新教材2023版高中數(shù)學(xué)第3章概率3.2離散型隨機變量及其分布列3.2.3離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望學(xué)生用書湘教版選擇性必修第二冊

3．2.3離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點要點一離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望(均值)一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝______________為X的數(shù)學(xué)期望或均值?.批注?(1)離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望(均值)刻畫了離散型隨機變量的平均水平．(2)數(shù)學(xué)期望(均值)是一個常數(shù)，在大量實驗下，它總是穩(wěn)定的，不具有隨機性．要點二幾類特殊分布的均值類別數(shù)學(xué)期望(均值)兩點分布X～B(1，p)E(X)＝________二項分布X～B(n，p)E(X)＝________超幾何分布X～H(N，M，n)E(X)＝________要點三離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)對于離散型隨機變量X，若Y＝aX＋b，a，b為常數(shù)，則E(Y)＝aE(X)＋b?.批注?當a＝0時，E(b)＝b，也就是說常數(shù)的數(shù)學(xué)期望是這個常數(shù)的本身；當a＝1時，E(X＋b)＝E(X)＋b；當b＝0時，E(aX)＝aE(X)．基礎(chǔ)自測1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個變量，其隨X的變化而變化．()(2)隨機變量的均值反映樣本的平均水平．()(3)隨機變量的均值相同，則兩個分布也一定相同.()2．若隨機變量X的分布列為X－101p111則E(X)＝()A.0B．－1C.－16D．－3．若隨機變量X～B(6，12)，則數(shù)學(xué)期望E(X)＝(A.6B．3C.32D．4．已知隨機變量ξ的期望為15，則E(3ξ＋5)＝________．

題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性離散型隨機變量的期望例1甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率是23，乙獲勝概率是13.記X表示比賽決出勝負時的總局數(shù)，求方法歸納求離散型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望的一般步驟鞏固訓(xùn)練1為響應(yīng)市政府“綠色出行”的號召，小李工作日上下班出行方式由自駕車改為選擇乘坐公共交通或騎共享單車中的一種．根據(jù)小李從2020年4月到2020年6月的出行情況統(tǒng)計，小李每次出行乘坐公共交通的概率是0.4，騎共享單車的概率是0.6.乘坐公共交通單程所需的費用是3元，騎共享單車單程所需的費用是1元．記小李在一個工作日內(nèi)上下班所花費的總交通費用為X元，假設(shè)小李上下班選擇出行方式是相互獨立的，(小李上下班各計一次單程)．(1)求小李在一個工作日內(nèi)上下班出行費用為4元的概率；(2)求X的分布和數(shù)學(xué)期望E(X)．幾個常用分布的數(shù)學(xué)期望例2某公司為招聘新員工設(shè)計了一個面試方案：應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照題目要求獨立完成．規(guī)定：至少正確完成其中2道題便可通過．已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是23，且每題正確完成與否互不影響．求乙正確完成面試題數(shù)η方法歸納求二項分布與超幾何分布的數(shù)學(xué)期望的方法鞏固訓(xùn)練2一個口袋里有形狀一樣僅顏色不同的6個小球，其中白色球2個，黑色球4個．若從中一次取3個球，記所取球中白球個數(shù)為ξ，則隨機變量ξ的期望為________．離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)例3某城市出租車的起步價為10元，即行駛路程不超出4km時，費用為10元；若行駛路程超出4km，則按每超出1km加收2元計費(超出不足1km的部分按1km計)．從這個城市的民航機場到某賓館的路程為15km，某司機經(jīng)常駕車在民航機場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同及途中停車時間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個城市規(guī)定，每停車5min按1km路程計費，不足5min的部分不計費)，這個司機在一次接送旅客的轉(zhuǎn)換后的行車路程ξ是一個隨機變量，設(shè)他所收費用η.(1)求費用η關(guān)于行車路程ξ的關(guān)系式；(2)若隨機變量ξ的分布列為ξ15161718P0.10.50.30.1求所收費用η的數(shù)學(xué)期望．方法歸納利用離散型隨機變量的性質(zhì)求數(shù)學(xué)期望的策略1．若題目給出隨機變量Y與X的關(guān)系Y＝aX＋b，a，b為常數(shù)，直接利用E(Y)＝aE(X)＋b求解2．若題目未給出隨機變量Y與X的關(guān)系，可根據(jù)題意列出Y與X的關(guān)系Y＝aX＋b，再利用E(Y)＝aE(X)＋b求解鞏固訓(xùn)練3已知隨機變量X的分布列為X－2－1012P11111若Y＝2X－3，求E(Y)．3.2.3離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點]要點一x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn要點二pnpnM[基礎(chǔ)自測]1．(1)×(2)×(3)×2．解析：E(X)＝(－1)×12＋0×16＋1×13答案：C3．解析：隨機變量X～B(6，12)，則數(shù)學(xué)期望E(X)＝6×12答案：B4．解析：因為隨機變量ξ的期望為15，所以E(3ξ＋5)＝3E(ξ)＋5＝3×15＋5＝50.答案：50題型探究·課堂解透例1解析：由題可知，X的可能取值為2，3，4，5，P(X＝2)＝23×2P(X＝3)＝13×2P(X＝4)＝23×1P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝881所以X的分布列為X2345P52108數(shù)學(xué)期望E(X)＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×8鞏固訓(xùn)練1解析：(1)在一個工作日內(nèi)上下班出行費用為4元，即乘坐公共交通和騎共享單車各一次，故其概率為P(X＝4)＝2×0.4×0.6＝0.48.(2)依題意，X可能的取值是2，4，6，P(X＝2)＝0.6×0.6＝0.36；P(X＝4)＝2×0.4×0.6＝0.48；P(X＝6)＝0.4×0.4＝0.16.因此X的分布列為X246P0.360.480.16由此可知，X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝2×0.36＋4×0.48＋6×0.16＝3.6.例2解析：設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為η，則η取值范圍是{0，1，2，3}．P(η＝0)＝C30×(13)3P(η＝1)＝C31×(23)1×(13)P(η＝2)＝C32×(23)2×(13P(η＝3)＝C33×(23)3應(yīng)聘者乙正確完成題數(shù)η的分布列為η0123P16128方法一∴E(η)＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×方法二∵η～B(3，23∴E(η)＝3×23＝鞏固訓(xùn)練2解析：方法一由題知，ξ的所有取值為0，1，2.P(ξ＝0)＝C43C63＝15，P(ξ＝1)＝C21C42所以隨機變量ξ的期望為E(ξ)＝0×15＋1×35＋2×1方法二由題意知ξ～H(6，2，3)，所以E(ξ)＝3×2答案：1例3解析：(1)由題意，得η＝10＋2(ξ－4)，即η＝2ξ＋2，ξ≥15，ξ∈N*.(2)由ξ的分布列，得E(ξ)＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.因為η＝