Nat. Rev. Phys.綜述：復雜網(wǎng)絡的魯棒性和韌性

二、背景信息三、與滲流理論的聯(lián)系四、最優(yōu)滲流和網(wǎng)絡瓦解五、級聯(lián)失效六、防止和應對網(wǎng)絡崩潰七、展望論文要點在生物學、社會學和工程學等領域，復雜系統(tǒng)可以通過交互網(wǎng)絡中單元間的信息交換來定由于復雜網(wǎng)絡的相互連接特性，它們能夠?qū)⑽⑿〉母蓴_放大至整個系統(tǒng)層面，因此理解它研究復雜網(wǎng)絡的魯棒性和韌性涉及探討通常依賴于度值連通性、空間嵌入、相互依賴和耦網(wǎng)絡科學提供了一系列理論和計算方法來量化系統(tǒng)對擾動的魯棒性，并提供了基礎方法來這些方法在系統(tǒng)生物學、系統(tǒng)神經(jīng)科學、工程學以及社會和行為科學等多個學科中都有應一、引言在生物學、社會學、社會生態(tài)學和工程學等廣泛領域中，無論是蛋白質(zhì)、神經(jīng)元、個體還是物種等單位，都通過復雜的交互網(wǎng)絡進行信息交換[1-3]。這些網(wǎng)絡所產(chǎn)生的連接模式通常具有異質(zhì)性和重尾特征，其中少數(shù)單元作為樞紐，而多數(shù)其他單元連接較少[4-8]。這些特征顯現(xiàn)出明顯的介觀（mesoscale）組織結(jié)構(gòu)，包括模塊化[9-13]、層級結(jié)構(gòu)[14-16]、網(wǎng)絡的網(wǎng)絡（Networksofnetworks）[17-22]、高階結(jié)構(gòu)[23-25]以及隱含的幾何形態(tài)[26-28]。鑒于復雜網(wǎng)絡在自然和人工系統(tǒng)中無處不在，理解它們在何種條件下能夠充分發(fā)揮功能，以及它們在應對外部擾動和/或內(nèi)部故障的脆弱性程度，顯得至關重要[29]。實際上，復雜網(wǎng)絡的互連性質(zhì)面對干擾可能產(chǎn)生正面或負面影響。復雜網(wǎng)絡能夠展現(xiàn)出豐富的行為，從簡單地承受并消化特觸發(fā)的級聯(lián)失效[30,31]。值得注意的是，復雜網(wǎng)絡的魯棒性和韌性特征表現(xiàn)為不同類型的相變現(xiàn)依賴或是多層次的[34-36]）和其動力學特性（如存在集體行為的涌現(xiàn)情況，例如同步、流行病傳播或耦合動力學等[37-40]）。在實際應用中，研究系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)和動力學穩(wěn)定下對擾動的響應至關重要，這類研究可以幫助我們預測系統(tǒng)可能發(fā)生的臨界相變[41]。例如，理解細胞代謝網(wǎng)絡在特定酶反應的激活或抑制下的級聯(lián)失效和魯棒性，對于開發(fā)特定療法、藥物再利用，乃至于網(wǎng)絡和系統(tǒng)醫(yī)學領域的廣泛應用都有重要意義[9,42,43]。類似地，蛋白質(zhì)-蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡對內(nèi)部錯誤或外部干擾的魯棒性，直接關聯(lián)到細胞功能及其在生命樹中的韌性[44]。在人腦中，局部擾動可能與中風[45,46]等病理狀況有關。生態(tài)和社會生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及恢復能力[47-51]，依賴于它們對擾動的魯棒性。在社會系統(tǒng)中，控制流行病爆發(fā)與基礎社交網(wǎng)絡的滲流特性[38]緊密相關，而金融和經(jīng)濟系統(tǒng)中系統(tǒng)性風險的傳播[53-56]，依賴于它們對級聯(lián)失效的韌性，這與電網(wǎng)中導致普遍停電的情況[57,58]類似。從互聯(lián)網(wǎng)[61,62]到航空路線[63]等交通網(wǎng)絡的效率，以及它們對錯誤和擾動的容忍度，都可以通過滲流分析來理解[59,60]。盡管這些應用無處不在，且理解導致系統(tǒng)崩潰的條件至關重要，但對相關文獻的系統(tǒng)性概述仍然缺失。這篇文章通過回顧當前網(wǎng)絡瓦解（networkdismantling）的方法，將現(xiàn)有的實證案例研究分為三個部分：設計魯棒性、預警信號和適應性響應，以填補這一空白。具體而言，我們首先介紹具有操作性的網(wǎng)絡魯棒性和韌性的理論框架。隨后，我們探討了復雜網(wǎng)絡與滲流理論之間的聯(lián)系，并介紹了在最優(yōu)滲流和網(wǎng)絡瓦解領域中使用的理論和計算方法。我們進一步討論了級聯(lián)失效，以及導致刻畫網(wǎng)絡系統(tǒng)性風險傳播的相變發(fā)生的機理。我們還討論了防止和應對網(wǎng)絡系統(tǒng)崩潰的策略，并指出了未來可能的研究趨勢。值得注意的是，盡管本綜述主要聚焦于網(wǎng)絡節(jié)點的移除，但所討論的大多數(shù)概念、度量和技術(shù)同樣適用于網(wǎng)絡連邊的移二、背景信息方式非平凡地相互連接而成的集合。在物理學文獻中，網(wǎng)絡也常被描述為由座（sites）和鍵（bonds）組成。網(wǎng)絡可以通過鄰接矩陣A在數(shù)學上表示，其中任意元素Aij在節(jié)點i和j之間存在交節(jié)點i相關聯(lián)的連邊數(shù)目，而更復雜的描述符則被用來捕捉各種網(wǎng)絡特征，從三角形聚集傾向到單元間信息交換的中心性等[3]。務。實際上，微觀層面的故障并非線性累積，雖然大部分故障可能不會嚴重影響底層系統(tǒng)的功能，但去除特定元素可能會導致系統(tǒng)的崩潰。系統(tǒng)轉(zhuǎn)向崩潰的過程越突然，就越難以捕捉預警信大多數(shù)真實世界網(wǎng)絡具有高度異質(zhì)的連通性[4]，它們通常能夠抵抗此類隨機故障。另一方面，網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)可能被代理利用，以通過有針對性的攻擊來蓄意破壞系統(tǒng)，如實施免疫策略[64]、打擊犯罪網(wǎng)絡、虛假信息或惡意軟件網(wǎng)絡[65,66]，以及對電力和天然氣分配系統(tǒng)的惡意攻擊等[67,68]。但是，每次攻擊都有其固有成本，這取決于特定系統(tǒng)，因為移除一個節(jié)點或邊對應于一個行動，比如接種疫苗、逮捕或關閉服務器。因此，網(wǎng)絡瓦解的目標是通過移除盡可能少的節(jié)點和/或邊來達到既定目標，從而最小化成本。在數(shù)學上，這一過程轉(zhuǎn)化為設計一個移除算法和一個需要相應搜索需要探索所有可能移除的節(jié)點和/或邊的組合。這個操作隨著系統(tǒng)規(guī)模呈指數(shù)級增長，因為破壞系統(tǒng)所需移除的單元數(shù)量并非事先就能知道[69]。比如，在一個只有50個節(jié)點的小型網(wǎng)絡中，要找到最優(yōu)的節(jié)點集合可能需要測試大約250≈1015種組合。此外，在文獻中對于如何衡量系統(tǒng)健康狀況或確定網(wǎng)絡瓦解的目標，即攻擊的具體目的，尚無普遍共識。換句話說，我們應該如何量化迄今為止對系統(tǒng)造成的損害，以便停止攻擊？在網(wǎng)絡瓦解過程中，又應優(yōu)化哪些功能呢？在損害衡量方面，最常見的方法是應用與滲流相關的指標，如監(jiān)控最大連通片（largestconnectedcomponent，LCC）的大小，并在其達到預定目標大小時停止攻擊[70]。此外，也有研究利用其他網(wǎng)絡指標，如網(wǎng)絡效率[59,71]或嵌套性[50,51,72]。然而，對同的研究有不同的焦點，有些旨在尋找可能的最小節(jié)點集合[29,69]，有些則致力于在攻擊開始后盡可能減小LCC的大小[68]，還有些則關注于降低網(wǎng)絡瓦解的成本[66]，因為某些節(jié)點的移除可能比其他節(jié)點更具成本。這些目標并不總是相容的，且目標的選擇還取決于特定應用和攻擊期間可另一個需要考慮的問題是攻擊算法本身的計算成本，這可以通過算法的運行時間和內(nèi)存使用量來以用來嚴格比較不同算法的效率。具體來說，主要假設是算法的運行時間與其執(zhí)行的基本操作數(shù)量成正比，這些操作數(shù)量以輸入大小的函數(shù)形式表達，并且假設所有類型的操作所需時間相同。盡管這個假設并非完全準確，但它是衡量隨著輸入大小增加所需時間如何變化的良好近似，并且不受硬件、軟件或編程語言配置的具體影響——理論上，每個算法至少可以構(gòu)建一個優(yōu)化配置。特別是，常用于比較的大O符號[74]，表示作為輸入大小的函數(shù)時執(zhí)行的操作數(shù)量的漸近值，并除非另有明確說明，通常指的是最壞情況。實際上，最優(yōu)情況通常與簡單的實例相關，因此并不重要，而平均情況則通常難以計算，因為它取決于特定的輸入和算法路徑。例如，時間復雜度為O(N)表示給定輸入大小N時，算法執(zhí)行N次操作，而O(N2)表示執(zhí)行N2次操作。對空間復雜度的考量也類似，它衡量內(nèi)存使用量如何隨輸入大小變化。然而，值得注意的是，由于空間復雜度通常不是算法的限制因素，所以文獻中通常不考在接下來的部分，我們將探討前述理論問題與滲流理論之間的直接聯(lián)系。滲流理論是統(tǒng)計物理中廣泛應用的框架，用于研究系統(tǒng)的行為及其對擾動三、與滲流理論的聯(lián)系滲流理論無疑是處理網(wǎng)絡瓦解問題最直接和最直觀的框架，因此也是被研究得最多的。這個著名模型最初在凝膠研究中理論上被提出[75]，后來在統(tǒng)計物理[32,76]和概率論[77]領域進一步發(fā)展，并在科學和工程的各個領域得到廣泛應用[78-80]。滲流可以視為一種實驗，在此實驗中，根據(jù)一），連通。因此，網(wǎng)絡退化導致的功能損失可以映射到滲流模型的相變過程。在操作上，這通常通過諸如臨界點和最大連通片（LCC，在熱力學極限下也被稱為巨組分（giantcomponent的大小來方便地表征，從而提供對網(wǎng)絡瓦解過程的定量和定性洞察（見圖1b-d）。圖1滲流作為網(wǎng)絡魯棒性的靜態(tài)方法。a、由于根據(jù)預定義的移除協(xié)議Φ選擇了一些節(jié)點（灰色節(jié)點），網(wǎng)絡解體。干預的結(jié)果是網(wǎng)絡分裂成三個連通片，它們的大小分別為S1、S2和S3。這些簇大小是滲流研究中的一個核心量。b-d、Φ的性質(zhì)與控制參數(shù)相關，嚴重影響網(wǎng)絡的響應，導致最大連通片大小的不同類型的相變。e、具有均勻和異質(zhì)連接模式的網(wǎng)絡（粗略地說，度分布的二階矩與平均值的平方相當或遠大于平均值）對故障和有針對性的攻擊的響應方式。圓圈代表連通分量，其半徑取決于其節(jié)點數(shù)量。每個垂直列假設刪除相同數(shù)量的節(jié)點或鏈接。e部分改編自參考文獻[225]。在復雜網(wǎng)絡中，節(jié)點在結(jié)構(gòu)或功能上并不如規(guī)則晶格（RegularLattices）中的節(jié)點那樣同質(zhì)。存在大量的方法和度量標準，可以根據(jù)不同的標準對節(jié)點進行排序，這些通常是由具體應用驅(qū)動的。這種內(nèi)在的異質(zhì)性提供了多種攻擊策略的選擇，從而使我們能夠在許多與物理學相關的場景下評估網(wǎng)絡的魯棒性。例如，隨機選擇節(jié)點的方法被用來模擬系統(tǒng)中發(fā)生的故障和錯誤，而更精細化的針對性攻擊則可以作為有信息的干預措施來執(zhí)行。這種干預可能基于拓撲信息，例如移除具有最多連邊或最大中心性的節(jié)點[81,82]，或者基于非拓撲信息，例如根據(jù)節(jié)點或連邊的元數(shù)據(jù)來進行干預[83]。網(wǎng)絡瓦解策略與網(wǎng)絡拓撲之間的交互是非平凡的。無論是在人工網(wǎng)絡還是在實證網(wǎng)絡中，同質(zhì)或?qū)τ诋愘|(zhì)網(wǎng)絡，如無標度網(wǎng)絡，由于樞紐節(jié)點的作用，故障和攻擊會導致不同的響應。當故障隨機發(fā)生時，樞紐節(jié)點非常有效地維持著網(wǎng)絡的連通性，但如果節(jié)點作為目標被直接攻擊，則網(wǎng)絡會迅速分裂——這就是異質(zhì)網(wǎng)絡所特有的“魯棒而脆弱”（robust-yet-fragile）的特性（見圖1e）。同質(zhì)網(wǎng)絡和異質(zhì)網(wǎng)絡之間的這種差異與非相關網(wǎng)絡中瓦解點的預測一致[84,85]；并且已經(jīng)通過基于生成函數(shù)（generatingfunctions）的理論方法得到了更系統(tǒng)和定量的描述。依賴生成函數(shù)的方法優(yōu)勢在于其數(shù)學上的靈活性，能夠包含更廣泛的情況，同時對臨界指數(shù)提供一定的預測力[85,90,91]，或者對臨界點和最大連通片大小提供封閉形式的公式（Closed-formequations）[92]。這些方法假設底層網(wǎng)絡是配置模型（configurationalmodel）的退火版本，因此在系綜級別處理網(wǎng)絡魯棒性，并有助于揭示度分布pk或其參數(shù)所起的作用。例如，給定一個節(jié)點移除協(xié)議Φk與度數(shù)相關，那么最大連通片的大小SGF由以下方絡瓦解點由相應的方程給出。類似的方程也可以用于隨機連邊故障的情形[93]。通過這些方程，得注意的是，只要網(wǎng)絡中的連接模式不是特別異質(zhì)，刻畫相變的臨界指數(shù)也是一致的，并且它們與網(wǎng)絡無關，等同于平均場預測[76]。然而，這些結(jié)果不適用于更異質(zhì)的網(wǎng)絡：例如，在無標度網(wǎng)絡中，普適性等價性被打破[94]，且臨界指數(shù)可能依賴于度分布的指數(shù)[85]。針對連邊的定向攻擊在文獻中的探討相對較少。為了在瓦解過程中編碼鏈接信息，需要同時考慮鏈接兩端節(jié)點的拓撲屬性，這需要比之前提到的方法更復雜的數(shù)學處理[95]。盡管如此，許多實證網(wǎng)絡是加權(quán)的，或在連邊上定義了特征和/或元數(shù)據(jù)。因此，將瓦解問題在這些情況下公式化，生成函數(shù)用以精確預測實證網(wǎng)絡的魯棒性方法可能并不總是實用的，因為我們關注的是特定網(wǎng)絡拓撲對于故障的響應，而非關注網(wǎng)絡的整體。在這種情況下，消息傳遞方法（message-passingmethods）可能更為方便，因為它使用網(wǎng)絡的實際連通性而非其度分布作為輸入，來計算滲流量[97-100]。這種方法導致了更復雜的數(shù)學和數(shù)值處理，但通常能提供比基于生成函數(shù)方法更好的最大連通片和臨界點估計[101,102]。例如，如果我們用Φi表示節(jié)點i未被移除的概率，網(wǎng)絡的巨組分SMP的大小由如下公式給出：是為了避免回溯信息，盡管考慮短程環(huán)路的其他選擇也是可能的[102]。在接近瓦解算子G的最大特征值相關。對于常數(shù)占用概率φi=φ,可以得到Φc=1/λmax，其中λmax是G的最大消息傳遞方法也可以用于鍵滲流。如果隨機選取的一部分1-φ的連邊從網(wǎng)絡中移除，則最大連通分量的大小由給SMP/φ出。因此，消息傳遞對于座滲流和鍵滲流預測了相同的滲流閾值，這與基于生成函數(shù)的預測一致[94]?；谶B邊攻擊的網(wǎng)絡瓦解可以在這個框架下輕松實現(xiàn)，因為每個獨立連邊的移除概率可以編碼在一個新的占用概率向量φ'中，然后將其應用于鍵滲流的消息傳遞方滲流理論還有助于對呈現(xiàn)出拓撲關聯(lián)的網(wǎng)絡的魯棒性進行預測，這是大多數(shù)實證互連系統(tǒng)的一個特征。其中一種關聯(lián)被稱為同配混合（assortativemixing）[103]，即節(jié)點傾向于與相似類型的節(jié)點相連。在度數(shù)上同配的網(wǎng)絡比那些不同配模式的網(wǎng)絡更為魯棒，因為樞紐節(jié)點創(chuàng)建了一個在隨機攻擊或樞紐攻擊面前能夠維持網(wǎng)絡連通性的冗余核心[104]。局部聚類的存在，即相對于隨機網(wǎng)絡而言封閉三角形的過量，也以不同方式被考慮。根據(jù)聚類的定義方式以及其值是高還是低，網(wǎng)絡可能被認為比其未聚類的對應系統(tǒng)魯棒或更不魯棒[105-108]。超越局部拓撲關聯(lián)，展示介觀非中的節(jié)點引起，另一個由外圍中的節(jié)點引起[110-112]。另一種結(jié)構(gòu)是k-團，基于滲流的分析有助瓦解可能會以一種極難預測的突然方式發(fā)生，因為缺乏明顯的預警信號。這類突變可能會對社會經(jīng)濟產(chǎn)生巨大影響。最近的例子包括2008年金融危機[114]帶來的深遠影響，以及COVID-19的傳播[115]導致全球經(jīng)濟衰退和生活標準的根本性改變。因此，識別可能出現(xiàn)突然相變的情景具有重要價值。滲流理論提供了多種機制，可以引發(fā)這種劇烈的拓撲分裂。其中一種是所謂的k-核滲流，即迭代地移除所有度數(shù)小于k的節(jié)點[116]。對于k=2，相變是連續(xù)的，但對于k>2，它變?yōu)榛旌闲汀Ｗ耘e滲流(Bootstappercolation)也可能呈現(xiàn)不連續(xù)和混合型相變，它允許被移除的節(jié)點在其鄰居數(shù)量超過一定閾值時恢復[117]。此外，還有一系列基于特定選擇規(guī)則的模型，可能會顯著加速或延遲達到臨界點，盡管這需要依賴于介觀層面的信息[118-121]。其中最著名的是導致爆炸滲流（explosivepercolation）的乘積規(guī)則[122]。乘積規(guī)則包括隨機均勻選擇兩條連邊，并移除連接的兩個組分規(guī)模乘積最大的連邊：這樣，滲流的開始變得突然。此外，瓦解點發(fā)生在基于隨機連邊選擇的滲流案例之前。盡管這種相變看起來突然，但已經(jīng)證明，乘積規(guī)則的爆炸性轉(zhuǎn)變實際上是連續(xù)的，但具有獨特的臨界行為[123-125]。關于爆炸滲流的更多信息可以在最近的一篇綜述中找到[126]。最后，與不同網(wǎng)絡耦合時的互依賴性相關的機制也可能導致突然的瓦解，互依賴性在研究級聯(lián)失效中起著核心作用，將在下一節(jié)中討論，但它們可以用靜態(tài)滲流框架進行建模，并揭示出不連續(xù)相變出現(xiàn)的條件[127]。總體而言，由于其靈活性、低計算成本和強大的分析能力，滲流理論在網(wǎng)絡魯棒性研究中占據(jù)了核心地位。它提出了根據(jù)某些度量來瓦解互連系統(tǒng)的準則，從而揭示了這些精確指標對于系統(tǒng)脆弱性的重要性。然而，在其他情況下，干預準則不依賴于特定度量標準，而是以實現(xiàn)特定目標為導向?；谶@一思路，我們在下一節(jié)將重點討論旨在尋找盡可能高效地瓦解網(wǎng)絡的策略的算法。四、最優(yōu)滲流和網(wǎng)絡瓦解尋找最優(yōu)策略，即找出實現(xiàn)網(wǎng)絡最快瓦解的最小節(jié)點集合，是最優(yōu)滲流問題（Optimalpercolation）[128]，也被稱為網(wǎng)絡瓦解（networkdismantling）[69]。這是一個組合優(yōu)化問題，），早期的工作致力于通過評估節(jié)點的一系列拓撲中心性來找到破壞網(wǎng)絡的最小節(jié)點集。破壞網(wǎng)絡的一個簡單策略是按照中心性評分的順序攻擊節(jié)點。最基本的評分方法是節(jié)點的度值，這種方法基于“連接越多越好”的直覺偏好于樞紐節(jié)點[29,73]。這些策略也可以分為靜態(tài)和動態(tài)兩種，前者在然而，在某些情況下，關鍵節(jié)點并非連接最多的節(jié)點，而是那些連接較少但在網(wǎng)絡核心占據(jù)戰(zhàn)略位置的節(jié)點。這些拓撲橋梁體現(xiàn)了社會學中的一個基本概念，即“弱鏈接的力量”[129]。為了找到這些關鍵節(jié)點，已經(jīng)提出了許多啟發(fā)式的中心性度量標準。它們可以大致分為以下幾類：基于度于機器學習的方法。更高層次的分類中，可以區(qū)分出真正基于拓撲描述符的結(jié)構(gòu)性方法，和基于最優(yōu)滲流將尋找最優(yōu)節(jié)點攻擊集的搜索過程系統(tǒng)化，試圖找到一組節(jié)點配置n*，對應于最小的移除比例，使得網(wǎng)絡G∞的最大連通分量被最優(yōu)地瓦解[128]：最優(yōu)滲流是一個NP-hard的組合優(yōu)化問題[130]，由于無法實現(xiàn)G∞(n)的顯式函數(shù)形式，使得這個問題難以直接解決。然而，對稀疏網(wǎng)絡[128]，存在一個近似解方案，從而引出了集體影響力序列，這些攻擊是對非回溯矩陣最大特征值最小化的連續(xù)逼近。這就產(chǎn)生了具有度值ki的節(jié)點i的提供了對最優(yōu)滲流集的良好近似。后來，基于消息傳遞[132]和置信度傳播（beliefpropagation）[133]的更好算法被提出，包括去環(huán)瓦解[69,134]以及爆炸滲流[64]。這些方法嚴謹?shù)靥幚砹俗顑?yōu)滲流問題，增進了我們的理解，并進一步產(chǎn)生了一系列適用于大規(guī)模復雜系統(tǒng)復雜而高效的算片的最優(yōu)瓦解。對于稀疏隨機網(wǎng)絡，小連通分量中很少存在短環(huán)。如果切斷最大連通片中的長環(huán)，網(wǎng)絡將分裂成小的樹狀片段。最優(yōu)去環(huán)閾值對應最優(yōu)滲流閾值的上限[69]。最優(yōu)去環(huán)是一個NP-hard問題，可以通過置信度傳播算法近似求解。已經(jīng)開發(fā)了兩種方法：置信度傳播引導的化簡算法（thebeliefpropagation-guideddecimationalgorithm）[134]和Min-Sum算法[69],盡管復雜度有所增加，它們找到的影響力節(jié)點集合比CI算法更小。特別是，這兩種算法首先通過消息傳遞算法對網(wǎng)絡進行去環(huán)處理，然后使用樹破壞器算法（tree-breakeralgorithm）分解所考文獻[69]中提出的貪婪樹破壞器算法的復雜度O(N(log(N+T)))隨T和N數(shù)量級縮放，其中T是森林貪婪過程，重新插入實際上不需要的節(jié)點以達到預期目標。這個重插入階段旨在減少實際從網(wǎng)絡中移除的節(jié)點數(shù)，從而降低攻擊成本，適用于胖尾網(wǎng)絡，在這些網(wǎng)絡中，去環(huán)和瓦解問題并不等同。這一階段報告為亞線性時間復雜度，但確切的復雜性尚未明確[135]。啟發(fā)式算法，對于稀疏網(wǎng)絡其復雜度為O(N)，其思想是通過迭代從2-核中移除度值最高的節(jié)點來實現(xiàn)去環(huán)，然后采用與Min-Sum算法相同的樹破壞和重插入算法。爆炸性免疫算法[64]基于爆炸滲流相變。廣義網(wǎng)絡瓦解[66,136]旨在解決非單元的移除成本問題，并基于迭代移除那些能最大其他研究還提出了基于機器學習的攻擊策略，如基于機器學習的圖瓦解（graphdismantlingwithmachinelearning,GDM）[68]和FINDER[137]。這兩種方法都利用幾何深度學習，具體來說是圖合數(shù)據(jù)上進行監(jiān)督學習，而FINDER采用強化學習方法。另一個算法是CoreGDM[138]，它受到CoreHD的啟發(fā)，使用GDM模型攻擊網(wǎng)絡的2-核。此外，還研究了歐幾里得空間和雙曲空間中網(wǎng)絡嵌入的性能[139]。最優(yōu)滲流還在多重網(wǎng)絡[140]和博弈論[141]上在網(wǎng)絡動力學信息流方面，最優(yōu)滲流旨在尋找能阻止信息傳播的“超級阻斷者”的最小集合[142]。并不一定等價[143]。然而，在一種特定形式的線性閾值傳播模型中，閾值由給出，在這種情況下，最優(yōu)滲流與影響力最大化問題等價[128,130]。影響力最大化問題的目標是找到能在網(wǎng)絡中引k，我們希望找到一個具有最大影響力σ(S*)的k節(jié)點集合S*：這種方法將最優(yōu)滲流的應用擴展到了各種社會問題和更廣泛的領域：影響者理論在多個應用中發(fā)揮作用，比如在社交媒體中識別有影響力的傳播者、在大流行病中找出超級傳播者、識別可能導致疾病的遺傳網(wǎng)絡中的關鍵基因突變、確定大腦中對整合至關重要的區(qū)域、識別其滅絕可能引發(fā)生態(tài)系統(tǒng)崩潰的關鍵物種，以及尋找“大到不能失敗”（toobigtofail）的金融機構(gòu)。為了實現(xiàn)這一目標，研究者提出了一種基于將網(wǎng)絡狀態(tài)編碼到適當定義的密度矩陣中的方法[145]。在這種方法中，網(wǎng)絡的魯棒性在與信息通過網(wǎng)絡傳播所需時間尺度相對應的多個層面上進行分析[146]。對社會、生物和交通系統(tǒng)的實證應用表明，對信息動力學至關重要的節(jié)點也負責保持網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)完整性，但反之并非必然成立，并且功能性瓦解往往在完全結(jié)構(gòu)性瓦解之前發(fā)生表1總結(jié)了上述算法及其主要特點。在進行魯棒性評估時，需要針對每個待瓦解的特定網(wǎng)絡評估2帶有重新插入功能的GDM算法是最快瓦解它的，大約在309個節(jié)點中僅需移除20個。然發(fā)現(xiàn)最優(yōu)算法在各領域內(nèi)部和跨領域之間都存在差異。關于所選實證網(wǎng)絡的更多詳細信息，請參見附表1和2；對于合成網(wǎng)絡以及Lancichinetti–Fortunato–Radicchi模型的比較，請參見附表4和法是否包含重插入節(jié)點的階段；c報告針對稀疏網(wǎng)絡圖2最新網(wǎng)絡瓦解方法的比較。a,算法在驅(qū)動系統(tǒng)——一個擁有309個節(jié)點的巴西腐敗網(wǎng)絡[65]——走向瓦解方面進行了比較，瓦解程度通過最大連通片的相對大小來衡量。b-g,展示了部分a中不同曲線的瓦解路徑。節(jié)點的顏色（從深紅到白色）代表攻擊順序（灰色節(jié)點未被移除），節(jié)點的大小代表它們的介數(shù)值。攻擊后剩余節(jié)點的輪廓顏色代表它們所屬的簇。部分a改編自參考文獻[68]，MS+R，即Min-Sum算法加上重插入階段。表2真實世界網(wǎng)絡瓦解的平均方法下曲線面積（AUC），按類別分組注：每種方法的瓦解目標是網(wǎng)絡大小的10%。通過使用辛普森規(guī)則對∣LCC(x)∣/∣V∣（最大連通片（LCC）大小作為移除節(jié)點的函數(shù)）值進行積分計算AUC。為了便于閱讀，每個網(wǎng)絡的AUC值表示為在該網(wǎng)絡上表現(xiàn)最優(yōu)的方法所得值的百分比，即AUC越低越好。完整結(jié)果可在補充表3中查看。ADPageRank；+R,執(zhí)行了重插入階段。aCI和CoreHD與其他+R算法進行了比較，因為它們包含了重插入階段。法）來尋找最優(yōu)的瓦解集合qc。然而，由于搜索空間維度大，這些算至此，我們已經(jīng)從滲流模型的靜態(tài)視角出發(fā)探討了魯棒性和韌性。然而，我們期望能夠處理這樣一種場景：網(wǎng)絡中小規(guī)模的故障以隨機或有針對性的方式發(fā)生，并可能引發(fā)全局范圍內(nèi)的效應，五、級聯(lián)失效網(wǎng)絡中可能發(fā)生的最具破壞力的過程是級聯(lián)失效。實際系統(tǒng)所遭受的錯誤和攻擊通常具有動力學特性，哪怕它們源自系統(tǒng)的某個小的、局部的區(qū)域，也可能進一步擴散，直至整個系統(tǒng)災難性地態(tài)滲流框架存在差異，但我們?nèi)越栌昧艘恍﹣碜詽B流理論的指標來衡量級聯(lián)失效的魯棒性和韌性，比如在級聯(lián)停止后未出故障網(wǎng)絡中最大聯(lián)通片的大小，或者存活下來的最大聯(lián)通片瓦解時所圖3網(wǎng)絡失效的演化。a,在美國-加拿大南部電網(wǎng)的級聯(lián)傳播模擬后的電力線路狀態(tài)圖：未經(jīng)歷停電的線路（綠色）和受影響的電力線路（灰色）。下排：級聯(lián)由三個故障觸發(fā)后，受損線路（黃色）演化快照，重縮放時間為t=0。b,推特上的信息級聯(lián)。在諾貝爾獎公告前、期間和之后，有關希格斯玻色子發(fā)現(xiàn)的推文密度（上排），以及相應的信息重分享網(wǎng)絡（下排）。c,由相互依賴關系支撐的模型系統(tǒng)中兩層耦合網(wǎng)絡的故障演變。垂直箭頭代表依賴關系。節(jié)點顏色表示功能節(jié)點（黑色）、最初故障的節(jié)點（黃色），以及因不屬于最大簇（紅色）或依賴于另一個網(wǎng)絡中故障節(jié)點的單元（藍色）而被移除。d,最大連通片的大小(Φt）作為級聯(lián)步驟（t）的函數(shù)。淺藍線對應于動力學的個體實現(xiàn)，標記表示它們的平均值。深藍線為理論預測。e,f,最大連通片的靜止大?。≒∞)作為最初移除節(jié)點比例（p）的函數(shù)。實線顯示理論預測。n是耦合層的數(shù)量；q是雙層網(wǎng)絡中相互依賴節(jié)點的比例。g,閾值模型中級聯(lián)停止時的最大連通片，作為閾值R和底層Erd?s–Rényi網(wǎng)絡的平均度〈k〉的函數(shù)。虛線指出級聯(lián)出現(xiàn)的分析預測。h,對于固定R=0.18，級聯(lián)停止時的最大連通片(ρ)隨平均度〈k〉的函數(shù)。i,在兩個網(wǎng)絡之間的非平凡中間互聯(lián)水平p（金色曲線，菱形符號）可以緩解大規(guī)模負荷削減級聯(lián)。然而，過多或過少的互連會引發(fā)更大的級聯(lián)，并對魯棒性產(chǎn)生不利影響。Taa(Tba)表示在網(wǎng)絡a中展開的級聯(lián)大小，用于在網(wǎng)絡a（b）開始的級聯(lián)。Ta是不區(qū)分級聯(lián)開始位置的網(wǎng)絡a中的級聯(lián)大小。網(wǎng)絡a和b各有2,000個節(jié)點。部分a經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自參考文獻58。部分b改編自參考文獻226,。部分c改編自參考文獻19。部分d-f轉(zhuǎn)載自參考文獻19。部分g,h經(jīng)授權(quán)改編自參考文獻171。部分i經(jīng)授權(quán)改編自參考文獻190。圍的特定系統(tǒng)的微觀、領域?qū)虻奶匦浴Ｏ喾?，我們主張應將注意力集中在大尺度模式和眾多看其中一模型大類是那些通過相互依賴關系傳播故障的模型。這是系統(tǒng)理論中的一個核心概念，指的是宏觀系統(tǒng)的不同微觀和介觀部分之間存在的依賴關系，這些關系支持整個系統(tǒng)的正常功能。從生物化學到人造行星工程系統(tǒng)，這些例子遍布許多科學分支[149]。兩個等效的理論框架，即多層網(wǎng)絡[21,22,150-152]和網(wǎng)絡的網(wǎng)絡[153,154]，已成功用于構(gòu)建這類級聯(lián)的模型。在這些模型靜態(tài)滲流不同的是，這種情況涉及到一個逐步退化的網(wǎng)絡的快照，其瓦解由依賴相關規(guī)則指導2003年，意大利電網(wǎng)因一座電站損壞而發(fā)生大停電，導致一些互聯(lián)網(wǎng)通信網(wǎng)絡故障，進而在兩個系統(tǒng)間形成了故障的正向反饋循環(huán)。這一事件啟發(fā)了一個理論模型，用于研究雙層網(wǎng)絡中由相互依賴性引發(fā)的級聯(lián)失效[17]。滲流量，如最大聯(lián)通片的大小，可以在根據(jù)該模型演變的系統(tǒng)的每合子系統(tǒng)[19,155]、部分和非對稱的相互依賴關系[156,157]等。例如，如果層i=1,…,n遭受失效或攻擊，導致Φi的功能節(jié)點比例下降，而qji表示層i中直接依賴于層j節(jié)點的節(jié)點比例，那么層中最大連通片的穩(wěn)態(tài)值，可以通過求解以下方程組得到系連接到i的層的數(shù)量[158]。也可以對由連邊故障驅(qū)動的級聯(lián)進行分析處理，但與節(jié)點故障傳播機公式（9）至（11）預測了一系列豐富多彩的現(xiàn)象，然而這些現(xiàn)象對相互依賴系統(tǒng)的魯棒性產(chǎn)生了顯著影響。最顯著的現(xiàn)象是，隨著網(wǎng)絡拓撲參數(shù)的變化，級聯(lián)過程結(jié)束時最大聯(lián)通片經(jīng)歷了一個不連續(xù)的相變。這種突變導致系統(tǒng)的突然崩潰，而隨著完全耦合子系統(tǒng)的數(shù)量增加，這種崩潰提高相互依賴耦合系統(tǒng)魯棒性的見解。目前已識別出三種主要方法：增加自主節(jié)點的比例，特別是那些高度數(shù)的節(jié)點；在相同度數(shù)的節(jié)點之間設計依賴關系；以及特別注重保護高度值節(jié)點不受故障和攻擊的影響。在大腦網(wǎng)絡的背景下，如果考慮到拓撲相關性，可以提高網(wǎng)絡對相互依存引發(fā)的級聯(lián)效應的魯棒性。我們建議讀者參考最近的綜述文獻[162,163]及其引用文獻，以更深入地另一類模型起源于集體行為理論，即所謂的閾值模型（thresholdmodel）。在這些模型中，我們假定一個節(jié)點的鄰居對其狀態(tài)改變的影響——也就是從正常運作轉(zhuǎn)變?yōu)槭А⒎请S失效鄰居數(shù)量n線性變化，而是只在超過某個閾值后才會起作用。這類模型通常應用于社會心理學領域，以便理解在什么樣的情境下，社會行動者會決定傳播謠言、潮流和假新聞，或采取特定行為。這個問題當然與社會層面的網(wǎng)絡魯棒性和韌性密切相關：眾所周知，信息的傳播可能對公共衛(wèi)生系統(tǒng)構(gòu)成嚴重威脅，極化辯論，甚至破壞公眾對民主制度的信任[167,168]。但另一方面，信息傳播也可能帶來積極影響，例如促進創(chuàng)新等[166,169]。無論如何，這些模型都可以輕松地應用于其他方法是假設，如果一個節(jié)點出現(xiàn)故障鄰居比例超過某個特定閾值，那么該節(jié)點將會出現(xiàn)故障。這[170]那么當閾值較大時，全局級聯(lián)非常罕見。如果平均度值太小，幾乎沒有節(jié)點能夠傳播故障，且這些節(jié)點彼此孤立；因此，全局級聯(lián)無法形成。然而，如果平均度值太大，因為大量正常運作的鄰居會穩(wěn)定節(jié)點使其始終低于閾值，級聯(lián)無法發(fā)展。下限臨界平均度幾乎不依賴于閾值，而上限臨界平均度則強烈依賴于它。在這兩個點之間，容易觸發(fā)全局級聯(lián)。全局級聯(lián)的出現(xiàn)條件及其規(guī)模估計已成功推廣到具有拓撲關聯(lián)性的網(wǎng)絡、時間和多層網(wǎng)絡[173-180]。類似地，人們也采用了更復雜的故障條件，如結(jié)合相對和絕對閾值[181]，僅設定絕對閾值[182]，或包括過去故障暴露的記憶[183]。我們在這部分討論的最后一組模型是過載模型（overloadmodel）。在這些模型中，節(jié)點（或連——也就是所謂的容量限制——就能正常運作，而這個容量限制理論上可以通過人為干預進行調(diào)整。在發(fā)生故障或攻擊之后，負荷會根據(jù)某些規(guī)則重新分配，這些規(guī)則取決于所要模擬的系統(tǒng)類型，可能導致一系列過載和新的網(wǎng)絡內(nèi)分配事件的鏈式反應。級聯(lián)將在所有節(jié)點的負荷恢復至其沙堆模型的自組織臨界性是最具代表性的負荷重新分配機制之一[184,185]。這些模型的特點是緩加任何負荷，這通常很好地近似于實證過程，因為級聯(lián)的展開通常是最快的時間尺度。由于網(wǎng)絡中的節(jié)點具有不同數(shù)量的鄰居，將節(jié)點容量設置等于其度值成為一種自然選擇[186]，盡管還有其他選擇可能[187-189]。此外，為了避免網(wǎng)絡因負荷過載而飽和，需要在轉(zhuǎn)移負荷時以一定的概率移除部分負荷。在相互依賴的電網(wǎng)背景下已經(jīng)分析過減負級聯(lián)模型，在其中發(fā)現(xiàn)了一種優(yōu)化網(wǎng)絡界性規(guī)則與Kuramoto模型相結(jié)合時，會出現(xiàn)龍王事件（Dragonkingevents）（即更大級聯(lián)中的中心性（betweenness）關聯(lián)起來，因為最短路徑與交通或路線分配之間存在正相關性[30]。在該模型中，每個節(jié)點的容量與其初始介數(shù)中心性成正比，當一個節(jié)點出現(xiàn)故障時，會發(fā)生全局負荷重新分配，可能導致新的節(jié)點過載，這些節(jié)點并不一定位于先前故障的附近。這種非局域性在空間嵌入網(wǎng)絡中容易被直觀觀察到[35]。對非局域性進行完整、明確的表征仍是一項分析挑戰(zhàn)，但已經(jīng)有不同視角的努力旨在更好地理解其復雜性[192-195]。具有異構(gòu)的度分布或者介數(shù)中心性分布的網(wǎng)絡，如果節(jié)點容量不足夠大，被發(fā)現(xiàn)在面對針對性攻擊時極其脆弱[196]。事實上，即使只有一個節(jié)點（選擇那些介數(shù)中心性或度數(shù)最大的節(jié)點之一）作為初始壓力源被破壞，網(wǎng)絡也可能崩潰[30]。相反，即使節(jié)點的容量很低，無論網(wǎng)絡是同質(zhì)還是異質(zhì)連接，隨機選擇一個節(jié)點作為初始干擾并不是一種有效的策略來破壞網(wǎng)絡。然而，已經(jīng)在分析上證明，對于足夠大的隨機選擇的節(jié)點集合，網(wǎng)絡可能遭受一個不連續(xù)的瓦解相變[197]。在單層和多層網(wǎng)絡中都有報道不連續(xù)轉(zhuǎn)變的數(shù)值證據(jù)[198]。過載模型還在鏈接故障和干預的背景下進行了研究[199-203]。到目前為止，我們討論了靜態(tài)干預的拓撲影響和有效性，以及局部故障如何在宏觀網(wǎng)絡部分傳播的不同機制。在下一節(jié)中，我們將介紹互補視角，即如何以主動和預設的方式防止和應對這些現(xiàn)六、防止和應對網(wǎng)絡崩潰網(wǎng)絡崩潰可以通過在其形成階段應用某些設計原則來預防，這些原則旨在提升網(wǎng)絡對隨機故障和針對性攻擊的韌性[204-208]。然而，這些設計原則并非總是得到應用，或者更糟糕的是，可能被在網(wǎng)絡構(gòu)建時無法預見的高級攻擊策略所規(guī)避。在這種情況下，即將發(fā)生的網(wǎng)絡崩潰的早期預警指標[68,209-214]以及對正在發(fā)展的崩潰進行的修復和自適應響應[215-217]成為最佳防線。通過促進自發(fā)恢復[218,219]或通過微觀干預來引發(fā)崩潰[215-217,220]，可能可以預防系統(tǒng)性崩潰。這些干預應當采取成本效益高的基于網(wǎng)絡的程序[221,222]。網(wǎng)絡設計的早期嘗試可以追溯到1970年代研究的圖增強問題。那時得出的一個成果是，使有向圖期的網(wǎng)絡設計策略則是在2010年代中期提出的[204,205]。特別是對于無標度網(wǎng)絡和具有雙峰度分布的網(wǎng)絡，如果除了一個節(jié)點外，所有節(jié)點的度數(shù)相同，且接近每個節(jié)點的平均連接數(shù)，同時剩是一個映射，給出了損害d∈D之后的新網(wǎng)絡，則損害d的重要性由性能的相對下降給出，其中te(s,d)]≥0。此外，定義臨界損害d*∈D為最小化的損害。然后可以將G因D而產(chǎn)生的脆弱性V定義為[205]。其中，WG,D)=[(G,d是網(wǎng)絡G在損害類別D下的最差性能。同樣，我們可以通過映射N(G,)定義一組改進i∈I，對網(wǎng)絡G進行改進，以此實現(xiàn)在臨界改進i*條件下網(wǎng)絡的最優(yōu)可提升相對增加給出，其中[205]。然而，對于可優(yōu)化的內(nèi)容存在一個基本限制：實際上，網(wǎng)絡的魯棒性和其表現(xiàn)是難以同時最大化的競爭特征[223]。網(wǎng)絡設計的概念已進一步擴展至相互依賴的網(wǎng)絡體系中[206,162,224]。一個網(wǎng)絡系統(tǒng)的穩(wěn)定性依賴于其內(nèi)部結(jié)構(gòu)與與其他網(wǎng)絡連接模式之間的關系。更具體地說，為了使一個互依賴網(wǎng)絡在設計上被認為是魯棒的，其相互連接應由網(wǎng)絡樞紐節(jié)點提供，同時網(wǎng)絡間的連接應適度集中。如果這兩個條件得到滿足，那么網(wǎng)絡系統(tǒng)可以被認為是穩(wěn)定的，并且對故障具有魯棒性。這一結(jié)果也已在任務和休息狀態(tài)下的功能性大腦網(wǎng)絡實驗中得到證實[206]。但即使采用了最佳設計實踐，網(wǎng)絡崩潰有時仍然難以避免。在這種情況下，早期檢測至關重要。早期的研究表明，荷蘭銀行間網(wǎng)絡在2008年全球金融危機前夕的許多拓撲屬性顯示出突然的變化[210]。對于社會生態(tài)網(wǎng)絡而言，網(wǎng)絡協(xié)方差矩陣的最大元素被用作預警指標的基礎，有效地標示了網(wǎng)絡不穩(wěn)定性[211]。在耦合的人類-環(huán)境系統(tǒng)中也有類似的概念被提出，盡管它不是基于網(wǎng)絡的范式（formalism而是基于臨界點理論[214]，將臨界點理論與以發(fā)展出作為早期預警信號的臨界減速指標，用于檢測結(jié)構(gòu)復雜的生態(tài)群落接近潛在臨界點的情況[212]。此方法在79個實證互惠網(wǎng)絡中成功應用，有效識別出監(jiān)測社區(qū)臨近崩潰的關鍵物種?；A設施和技術(shù)網(wǎng)絡[68]，其效率甚至超過了人類的啟發(fā)式策略。值得注意的是，這個底層程序還可以進行反向工程——機器可以評估未來攻擊帶來系統(tǒng)解體的概率——從而開發(fā)出網(wǎng)絡崩潰的預警信號。更具體地說，如果S0是導致網(wǎng)絡滲流的虛擬移除節(jié)點集，且符合以下約束那么，在移除一組通用節(jié)點集S后，網(wǎng)絡的預警值Ω可以