2024年高考數(shù)學優(yōu)等生培優(yōu)第9講 二次函數(shù)-解析版48

第9講二次函數(shù)通關(guān)一、二次函數(shù)的解析式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)頂點式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),其中（m,n)為拋物線頂點坐標，x=m為對稱軸方程(3)雙根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是拋物線與x軸交點的橫坐標。通關(guān)二、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)解析式y(tǒng)=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)圖像定義域R值域?qū)ΨQ軸頂點坐標奇偶性當b=0時為偶函數(shù)，當b≠0時為非奇非偶函數(shù)單調(diào)性時是減函數(shù)；時是增函數(shù)；時是減函數(shù)；時是增函數(shù)；最值當時，當時，【評注】可以直接根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)比較兩個函數(shù)值的大小。若二次函數(shù)的圖像開口向上，則到對稱軸距離大的自變量對應(yīng)的函數(shù)值較大；若二次函數(shù)的圖像開口向下，則到對稱軸距離大的自變量對應(yīng)的函數(shù)值較小。【結(jié)論第講】結(jié)論一、y=ax2+bx+c(a≠0)的性質(zhì)與a,b,c的關(guān)系關(guān)于a,b,c的代數(shù)式作用說明a決定開口方向與大?。粵Q定單調(diào)性a>0向口向上，a越小開口越大，為單調(diào)遞減區(qū)間，為單調(diào)遞增區(qū)間a<0向口向下，|a|越小開口越大，為單調(diào)遞增區(qū)間，為單調(diào)遞減區(qū)間b決定奇偶性b=0偶函數(shù)b≠0非奇非偶函數(shù)c決定與y軸交點位置c>0交點在x軸上方c=0過原點c<0交點在x軸下方?jīng)Q定對稱軸位置ab>0在y軸左側(cè)b=0對稱軸是y軸ab<0在y軸右側(cè)決定與x軸的交點個數(shù)>0兩個交點=0一個交點<0無交點決定頂點的位置利用配方法把函數(shù)化為決定與x軸的兩交點間的距離=【例1】設(shè)abc>0，二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像可能是（）【答案】D【解析】A選項，由圖像開口向下知a<0，由對稱軸位置知<0，所以b<0。若abc>0，則c>0，而由題圖知f(0)=c<0，所以A選項不符；B選項，由題意知a<0，>0，所以.若,則,而由題圖知,所以選項不符;選項,由題圖知,,所以.若,則,而由題圖知,所以選項不符;選項,由題圖知,所以.若,則,而由題圖知,所以選項正確.故選D.【變式】右圖是二次函數(shù)圖像的一部分,圖像過點,對稱軸為.給出下面四個結(jié)論:①;②＝－1;③;④.其中正確的是().A.②④ B.①④ C.②③ D.①③【答案】B【解析】因為圖像與軸交于兩點,所以,即,①正確.對稱軸為,即,②錯誤.結(jié)合圖像,當時,,即③錯誤.由對稱軸為知,.又函數(shù)圖像開口向下,所以,所以,即,④正確.故選B.結(jié)論二、二次函數(shù)的對稱性二次函數(shù)的圖像是一條拋物線,對稱軸方程為,頂點坐標是①如果二次函數(shù)滿足,那么函數(shù)的圖像關(guān)于對稱.②二次函數(shù)使成立的充要條件是函數(shù)的圖像關(guān)于直線為常數(shù))對稱.【例2】若的圖像關(guān)于對稱,則_______.【答案】2【解析】由題意可知,解得,所以,解得.【變式】已知二次函數(shù),如果其中,則_____.【答案】【解析】因為,所以的圖像關(guān)于對稱,.結(jié)論三、二次函數(shù)的單調(diào)性二次函數(shù)(1)當時,如圖所示,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增,當時,;(2)當時,如圖所示,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減,當時,.【例3】已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)的取值范圍為_______.【答案】或【解析】函數(shù)的圖像是開口向下的拋物線,經(jīng)過坐標原點,對稱軸是.因為已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),所以區(qū)間應(yīng)在直線的左側(cè)或右側(cè),即有或,解得或.【變式】若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是().A. B. C.[1,3] D.【答案】C【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),所以對稱軸應(yīng)在的右側(cè),的左側(cè)或與重合,所以.故選C.結(jié)論四、給定區(qū)間上的值域?qū)Χ魏瘮?shù),當時,在區(qū)間上的最大值為,最小值為,令:(1)若,則;(2)若,則;(3)若,則;(4)若,則.【例4】如果函數(shù)定義在區(qū)間上,求的最小值.【答案】【解析】函數(shù),其對稱軸方程為,頂點坐標為,圖像開口向上.如圖所示,若頂點橫坐標在區(qū)間左側(cè)時,有,此時,當時,函數(shù)取得最小值.如圖所示,若頂點橫坐標在區(qū)間上時,有,即.當時,函數(shù)取得最小值.如圖所示,若頂點橫坐標在區(qū)間右側(cè)時,有,即.當時,函數(shù)取得最小值,綜上,【變式】已知二次函數(shù)的最小值為1,且.(1)求的解析式;(2)若在區(qū)間[]上不單調(diào),求的取值范圍;(3)若,試求的最小值.【解析】(1)因為是二次函數(shù),且,所以圖像的對稱軸為.又的最小值為1,設(shè),又,所以.所以.(2)要使在區(qū)間上不單調(diào),則,所以.(3)由知,的對稱軸為,若,則在上是增函數(shù),;若,即,則在上是減函數(shù),;若,即,則.綜上,當時,;當時,;當時,.結(jié)論五、二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式的關(guān)系設(shè)①函數(shù)的圖像與軸無交點方程無實根不等式的解集為不等式的解集為.②函數(shù)的圖像與軸相切方程有兩個相等的實根不等式的解集為.③函數(shù)的圖像與軸有兩個不同的交點方程有兩個不等的實根:設(shè)不等式的解集為不等式的解集為.【例5】設(shè)二次函數(shù),方程的兩個根滿足0(1)當時,證明;(2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,證明:.【解析】證明由題意可知.因為,所以,所以當時,.又且,所以.綜上可知,所給問題獲證.(2)由題意可知,它的對稱軸方程為,由方程的兩個根滿足,可得得,所以,即,而,故.【變式】設(shè)關(guān)于的不等式和的解集分別是和.(1)若,求實數(shù)的取值范圍;(2)是否存在實數(shù),使得?如果存在,求出的值,如果不存在,請說明理由.【解析】(1)①當或時,,由,得,解得.所以或.②當或時,顯然成立.③當時,,由,得,解得.所以.綜上,實數(shù)的取值范圍是.(2)假設(shè)存在實數(shù),使得,則:①當或時,,由,得,所以不存在.②當或時,顯然不成立.③當時,,由,得.綜上,不存在實數(shù)使得成立.結(jié)論六、一元二次方程根的分布令分布情況①兩根都小于k②兩根都大于k③一個根小于k，一個根大于k④兩根都在(m，n)內(nèi)圖像(a＞0)充要條件分布情況⑤兩根有且僅有一根在(m，n)內(nèi)⑥兩根都在區(qū)間(m，n)外⑦x1∈(a，m)，x2∈(n，b)圖像(a＞0)充要條件注:(1)一元二次方程根的分布問題需考慮:①;②對稱軸;③區(qū)間端點函數(shù)值的符號.(2)若,則不用考慮、對稱軸的范圍;方程有兩根時要注意區(qū)分,還是.【例6】二次方程,有一個根比1大,另一個根比小,則的取值范圍是().A. B. C. D.【答案】C【解析】令,則由題意可知且,即,解得.故選.【變式】求實數(shù)的范圍,使關(guān)于的方程.(1)有兩個實根,且一個比2大,一