16.2 二次根式的乘除 課件 2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)

人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十六章二次根式16.2二次根式的乘除第1課時(shí)二次根式的乘法導(dǎo)入新課1．回顧二次根式的性質(zhì)和算術(shù)平方根的概念．()2(a≥0)的性質(zhì)：即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身.

的性質(zhì)：a(a≥0)-a(a＜0)即任意一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值.

如果x2=a（x≥0），那么x稱為a的算術(shù)平方根.用表示.算術(shù)平方根的概念2．下列運(yùn)算正確的是(

)A3．計(jì)算：10101212思考：

與

的結(jié)果相同嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么？探究新知2×3=64×5=205×6=30計(jì)算下列各式:探究觀察三組式子的結(jié)果，我們得到下面三個(gè)等式：(1)(2)(3)思考你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你能用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？猜測(cè)：

你能證明這個(gè)猜測(cè)嗎？求證：證明：根據(jù)積的乘方法則，有∴就是ab的算術(shù)平方根.又∵表示ab的算術(shù)平方根，∴

.知識(shí)歸納一般地，對(duì)于二次根式的乘法是語言表述：算術(shù)平方根的積等于各個(gè)被開方數(shù)積的算術(shù)平方根.二次根式的乘法法則:二次根式相乘，__________不變，____________相乘.根指數(shù)被開方數(shù)注意：a,b都必須是非負(fù)數(shù).在本章中，如果沒有特別說明，所有的字母都表示正數(shù)．例題與練習(xí)解:例1

計(jì)算.例2

化簡(jiǎn)解：（1）；（1）；（2）．

（2）

4a2b3含有像4，a2，b2，這樣開的盡方的因數(shù)或因式，把它們開方后移到根號(hào)外.歸納反過來：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）一般的：這個(gè)性質(zhì)在有的地方稱之為“積的算術(shù)平方根的性質(zhì)”我們可以運(yùn)用它來進(jìn)行二次根式的解題和化簡(jiǎn).語言表述：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.例3

計(jì)算.（1）解：（1）（2）

（3）（2）（3）當(dāng)二次根式根號(hào)外的因數(shù)不為1時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則計(jì)算，即.歸納二次根式的乘法法則的推廣：①多個(gè)二次根式相乘時(shí)此法則也適用，即②當(dāng)二次根號(hào)外有因數(shù)(式)時(shí)，可以類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則計(jì)算，即根號(hào)外的因數(shù)(式)的積作為根號(hào)外的因數(shù)(式)，被開方數(shù)的積作為被開方數(shù)，即歸納化簡(jiǎn)二次根式的步驟：1.把被開方數(shù)分解因式(或因數(shù))；2.把各因式(或因數(shù))積的算術(shù)平方根化為每個(gè)因式(或因數(shù))的算術(shù)平方根的積；3.如果因式中有平方式(或平方數(shù))，應(yīng)用關(guān)系式

把這個(gè)因式(或因數(shù))開出來，將二次根式化簡(jiǎn)

.歸納例4計(jì)算：化簡(jiǎn)時(shí)根號(hào)外的因數(shù)可先相乘：例5比較

與

的大?。猓悍椒ㄒ唬悍椒ǘ罕容^兩個(gè)二次根式大小的方法：(1)被開方數(shù)比較法，即先將根號(hào)外的非負(fù)因數(shù)移到根號(hào)內(nèi)，當(dāng)兩個(gè)二次根式都是正數(shù)時(shí)，被開方數(shù)大的二次根式大．(2)平方法，即把兩個(gè)二次根式分別平方，當(dāng)兩個(gè)二次根式都是正數(shù)時(shí)，平方大的二次根式大．(3)計(jì)算器求近似值法，即先利用計(jì)算器求出兩個(gè)二次根式的近似值，再進(jìn)行比較．方法點(diǎn)撥1.計(jì)算：例題與練習(xí)2.化簡(jiǎn)2－363.一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積.=6．計(jì)算：7．一個(gè)底面為30cm×30cm的長(zhǎng)方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水倒入一個(gè)底面為正方形、高為10cm的長(zhǎng)方體鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時(shí)，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長(zhǎng)是多少厘米？解：設(shè)鐵桶的底面邊長(zhǎng)是

xcm.由題意，得x2×10＝30×30×20，x2＝30×30×2，答：鐵桶的底面邊長(zhǎng)是cm.課堂小結(jié)二次根式乘法法則性質(zhì)拓展法則人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十六章二次根式16.2二次根式的乘除第2課時(shí)二次根式的除法導(dǎo)入新課

站在水平高度為h米的地方看到可見的水平距離為d米，它們近似地符合公式為.解：?jiǎn)栴}1某一登山者爬到海拔100米處，即時(shí)，他看到的水平線的距離d1是多少？問題2該登山者接著爬到海拔200米的山頂，即時(shí)，此時(shí)他看到的水平線的距離d2是多少？問題3他從海拔100米處登上海拔200米高的山頂，那么他看到的水平線的距離是原來的多少倍？解：解：【思考】乘法法則是如何得出的？二次根式的除法該怎樣算呢？除法有沒有類似的法則？探究新知探究計(jì)算下列各式:(1)___÷___=____;=_____;(2)___÷___=____;(3)___÷___=____;=_____;=_____.234567觀察兩者有什么關(guān)系？

觀察三組式子的結(jié)果，我們得到下面三個(gè)等式：(1)(2)(3)思考通過上述二次根式除法運(yùn)算結(jié)果，聯(lián)想到二次根式除法運(yùn)算法則，你能說出二次根式的結(jié)果嗎？特殊一般問題在前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律中，a，b的取值范圍有沒有限制呢？你們都錯(cuò)啦，a≥0，b＞0,b=0時(shí)等式兩邊的二次根式就沒有意義啦a,b同號(hào)就可以啦不對(duì)，同乘法法則一樣，a,b都為非負(fù)數(shù).知識(shí)歸納二次根式的除法法則:算術(shù)平方根的商等于被開方數(shù)商的算術(shù)平方根.當(dāng)二次根式根號(hào)外的因數(shù)(式)不為1時(shí)，可類比單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則，易得例題與練習(xí)例1

計(jì)算：（1）（2）解：除式是分?jǐn)?shù)或分式時(shí)，先要轉(zhuǎn)化為乘法再進(jìn)行運(yùn)算解：例2

化簡(jiǎn)：還有其他解法嗎?補(bǔ)充解法：歸納我們可以運(yùn)用它來進(jìn)行二次根式的解題和化簡(jiǎn).商的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的商.我們知道，把二次根式的乘法法則反過來就得到積的算術(shù)平方根的性質(zhì).類似的，把二次根式的除法法則反過來，就得到二次根式的商的算術(shù)平方根的性質(zhì):例3把下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式：最簡(jiǎn)二次根式應(yīng)滿足如下特點(diǎn)：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.簡(jiǎn)記為：一根號(hào)無分母，分母無根號(hào)；二不能再開方.在二次根式的運(yùn)算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式，并且分母中不含二次根式.歸納例4

計(jì)算：解：還有其他解法嗎？

把分母中的根號(hào)化去,使分母變成有理數(shù),這個(gè)過程叫做分母有理化.補(bǔ)充解法：

分母形如的式子，分子、分母同乘以可使分母不含根號(hào).歸納化成最簡(jiǎn)二次根式的一般方法:(1)將被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)或者因式進(jìn)行開方,如;(2)若被開方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù),應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù),再去分母,并將能開得盡方的因數(shù)或者因式進(jìn)行開方,如;(3)若被開方數(shù)中含有小數(shù),應(yīng)先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后再進(jìn)行化簡(jiǎn),如.方法點(diǎn)撥例5

設(shè)長(zhǎng)方形的面積為S,相鄰兩邊長(zhǎng)分別為a,b.已知，求a的值.解:∵∴注意：在二次根式的運(yùn)算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式，并且分母中不含二次根式.解：∴正方形的邊長(zhǎng)是∴正方形的面積是(2)2＝60.例6長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為

，面積為,要在這個(gè)長(zhǎng)方形中分割出一個(gè)面積最大的正方形，求該正方形的面積．例題與練習(xí)1．教材P10練習(xí)第1，2，3題．A．a(chǎn)<2B．a(chǎn)≤2C．0≤a<2D．a(chǎn)≥0C3．若