,是1型系統(tǒng),由漸近線的斜率變化：第1個轉(zhuǎn)折頻率處斜率變化,是一階慣性環(huán)節(jié)；第2個轉(zhuǎn)折頻率處斜率變化也是,也是一階慣性環(huán)節(jié)；因此傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)為〔2求參數(shù)從圖中看出,低頻段延長線與零分貝線交點頻率：,因為是1型系統(tǒng),由式<4-67>對第1個一階慣性環(huán)節(jié),轉(zhuǎn)折頻率,則：對第2個一階慣性環(huán)節(jié),轉(zhuǎn)折頻率,則：綜合得：解：4-5<c>〔1求結(jié)構(gòu)從圖中看出,低頻段斜率為0,是0型系統(tǒng),由漸近線的斜率變化：第1個轉(zhuǎn)折頻率處斜率變化,是一階慣性環(huán)節(jié)；第2個轉(zhuǎn)折頻率處斜率變化也是,也是一階慣性環(huán)節(jié)；第3個轉(zhuǎn)折頻率處斜率變化也是,也是一階慣性環(huán)節(jié)；因此傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)為〔2求參數(shù)從圖中看出,低頻段為水平線,幅值為。由式<4-64>：對第1個一階慣性環(huán)節(jié),轉(zhuǎn)折頻率,則：對第2個一階慣性環(huán)節(jié),轉(zhuǎn)折頻率,則：對第3個一階慣性環(huán)節(jié),轉(zhuǎn)折頻率,則：綜合得：解：4-5<d>〔1求結(jié)構(gòu)從圖中看出,低頻段斜率為,是1型系統(tǒng),由漸近線的斜率變化：第1個轉(zhuǎn)折頻率處斜率變化,是二階振蕩環(huán)節(jié)；因此傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)為〔2求參數(shù)從圖中看出,低頻段延長線與零分貝線交點頻率：,因為是1型系統(tǒng),由式<4-67>對二階振蕩環(huán)節(jié),從圖中看出,諧振峰值為,峰值頻率?？梢杂墒健?-37求出阻尼比：當(dāng)時,阻尼比為。〔也可簡單地查表4-5,得。由式〔4-36：綜合得：4-6試由下述幅值和相角計算公式確定最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)?！?,；〔2,；〔3,；〔4,。解：〔1,；直接可以得到：且有幅頻特性：即所以〔2,；直接可以得到：且有幅頻特性：即所以〔3,；直接可以得到：比較二階振蕩環(huán)節(jié)的相頻特性式〔4-32：由,得二階微分環(huán)節(jié)的參數(shù)求法與上面二階振蕩環(huán)節(jié)基本相同,差別僅是式〔4-32是正值。所以：由,得一階微分環(huán)節(jié)：一階慣性環(huán)節(jié)：所以：且有幅頻特性：即所以：〔4,。直接可以得到：且有幅頻特性：即所以：4-7畫出下列各給定傳遞函數(shù)的奈氏圖。試問這些曲線是否穿越實軸。若穿越,則求與實軸交點的頻率及相應(yīng)的幅值?！?；〔2；〔3；〔4。解：4-7〔1①系統(tǒng)參數(shù)：0型系統(tǒng),n=2,m=0②起終點奈氏曲線的起點：查表4-7,0型系統(tǒng)起點為正實軸無窮遠(yuǎn)處；奈氏曲線的終點：n-m=2>0,查表4-7知終點為原點,入射角為-180°；奈氏曲線的相角變化范圍：〔0°,-180°；③從相角變化范圍來看,曲線均在正實軸以下,并未發(fā)生穿越；④求頻率特性如下：所以,實頻特性：虛頻特性：⑤制表：00.20.30.50.711.522.534568∞10.7630.5530.20.005-0.1-0.108-0.082-0.061-0.046-0.028-0.019-0.013-0.00800-0.497-0.607-0.6-0.476-0.3-0.138-0.071-0.04-0.024-0.011-0.006-0.003-0.0010⑥繪圖如上。4-7〔2①系統(tǒng)參數(shù)：1型系統(tǒng),n=3,m=0②起終點奈氏曲線的起點：查表4-7,1型系統(tǒng)起點為負(fù)虛軸無窮遠(yuǎn)處；奈氏曲線的終點：n-m=3>0,查表4-7知終點為原點,入射角為-270°；奈氏曲線的相角變化范圍：〔-90°,-270°；③從相角變化范圍來看,曲線將從第III象限穿越至第II象限,發(fā)生一次實軸穿越：繪圖見右；④求與實軸的交點：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：發(fā)生負(fù)實軸穿越時,相頻為-180°,即令,可求得穿越時的頻率：；此時的幅值：4-7〔3①系統(tǒng)參數(shù)：2型系統(tǒng),n=3,m=0②起終點奈氏曲線的起點：查表4-7,2型系統(tǒng)起點為負(fù)實軸無窮遠(yuǎn)處；奈氏曲線的終點：n-m=3>0,查表4-7知終點為原點,入射角為-270°；奈氏曲線的相角變化范圍：〔-180°,-270°；③從相角變化范圍來看,曲線均在第III象限,未發(fā)生穿越；繪圖見右；4-7〔4①系統(tǒng)參數(shù)：2型系統(tǒng),n=3,m=1②起終點奈氏曲線的起點：查表4-7,2型系統(tǒng)起點為負(fù)實軸無窮遠(yuǎn)處；奈氏曲線的終點：n-m=2>0,查表4-7知終點為原點,入射角為-180°；奈氏曲線的相角變化范圍：〔-180°,-180°；③傳遞函數(shù)中,一階微分環(huán)節(jié)貢獻(xiàn)一個零點,一階慣性環(huán)節(jié)貢獻(xiàn)一個極點。零極點發(fā)生一定的對消效應(yīng),但并不完全對消。慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)比一階微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)小,即極點位置比零點位置更靠近虛軸,因此將發(fā)生更大的作用。也就是說,零極點的相頻特性合成后,仍為負(fù)值。綜合兩個微分環(huán)節(jié)后,相頻特性<-180°,曲線均在第III象限,未發(fā)生穿越；繪圖見右；4-8試用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判別圖示開環(huán)奈氏曲線對應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。<c<c>添加輔助線后可以看出,奈氏曲線包圍了<-1,j0>點,所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。<a>奈氏曲線包圍了<-1,j0>點,所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。<<b>添加輔助線后可以看出,奈氏曲線未包圍<-1,j0>點,所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。<d<d>添加輔助線后可以看出,奈氏曲線未包圍<-1,j0>點,所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。<d>添加輔助線后可以看出,奈氏曲線未包圍<-1,j0>點,所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。4-9已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試分別繪出當(dāng)開環(huán)放大倍數(shù)K＝5和K＝20時的波德圖,并判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性,量取相位裕量和幅值裕量,并用計算公式驗證。解：先按開環(huán)增益K＝5繪圖,1型系統(tǒng),低頻段斜率為-20；求各轉(zhuǎn)折頻率：①,慣性環(huán)節(jié),斜率-20；②,慣性環(huán)節(jié),斜率-20；繪圖如下：K=5K=20K=5K=20〔1當(dāng)K＝5時,從圖中量取各指標(biāo)〔見粉紅色：得：,,故系統(tǒng)穩(wěn)定；且有穩(wěn)定裕量：；〔2當(dāng)K＝20時,。相比于K＝5時,幅頻曲線提升,而相頻曲線保持不變。從圖中量取各指標(biāo)〔見藍(lán)色：得：,保持不變。,故系統(tǒng)不穩(wěn)定；且有穩(wěn)定裕量：；因此,提高開環(huán)增益將有損于穩(wěn)定性。計算驗證：幅頻特性計算公式：相頻特性計算公式：<1>當(dāng)時,,；閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；<2>當(dāng)時,,；閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。4－10已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)波德圖,并判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。從波德圖中量取各指標(biāo),并用計算公式驗證。解：開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)增益K＝8,,是2型系統(tǒng),低頻段斜率為-40；求各轉(zhuǎn)折頻率：①,一階微分環(huán)節(jié),斜率+20；②,慣性環(huán)節(jié),斜率-20；繪圖如下：系統(tǒng)分析：從圖中量取各指標(biāo),得：,且相頻曲線總在-180°之上,所以。閉環(huán)系統(tǒng)無條件穩(wěn)定；量取穩(wěn)定裕量：；計算驗證：幅頻特性計算公式：相頻特性計算公式：計算驗證：當(dāng)時,求得,,故；任何均無法使,故。4－11某單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)對數(shù)幅頻特性分段直線如題4－11圖所示,若要求系統(tǒng)具有30°的相位穩(wěn)定裕量,試計算開環(huán)增益可增大的倍數(shù)。題4－11圖解：可從圖中求得閉環(huán)傳遞函數(shù)為由開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系求開環(huán)傳遞函數(shù)：相頻特性：若要求系統(tǒng),相當(dāng)于要求。求得：當(dāng)時,幅頻特性：當(dāng)時,為使成為