2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第22講 同角三角函數(shù)關(guān)系-解析版64

第22講同角三角函數(shù)關(guān)系通關(guān)一、三角函數(shù)定義設(shè)是一個(gè)任意角,是角終邊上任意一點(diǎn)(與原點(diǎn)不重合),它與原點(diǎn)的距離(如圖所示).(1)比值叫作的正弦,記作,即;(2)比值叫作的余弦,記作,即;(3)比值叫作的正切,記作,即.要點(diǎn)詮釋：（1）三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān),僅與角的大小有關(guān).我們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,那么.(2)三角函數(shù)符號(hào)是一個(gè)整體,離開的,tan等是沒有意義的,它們表示的是一個(gè)比值,而不是,與的積.通關(guān)二、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)在記憶上述三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)時(shí),有以下口訣:一全正,二正弦,三正切,四余弦。通關(guān)三、特殊角的三角函數(shù)值α0πππππ3sin?012310?1cos?13210?10tan?0313不存在0不存在結(jié)論一、任意角的三角函數(shù)在直角坐標(biāo)系中,設(shè)是一個(gè)任意角,終邊上任意一點(diǎn)除了原點(diǎn))的坐標(biāo)為,它與原點(diǎn)的距離為,那么(1)比值叫作的正弦,記作,即;(2)比值叫作的余弦,記作,即;(3)比值叫作的正切,記作,即.【例1】已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)是,且,求和的值.【解析】，又即rx=3x．由于x≠0，所以r=3，所以，即.(1)當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)是.(2)當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)是.【變式】已知角的終邊上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,且,求和值.【解析】由三角函數(shù)的定義知.當(dāng)時(shí),為第二象限角,;當(dāng)時(shí),為第三象限角,.結(jié)論二、三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)當(dāng)角為第一象限角時(shí),,反之也成立;當(dāng)角為第二象限角時(shí),,反之也成立;當(dāng)角為第三象限角時(shí),,反之也成立;當(dāng)角為第四象限角時(shí),,反之也成立.三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)口認(rèn):一全正、二正弦、三正切、四余弦.【例2】已知,則函數(shù)的值域?yàn)開___________.【答案】【解析】由題知原函數(shù)定義域?yàn)楫?dāng)是第一像限角時(shí),;當(dāng)是第二象限角時(shí),當(dāng)是第三象限角時(shí),當(dāng)是第四象限角時(shí),.所以函數(shù)的值域?yàn)?【變式】若,則的值.A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不確定,與有關(guān)【答案】D【解析】異號(hào)為第二像限或第四象限角.(1)若是第二象限角,則,又由正余弦函數(shù)的定義知1,故,將它看成一個(gè)弧度數(shù),為第四象限角,從而;同理,為第一象限角,故.所以,當(dāng)是第二象限角時(shí),.(2)若是第四象限角,類似討論得綜上,故選D.結(jié)論三、已知一個(gè)三角函數(shù)值,求其余兩個(gè)三角函數(shù)值一畫，畫一個(gè)直角三角形；二用，用勾股定理求出各條邊；三求，求出當(dāng)角為銳角時(shí)的三角函數(shù)值；四定，利用α所在象限確定符號(hào)．(特例：如出現(xiàn)以5、13、17、25為分母的應(yīng)考慮其特殊角的三角函數(shù)值).【例3】已知是第一象限角,,則等于. A. B. C. D.【答案】【解析】因?yàn)?所以,因?yàn)?所以.因?yàn)槭堑谝幌笙藿?所以.故選B.【變式】已知,且,則.A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?且,所以,所以.故選.結(jié)論四、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1.平方關(guān)系:2.公式常見變形:【例4】已知是第三象限角,則_________.【答案】【解析】原式因?yàn)槭堑谌笙藿?所以.所以原式.【變式】已知是第四象限角,化簡為（） A. B. C. D.【答案】【解析】原式因?yàn)槭堑谒南笙藿?所以所以原式故選.結(jié)論五、已知值的求值問題(齊次式)1.利用商的關(guān)系,實(shí)現(xiàn)角的弦切互化.2.沒有分式的變成分式,利用分母為1,且,然后使分子、分母的次數(shù)相同,如果次數(shù)不夠,要補(bǔ)次,主要利用,再令分子、分母同除以,得到,代入可求值.【例5】已知,則. A. B. C. D.【答案】【解析】原式，代入．故選D.【變式】若，則（） A. B. C. D.【答案】A.【解析】因?yàn)?所以.故選A.結(jié)論六、三角函數(shù)“三劍客”對(duì)于，，這三個(gè)式子，若已知其中某一個(gè)式子的值，可利用平方關(guān)系“”，靈活地運(yùn)用方程思想,求出另兩個(gè)式子的值，即；；.【例6】已知，則（）. A. B. C. D. 【答案】A.【解析】因?yàn)?所以,所以.