5.1　相交線 課件 2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級下冊

人教版數(shù)學(xué)七年級下冊第五章相交線與平行線5.1相交線5.1.1相交線導(dǎo)入新課圖片中有相交線和平行線嗎？若有，請找出來．你能舉出一些生活中的相交線和平行線的例子嗎？探究新知探究1234ABCDO∠1與∠2的邊所在的位置有什么特點？鄰補角的定義：∠1和∠2有一條公共邊CD，它們的另一邊互為反向延長線（∠1和∠2互補），具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補角.∠1與∠3有怎樣的位置關(guān)系？思考對頂角1234ABCDO知識點對頂角的定義：∠1和∠3有一個公共頂點O，并且∠1的兩邊分別是∠3的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角.歸納ABCDO1234∠1與∠2有怎樣的數(shù)量關(guān)系？互補探究∠1與∠3有怎樣的數(shù)量關(guān)系？你是怎樣得到的？ABCDO1234相等你能說出∠1=∠3的道理嗎？因為

∠1與∠2互補，

∠3與∠2互補（鄰補角的定義），所以

∠1=∠3（同角的補角相等）.同理∠2=∠4．ABCDO1234請你用數(shù)學(xué)的語言寫出這個過程．剪刀把手之間的角的變化過程中，這些關(guān)系還存在嗎？為什么？鄰補角知識點活動：握緊剪刀刀柄時，隨著兩個刀柄之間的角逐漸變小，剪刀刀刃之間的角也相應(yīng)變小直到剪開布片.如果把剪刀的構(gòu)造看作兩條相交的直線，這就關(guān)系到兩條相交直線所成的角的問題.思考剪刀剪東西的過程中,你能說說∠AOC與∠AOD,∠AOC與∠BOD這兩對角的位置保持怎樣的關(guān)系嗎？AOCBD

∠AOC和∠BOD有公共頂點，且∠AOC的兩邊分別是∠BOD兩邊的反向延長線.

∠AOC和∠AOD有一條公共邊OA，且∠AOC的另一邊是∠AOD另一邊的反向延長線.知識歸納

兩個角有一條

，它們的另一邊互為

，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補角．

兩個角有一個公共的

，且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的

，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角．

對頂角

．公共邊反向延長線頂點反向延長線相等例題與練習(xí)解：由鄰補角定義，可得∠2=180°-∠1=180°-40°=140°；由對頂角相等，得∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°.例1如圖，直線a，b相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度數(shù)．1234ab例2如圖，直線AB和CD相交于點O，OE是射線，則：(1)∠1的對頂角是____，∠3的鄰補角是_________；(2)∠5的對頂角是_______，∠1的鄰補角是_______________．∠2∠BOE∠AOD∠5與∠AOD例3如圖，已知直線AB，CD相交于點O，OA平分∠EOC，∠EOC＝104°，求∠BOD和∠BOE的度數(shù)．∴∠AOC＝∠AOE＝∠EOC＝52°，解：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝104°，∴∠BOD＝∠AOC＝52°，∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－52°＝128°.例題與練習(xí)練習(xí)取兩根木條

a、b，將它們釘在一起，固定木條

a

，轉(zhuǎn)動木條

b．（1）當(dāng)a與b所成銳角α為35°時，其余的角分別為多少？35°，145°，145°

（2）當(dāng)a

與b

所成角α

為90°時，其余的角分別為多少？均為90°2．如圖，∠α的度數(shù)等于()

A．135°B．125°C．115°D．105°3．如圖，三條直線相交于點O，則∠1＋∠2＋∠3等于()

A．90°B．100°C．120°D．180°AD4．如圖，直線AB，CD相交于點O，∠1＝∠2，∠1∶∠3＝1∶8，求∠4的度數(shù)．解：設(shè)∠1＝∠2＝x.∵∠1∶∠3＝1∶8，∴∠3＝8x.∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴x＋x＋8x＝180°，解得x＝18°，∴∠4＝∠AOC＝∠1＋∠2＝2x＝36°.課堂小結(jié)相交線鄰補角對頂角互補相等定義性質(zhì)定義性質(zhì)ABCDO1234人教版數(shù)學(xué)七年級下冊第五章相交線與平行線5.1相交線5.1.2垂線導(dǎo)入新課大家都看到過跳水比賽，下面幾幅圖片中是幾種不同的入水方式，你知道哪個圖片中運動員獲得的分?jǐn)?shù)最高嗎？在獲得分?jǐn)?shù)最高的圖片中，你知道運動員的身體和水面之間的關(guān)系嗎？探究新知探究取兩根木條

a、b，將它們釘在一起，固定木條

a

，轉(zhuǎn)動木條

b．（1）在木條b

的轉(zhuǎn)動過程中，什么量也隨之發(fā)生改變？a與

b所成的角也隨之發(fā)生改變（2）木條b

與a

成90°的位置有幾個？此時，木條b

與a

所在的直線有什么位置關(guān)系？a與

b垂直歸納對頂角知識點（1）垂直概念：兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是90°時，叫做這兩條直線互相垂直，記作a⊥b.兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．如圖，AB垂直CD，垂足為

O．記作：AB⊥CD于點

O．（2）符號語言：

因為AB⊥CD，

所以∠AOC=90°．

反之，因為∠AOC=90°，

所以AB⊥CD．思考問題:（1）兩條直線垂直和相交是什么關(guān)系？（2）能否認(rèn)為在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有

3種：相交，平行，垂直？垂直是相交的特殊情況不能，因為垂直是相交的特殊情況

（3）如何判定兩條射線垂直？兩條線段呢？兩條線段垂直、兩條射線垂直、線段與射線垂直、線段與直線垂直、射線與直線垂直，都是指它們所在的直線垂直．垂線的畫法知識點用三角尺或量角器畫已知直線

l

的垂線．（1）用三角尺或量角器畫已知直線

l

的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？無數(shù)條（2）經(jīng)過一點畫已知直線

l

的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？①

經(jīng)過一點畫已知直線

l的垂線有幾種情況？2種過直線上一點和直線外一點②

通過畫圖，你發(fā)現(xiàn)過一個點可以畫幾條直線與已知直線垂直？垂線性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．PlPl垂線的性質(zhì)及點到直線的距離知識點

在灌溉時，要把河中的水引到農(nóng)田P處，如何挖掘能使渠道最短？思考

在直線上有無數(shù)個點，試著取幾個點與點

P

相連，比較一下線段的長短．你有什么發(fā)現(xiàn)？你能猜想一下最短的位置會在哪兒？它唯一嗎？為什么？你能用一句話總結(jié)出觀察得出的結(jié)論嗎？垂線性質(zhì)2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．簡單說成：垂線段最短．點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．知識歸納

如圖，直線a，b相交于點O，當(dāng)夾角為_____時，稱a與b互相垂直，記作_______，其中的一條直線叫做另一條直線的______，它們的交點O叫做______．90°a⊥b垂線垂足垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有____條直線與已知直線垂直；連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，_________最短．簡單說成：____________．一垂線段垂線段最短直線外一點到這條直線的_____________，叫做點到直線的距離．垂線段的長度例題與練習(xí)例1

(1)如圖①，過點P畫AB的垂線；(2)如圖②，過點P分別畫OA，OB的垂線；(3)如圖③，過點A畫BC的垂線．ABPABOPBOPA

圖①

圖②

圖③ABC例2如圖，AB是一條直線，OC是一條射線，OF，OE分別平分∠AOC，∠BOC，則OE與OF的位置有什么關(guān)系？解：∵OF，OE分別平分∠AOC，∠BOC，∴∠FOC＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC.又∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴∠FOC＋∠EOC＝∠AOC＋∠BOC

＝(∠AOC＋∠BOC)＝×180°＝90°即∠EOF＝90°，∴OE⊥OF.例3如圖，已知直線AB，CD相交于點O，OA平分∠EOC，∠EOC＝104°，求∠BOD和∠BOE的度數(shù)．∴∠AOC＝∠AOE＝∠EOC＝52°，解：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝104°，∴∠BOD＝∠AOC＝52°，∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－52°＝128°.例題與練習(xí)練習(xí)AB過點

P

畫出射線

AB

或線段

AB

的垂線．PABP（1）（2）ABP（3）如圖，三角形ABC中，∠C＝90°.（1）分別指出點A到直線BC，點B到直線AC的距離是哪些線段的長？（2）三條邊AB、AC、BC中哪條邊最長？為什么？ABACBC理由：連接線段外一點與線段上各點的所有線段中，垂線段最短.下列選項中，過點P畫AB的垂線，三角尺放法正確的是()C如圖，O為直線AB上一點，∠AOC＝∠BOC，OC是∠AOD的平分線．(1)求∠COD的度數(shù)；(2)判斷OD與AB的位置關(guān)系，并說明理由．解：(1)∵∠AOC＝∠BOC，∴設(shè)∠AOC＝x，則∠BOC＝3x.∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴x＋3x＝180°，解得x＝45°∴∠AOC＝45°∵OC平分∠AOD，∴∠COD＝∠AOC＝45°；課堂小結(jié)垂線定義畫法當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中有一個角為90°時，這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線利用三角尺或量角器畫：一靠、二過、三畫垂線性質(zhì)2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．簡單說成：垂線段最短．點到直線的距離人教版數(shù)學(xué)七年級下冊第五章相交線與平行線5.1相交線5.1.3同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角導(dǎo)入新課如圖，直線

AB

與

EF

相交，你能說出其中的對頂角與鄰補角嗎？對頂角：∠1和∠3，∠2和∠4．鄰補角：∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1．回顧探究新知探究三條直線相交可以分為哪些情況？對三條直線相交按交點的個數(shù)分為三種情況：（1）三條直線交點的個數(shù)有一個，即三條直線交于一點；

（2）三條直線交點的個數(shù)有兩個，即兩條直線平行且被第三條直線所截；（3）三條直線交點的個數(shù)有三個，即三條直線兩兩相交．觀察圖中的

∠1和

∠5，它們具有怎樣的位置關(guān)系？同位角：如圖，像∠1和∠5，兩個角分別在直線AB、CD的同一方，并且都在直線

EF的同側(cè)．具有這種位置關(guān)系的一對角叫做同位角．知識點同位角（1）你能找出圖中還有哪幾對角構(gòu)成同位角？（2）兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成的八個角中，共有幾對同位角？（1）除了∠1和∠5是同位角，還有∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8也構(gòu)成同位角．（2）共有4對同位角．知識點內(nèi)錯角觀察圖中的

∠3和

∠5，它們有怎樣的位置關(guān)系？內(nèi)錯角：如圖，像∠3和∠5，兩個角都在直線

AB、CD之間，并且分別在直線

EF兩側(cè)．具有這種位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯角．（1）你能找出圖中還有哪幾對角構(gòu)成內(nèi)錯角？（2）兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成的八個角中，共有幾對內(nèi)錯角？（1）除了∠3和∠5是內(nèi)錯角，還有∠4和∠6

也構(gòu)成內(nèi)錯角．（2）共有2對內(nèi)錯角．知識點同旁內(nèi)角如圖，我們稱∠3和∠6為同旁內(nèi)角，你能根據(jù)兩個角的特征，描述一下同旁內(nèi)角的定義嗎？同旁內(nèi)角：如圖，像∠3和∠6，兩個角都在直線AB、CD之間，并且都在直線

EF的同一旁．具有這種位置關(guān)系的一對角叫做同旁內(nèi)角．（1）你能找出圖中還有哪幾對角構(gòu)成同旁內(nèi)角？（2）兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成的八個角中，共有幾對同旁內(nèi)角？（1）除了∠3和∠6是同旁內(nèi)角，還有∠4和∠5

也構(gòu)成同旁內(nèi)角．（2）共有2對同旁內(nèi)角．知識歸納如圖，直線AB，CD與EF相交，∠1和∠5這兩個角分別在直線AB，CD的同一方(上方)，并且都在直線EF的同側(cè)(右側(cè))，具有這種位置關(guān)系的一對角叫做________，像這樣的角還有___________，_________，__________．同位角∠2與∠6∠3與∠7∠4與∠8如圖，∠3和∠5這兩個角都在直線AB，CD之間，并且分別在直線EF兩側(cè)，具有這種位置關(guān)系的一對角叫做________，像這樣的角還有___________．內(nèi)錯角∠4與∠6如圖，∠3和∠6這兩個角都在直線AB，CD之間，但它們都在直線EF的同側(cè)(左側(cè))，具有這種位置關(guān)系的一對角叫做___________，像這樣的角還有____________．同旁內(nèi)角∠4與∠5生活中的數(shù)學(xué)：三線八角手勢記憶法同位角內(nèi)錯角同旁內(nèi)角例題與練習(xí)如圖，直線DE,BC被直線AB所截.（1）∠1與∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么角？4321EDCBA解：（1）∠1與∠2是內(nèi)錯角，∠1和∠3同旁內(nèi)角，∠1和∠4是同旁內(nèi)角.（2）如果∠1=∠4，那么∠1與∠2相等嗎？∠1與∠3互補嗎？為什么？解：(2)如果∠1=∠4，由對頂角相等，得∠2=∠4，那么∠1=∠2.因為∠3和∠4互補，即∠4+∠3=180°，又因為∠1=∠4,所以∠4+∠3=180°,即∠1與∠3互補.如圖，根據(jù)圖形填空：(1)∠1和∠2是直線________被直線____所截形成的_____角；(2)∠1和∠3是直線________被直線_____所截形成的_____角；(3)∠1和∠4是直線________被直線_____所截形成的_______角．AB，CDEF內(nèi)錯EF，EGCD同位EF，EGCD同旁內(nèi)歸納：要判斷同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角是由哪兩條直線被第三條直線所截形成的，可先判斷出第三條直線，第三條直線的顯著特點是兩個角的公共邊．如圖，直線DE截AB，AC，指出圖中所有的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角．解：同位角：∠2與∠5，∠4與∠7，∠1與∠8，∠3與∠6，∠4與∠A，∠8與∠A；內(nèi)錯角：∠4與∠5，∠3與∠8，∠6與∠A，∠2與∠A；同旁內(nèi)角：∠3與∠5，∠4與∠8，∠5與∠A，∠3與∠A.例題與練習(xí)練習(xí)1.分別指出下列圖中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角．同位角：∠2與∠6，∠4與∠8，∠3與∠7，∠1與∠5內(nèi)錯角：∠3與∠6，∠4與∠5同旁內(nèi)角：∠3與∠5，∠4與∠6同位角：∠1與∠3，∠2與∠4內(nèi)錯角：無同旁內(nèi)角：∠2與∠32.如圖，∠B

與哪個角是內(nèi)錯角，與哪個角是同旁內(nèi)角？它們分別是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？對∠C

進(jìn)行同樣的討論.解：∠B

與