基本不等式中的數形結合獲獎科研報告論文

基本不等式中的數形結合獲獎科研報告論文摘要：作為高中數學重要組成部分的基本不等式，其蘊含在多個幾何圖形之中。從趙爽弦圖出發(fā)，結合幾何畫板，以學生動手的形式，讓學生初步感受代數的幾何形式。再者，通過嚴格的證明與推導，充分體現(xiàn)數學的嚴謹性。最后，再出回到幾何，點明基本不等式的幾何意義。

關鍵詞：基本不等式；數形結合；教學設計

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一、學習任務分析

本節(jié)課選自人教A版《普通高中課程標準教科書?數學》必修5第3章第4節(jié)第1課時的內容，主要研究基本不等式及其推導過程。

本節(jié)課是在學習了不等式、一元二次不等式基礎上的一節(jié)課，它是學生學習的第一個重要不等式，它加深了學生對不等量關系的理解，為基本不等式應用的學習提供了知識鋪墊。同時，其研究方法滲透了研究重要不等是的基本方法，為后續(xù)研究柯西不等式等重要不等式提供了方法儲備與技能鋪墊。教材從趙爽弦圖開始引入，充分體現(xiàn)了數學的文化價值，使學生認識到中國數學的輝煌歷史，同時蘊含了數形結合、等價轉換等數學思想方法，培養(yǎng)了學生推理論證，抽象概括等能力。

二、學習者分析

從已有知識和經驗來看，學生已經學習了不等式、一元二次不等式等相關知識；從已有能力來看，學生已經初步具備了觀察分析，抽象概括等能力。但是在學習新的不等式時，仍會存在一定的思維障礙，如不能給出基本不等式的準確推導等。

三、教學目標分析

1、知識與技能：掌握兩種重要等式的形式及其成立的條件；會說明基本不等式的代數推

導過程；能解釋基本不等式的幾何意義；應用基本不等式比較大小，證明其他不等式。

2、過程與方法：在經歷觀察，分析，猜想，論證的過程中，探索基本不等式；在利用圖形感知基本不等式的過程中，感受到數形結合等數學思想方法；在經歷不等式的證明過程中，體會分析法和綜合法的證明思路。

3、情感態(tài)度與價值觀：在利用趙爽弦圖感知不等式的過程中，感受到數學的文化價值，增強愛國熱情；在探索基本不等式幾何意義的過程中，感受到數與形的辯證統(tǒng)一；在應用基本不等式的過程中，體會到數學的對稱美與簡潔美；

四、教學重點難點

教學重點：掌握基本不等式的形式；能說明基本不等式的推導過程；

教學難點：應用基本不等式。

五、教學過程

1、探究不等式a2+b2≥2ab

（1）創(chuàng)設情境，猜想命題1

【情境1】如圖1是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據

中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，

顏色的明暗使它看上去像一個風車，

代表中國人民熱情好客。

【問1】你能在這圖(圖2）中找出一些相等關系或不等關系嗎？

【師生活動】讓學生獨立思考，教師點名回答，并且板書，同時引導學生從面積的角度尋找不等量關系。

【教師歸納】（1）AB2=2AE?BE+(AE﹣BE)2=AE2+BE2（勾股定理）

（2）a2+b2≥2ab（重要不等式）

（2）推理論證，證明命題1

【問2】你能對a2+b2≥2ab進行嚴格的證明嗎？并說明該重要不等式中“=”何時成立？

【師生活動】學生獨立思考，教師點名回答。

【教師歸納】由于(a-b)2=a2+b2-2ab≥0，故a2+b2≥2ab當且僅當a=b時，上述不等式取到“=”。

【設計意圖】這里主要是介紹一個重要的不等式a2+b2≥2ab，從趙爽弦圖引入，讓學生感受到中國數學的輝煌歷史的同時，也蘊含這數形結合的思想。另一方面該重要不等式的證明，為后續(xù)證明基本不等式做鋪墊。

2、探究基本不等式ab≤(a+b)/2

（1）創(chuàng)設情境，猜想命題2

【情境2】現(xiàn)將兩張正方形的紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形，再用這兩

個三角形拼接構造出一個矩形（兩邊分別等于兩個直角三角形的直角邊，多余部分折疊）。

【師生活動】學生自己動手構造矩形，教師用幾何畫板動畫演示如下過程：

【問3】在這一過程中，你能發(fā)現(xiàn)一個怎樣的不等式？

【師生活動】學生獨立思考，教師點名回答，必要是引導學生，并且板書。

【教師歸納】若a>0,b>0，則ab≤(a+b)/2。

【設計意圖】在讓學生動手實踐的同時結合信息技術，讓學生直觀感受基本不等式的同時進

一步認識到數與形的辯證統(tǒng)一，猜想出基本不等式。

（2）推理論證，證明命題2

【問4】你能對ab≤(a+b)/2(a>0,b>0)進行嚴格的證明嗎？并說明不等式中“=”何時成立？

【師生活動】學生獨立思考，教師點名讓學生板書。

【教師歸納】方法一：（分析法）由于a>0,b>0，要證(a+b)/2≥ab，只需證(a)2+(b)2≥2ab,即證(a)2+(b)2-2ab≥0，即證(a-b)2≥0，顯然成立。故(a+b)/2≥ab。有上述證明過程可知當a=b時，“=”成立。

方法二：（綜合法）由于x2+y2≥2xy，當且僅當x=y時取到“=”，令x=a，y=b代入上式有(a)2+(b)2≥2ab，即a+b≥2ab，證得(a+b)/2≥ab當且僅當a=b，即a=b時取到“=”。

【設計意圖】通過讓學生演示分析法與綜合法的證明，更好的體會這兩種方法的思想，同時加深對基本不等式的理解

3、明確不等式

（1）兩個不等式：①a2+b2≥2ab("a∈R，b∈R)。②ab≤(a+b)/2(a>0,b>0)————基本不等式。

（2）基本不等式的文字描述

【問5】我們常把(a+b)/2叫做算數平均數，把ab叫做幾何平均數，如何用文字語言來描述基本不等式？

【師生活動】學生思考，教師點名回答。

【教師歸納】正數的算數平均數不小于他們的幾何平均數。

（3）基本不等式的條件分析

【問6】為什么在基本不等式中要求a>0,b>0？

【師生活動】學生思考，教師點名回答。

【教師歸納】要使ab有意義，則ab>0，若a0，顯然該不等式不成立，故a>0,b>0。

（4）基本不等式的幾何意義。

【問7】如圖3，AB是圓的直徑，點C

是AB上一點，AC=a，BC=b，過點C作垂

直于AB的弦DE，連接AD,BD，

你能利用這個圖形得出基本不等

式的幾何意義嗎？

【師生活動】教師引導學生求出CD，讓學生獨立思考，教師點名回答。

【教師歸納】CD=ab為半弦長，AB=a+b為直徑，(a+b)/2為半徑。由于(a+b)/2≥ab，故在圓中，直徑不小于半弦長。

（一）運用不等式

【例1】（1）已知都是正數，求證x/y+y/x≥2；（2）已知x>1，求證x+4/(x-1)≥5。

【師生活動】學生獨立思考，教師點名回答，做適當引導，并且板書

【解答】(1)∵x>0,y>0,∴x/y>0,y/x>0,∴x/y+y/x≥2(x/y)?(y/x)=2

(2)∵x>1∴x-1>0,∴x+4/(x-1)=x-1+4/(x-1)+1≥2(x-1)?4/(x-1)+1=5

【設計意圖】涉及應用基本不等式證明其他簡單的不等式。

【例2】已知a>b>1,P=loga?logb,Q=(loga+logb)/2,R=log((a+b)/2)試比較P,Q,R的大小。

【師生活動】學生獨立思考，教師點名回答，做適當引導，并且板書

【解答】∵a>b>1,∴l(xiāng)oga>logb>0,∴Q=(loga+logb)/2≥loga?logb=P

∵Q=(loga+logb)/2=(logab)/2=logab且(a+b)/2≥ab∴R=log((a+b)/2)>logab=Q

故R>Q>P.

【教師歸納】在應用基本不等式時要注意一下三點：

一正：a>0,b>0；二定：ab（或a+b）為定值；三相等：當且僅當a=b是取到“=”。

【設計意圖】涉及應用基本不等式比較大小，通過教師歸納加深學生對基本不等式使用條件及注意點的印象。

【變式】已知a、b是正數，試比較2/(1/a+1/b)與ab的大小。

【師生活動】學生獨立思考，教師點名讓學生板書

【解答】∵a>0,b>0∴1/a>0,1/b>0∴1/a+1/b≥21/a?1/b,故2/(1/a+1/b)≤2/(21/a?1/b)=ab

（5）課堂小結

【問】在本節(jié)課中有什么收獲？

【師生活動】學生思考，教師點名回答，并且補充歸納

【教師歸納】1.兩個