2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題（試卷）（附答案解析）

絕密★啟用前試卷類型：A2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)2B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.8540分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.2x6NxxMN（1.已知集合M2，）2A.D.21i2zzz（）2A.ii0D.1a1,babab，則（3.已知向量）A.1D.a1114.設(shè)函數(shù)fx2xxa在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）第頁(yè)共頁(yè)A.,220D.x2x25.設(shè)橢圓1:y2aC2:y21的離心率分別為e,eee21a（）12a2423A.23D.632xy4x10相切兩條直線的夾角為sin226.A.1S（）446D.4Snann為等差數(shù)列；乙：{}7.記為數(shù)列項(xiàng)和，設(shè)甲：n為等差數(shù)列，則（）nnA.甲是乙的充分條件但不是必要條件甲是乙的必要條件但不是充分條件甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件118.,2（367191979A.D.9二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.x,x,,xxx69.有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（）1261x,x,x,xx,x,,x12A.D.的平均數(shù)等于的中位數(shù)等于的平均數(shù)的中位數(shù)23456x,x,x,xx,x,,x2345126x,x,x,xx,x,,x的標(biāo)準(zhǔn)差126的標(biāo)準(zhǔn)差不小于2345x,x,x,xx,x,,x的極差126的極差不大于2345pLp10.噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)0第頁(yè)共頁(yè)pp0是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，p是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：00與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車混合動(dòng)力汽車電動(dòng)汽車101010609040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p,p,p，則（1231223A.D.301100p2已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fxyy2fxxfy，則（2A.f00f0fx是偶函數(shù)x0為fx的極小值點(diǎn)D.12.（單位：mA.直徑為0.99m的球體）所有棱長(zhǎng)均為的四面體底面直徑為，高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為，高為的圓柱體三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類選修課和48門(mén)課中選修23類選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有________ABCD14.在正四棱臺(tái)AB2,ABAA2，則該棱臺(tái)的體積為_(kāi)_______．1111111fxcosx0)在區(qū)間2π有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則15.已知函數(shù)的取值范圍是________．x22y21,Fy．點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在軸上，216.已知雙曲線C:ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為ab22FAFB,FAFBC的離心率為．________11223四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知在ABC,2sinACsinB．第頁(yè)共頁(yè)1）求A；2）設(shè)5AB邊上的高．ABCDABAA14A,B,C,D．點(diǎn)分別在棱222218.如圖，在正四棱柱中，1111,,CC2,3．2222,1111BC∥AD1）證明：；2222PACD為1502P時(shí)，求．2）點(diǎn)P上，當(dāng)二面角122219已知函數(shù)fxaexax．fx1）討論的單調(diào)性；322）證明：當(dāng)a0fxa．nn2abnS,Ta,bn項(xiàng)和．n20.設(shè)等差數(shù)列的公差為dd1分別為數(shù)列nnnnanaaa,STa的通項(xiàng)公式；n1）若213332）若為等差數(shù)列，且bST99，求d．9999n21.論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．1）求第2次投籃的人是乙的概率；2）求第i次投籃的人是甲的概率；XPX11PX0q,i2,,n3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且iiii第頁(yè)共頁(yè)nnnnEXqi．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為YEY．ii1i11中，點(diǎn)P到軸的距離等于點(diǎn)P的距離，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為Wx22.在直角坐標(biāo)系．21）求W的方程；2）已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在W上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于33．第頁(yè)共頁(yè)第頁(yè)共頁(yè)絕密★啟用前試卷類型：A2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)（答案）本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)2B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.8540分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.2x6NxxMN（1.已知集合M2，）2A.D.2【答案】C【解析】【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．方法二：將集合M中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出．2M2，Nxxx60,2【詳解】方法一：因?yàn)镸N故選：C．．M22代入不等式x2x602第1共頁(yè)1i以MN故選：C．．2.zzz（）2A.ii0D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到z，從而解出．1i1i1i11zi，所以zzi．zi【詳解】因?yàn)?21i1i422故選：A．a(chǎn)1,babab，則（3.已知向量A.1）11D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出ab，ab，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．a(chǎn)1,b，所以ab1,1，ab1,1，【詳解】因?yàn)閍bababab0，由可得，即11110故選：D．1．，整理得：fx2xxa在區(qū)間a上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（4.設(shè)函數(shù)）A.,20D.2【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.第2共頁(yè)yx在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)fx2xxa2在區(qū)間上單調(diào)遞減，【詳解】函數(shù)aa2a則有函數(shù)yx(xa)(x)2在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此1，解得a2，242a的取值范圍是.故選：Dx2x25.設(shè)橢圓1:y2aC2:y21的離心率分別為e,eee21a（）12a2423A.23D.63【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.41a2123e2，因此【詳解】由ee223a1，所以a.21a243故選：A222xy4x10相切的兩條直線的夾角為sin（6.）446A.1D.4【答案】B【解析】【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，k合夾角公式運(yùn)算求解.2k102y24x10,Bx2y5，可得圓心C0，半徑r5，22【詳解】方法一：因?yàn)閤P2C的切線，切點(diǎn)為，22222r3，2225436sin,cos，22224第3共頁(yè)1046154則sinAPBsin2APC2sinAPCAPC2，4226412即為鈍角，2sin20，444sinsinπsin；2y24x10的圓心C0，半徑r5，,B，連接AB法二：圓xP2C的切線，切點(diǎn)為，2222PAPBPC2r3，222222222336cos5510π，且π1即355cos，解得APB0，414coscosπAPBcosAPB即為鈍角，則，15且為銳角，所以sin1cos2；4方法三：圓x2y24x10的圓心C0，半徑r5，若切線斜率不存在，則切線方程為y0，則圓心到切點(diǎn)的距離d2r，不合題意；y2y20，若切線斜率存在，設(shè)切線方程為2k25，整理得k2k106440則2k1k,k1kkkk1，1212設(shè)兩切線斜率分別為22kkkkkk2，1212121k2sinsin15cos，可得，1k2cossin2則sin22sin21，第4共頁(yè)π24sin0，解得sin且.故選：SnSann為等差數(shù)列；乙：{}7.記為數(shù)列項(xiàng)和，設(shè)甲：n為等差數(shù)列，則（）nnA.甲是乙的充分條件但不是必要條件甲是乙的必要條件但不是充分條件甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，aa1【詳解】方法，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為d，nn(nSnn1ddSSnd則Snad,1dn1,n1，n12n222n1n2S因此{(lán)}為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；nnSSn1SnnSn1(nSnn1Sn反之，乙：{}為等差數(shù)列，即nt為常數(shù)，設(shè)為，nn1nn(nn(nn1(nSntSnatn(nS(nantn(nn2，n1即nn1ana(nntnantn1也成立，兩式相減得：nn1n1第5共頁(yè)a為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，n所以甲是乙的充要條件，C正確.n(naaaSnad，，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為dnn1n12Sn(nddSn則1dn1，因此{(lán)}為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；n222nSSn1SnSn反之，乙：{}為等差數(shù)列，即nD,1(nD，nn1nnSnSn(nDS(n1(nn2)D，n1即，n1當(dāng)n2時(shí)，上兩式相減得：SS12(nDn1時(shí)，上式成立，nn1aa2(nDaaa2nD[a2(nD]2D為常數(shù)，n1n11n1a為等差數(shù)列，則甲是乙必要條件，n所以甲是乙的充要條件.故選：C118.,2（367191979A.D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出)，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.1112【詳解】因?yàn)?sincossincossin，因此sincos，3623則)sincossin，219故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的類型及方法2)cos2()12sin2)12()2.31“給角求值”題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．2）給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．第6共頁(yè)3）給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.x,x,,xxx69.有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（）1261x,x,x,xx,x,,x12A.D.的平均數(shù)等于的中位數(shù)等于的平均數(shù)的中位數(shù)23456x,x,x,xx,x,,x2345126x,x,x,xx,x,,x的標(biāo)準(zhǔn)差126的標(biāo)準(zhǔn)差不小于2345x,x,x,xx,x,,x的極差126的極差不大于2345【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.x,x,x,xmx,x,,xn的平均數(shù)為，【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A的平均數(shù)為，23451262xxxxxxxxxxxxxxxx則nm1234562345165234，642xx,xxxxm,n的大小，因?yàn)闆](méi)有確定例如：2,3,4,5,6例如7的大小關(guān)系，所以無(wú)法判斷165234，可得mn3.5；mn2，可得；11例如1,2,2,2,2,2，可得mnA錯(cuò)誤；6xxxxxx，6對(duì)于選項(xiàng)：不妨設(shè)123453x4x,x,x,xx,x,,x的中位數(shù)均為6的中位數(shù)等于B正確；2345122xx對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)槭亲钚≈?，是最大值?6x,x,x,xx,x,,xx,x,x,xx,x,,x則的波動(dòng)性不大于的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，234512623451261n246810127，例如：，則平均數(shù)613222222標(biāo)準(zhǔn)差127476787107127，6第7共頁(yè)1，則平均數(shù)m468107，4142222標(biāo)準(zhǔn)差s24767871075，ssC錯(cuò)誤；1253xxxxxx，6對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)12345xxxxxx,xx時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；1256則，當(dāng)且僅當(dāng)6152故選：pLp10.噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)0pp0是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，p是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：00與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車混合動(dòng)力汽車電動(dòng)汽車101010609040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p,p,p，則（3121223A.D.301100p2【答案】【解析】L60,90,L60,L【分析】根據(jù)題意可知【詳解】由題意可知：，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.p1p2p3L60,90,L60,L，p1p2p3121LL202020對(duì)于選項(xiàng)A：可得，p1p200211LLLL2000，p2p1p2p221第8共頁(yè)11且p,p0pp，可得1A正確；p2122232LL202020對(duì)于選項(xiàng)：可得，，p2p3003p2p21LLL20pp3p233222ep,p0且，可得pep，23323L當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；p233L20402，對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)閜30031003pC正確；001LL20對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，p1p2p21LL2040，且即p1p22112100p,p0p100p1，可得，所以D正確；22122故選：已知函數(shù)fxfxyy2fxxfy，則（2的定義域?yàn)镽，A.f00f0fxx0為fx的極小值點(diǎn)是偶函數(shù)D.【答案】【解析】【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇遇性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC，舉反例f(x)0即可排除選項(xiàng)D.xx,x02f(x)方法二：選項(xiàng)的判斷與方法一同，對(duì)于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.x0第9共頁(yè)【詳解】方法一：f(xy)y2f(x)xf(y)，2Axy0，f0f0f0A正確.xy1，f1f1ff0B正確.xy1，ff(f(2f(f(0，yf(x)f(x)xf(f(x)，2令又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以f(x)為偶函數(shù)，故C正確，D，不妨令f(x)0，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)f(x)無(wú)極值，故D方法二：f(xy)y2f(x)xf(y)，2Axy0，f0f0f0A正確.xy1，f1f1ff0B正確.xy1，ff(f(2f(f(0，yf(x)f(x)xf(f(x)，2令又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以f(x)為偶函數(shù)，故C正確，f(xy)f(x)f(y)x2y20時(shí)，對(duì)f(xy)y2f(x)x2f(y)兩邊同時(shí)除以x2y2，得到，Dx2y2x2y2xx,x02f(x)故可以設(shè)x(xf(x)，x2x01f(x)x2xfx2xxx2x(2x，當(dāng)x0x1fx0fx)>0￠12令；0xe2xe1212故f(x)在0,e上單調(diào)遞減，在e,上單調(diào)遞增，112f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在e,02上單調(diào)遞增，在,e上單調(diào)遞減，第頁(yè)共頁(yè)顯然，此時(shí)x0是f(x)的極大值，故D錯(cuò)誤.故選：.12.（單位：mA.直徑為0.99m的球體）所有棱長(zhǎng)均為的四面體底面直徑為，高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為，高為的圓柱體【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?.99m，即球體的直徑小于正方體的棱長(zhǎng)，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線長(zhǎng)為2，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為31.8，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為3，ABCD的中心為O1為軸對(duì)稱放置圓柱，設(shè)圓柱的底面圓心O到正方體的表1設(shè)正方體1111面的最近的距離為hm，133如圖，結(jié)合對(duì)稱性可知：CA,CO0.6，111111222第共頁(yè)3hO1h，1h則2，解得AA1A23113所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于CD：以正方體的體對(duì)角線為圓柱的軸，結(jié)合正方體以及圓柱的性質(zhì)分析判斷.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類選修課和48門(mén)課中選修23類選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有________【答案】64【解析】【分析】分類討論選修23門(mén)課，對(duì)選修3門(mén)，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.）當(dāng)從8門(mén)課中選修2門(mén)，則不同的選課方案共有2）當(dāng)從8門(mén)課中選修3C1C41416①若體育類選修課1門(mén)，則不同的選課方案共有②若體育類選修課2門(mén)，則不同的選課方案共有C14C2424C24C14綜上所述：不同的選課方案共有16242464.故答案為64.ABCD14.在正四棱臺(tái)AB2,ABAA2，則該棱臺(tái)的體積為_(kāi)_______．11111117676【答案】【解析】##66AO,,AM【分析】結(jié)合圖像，依次求得，從而利用棱臺(tái)的體積公式即可得解.111A1AM1AM1ABCD為四棱臺(tái)的高，1111【詳解】如圖，過(guò)作，垂足為M，易知第頁(yè)共頁(yè)AB2，11111211則AOAC2AB,22，1111112222212126故ACAMAA2AM22，111122216766所以所求體積為V(4141).3276故答案為：.615.已知函數(shù)fxcosx0)在區(qū)間2π有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】[2,3)【解析】【分析】令f(x)0cosx1有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?≤x≤π，所以0≤x≤π，f(x)cosx10cosx1有3個(gè)根，令令txt1有3個(gè)根，其中t2π]，ycost結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得4ππ6π23，故答案為：[2,3).x22y221,Fy．點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在軸上，216.已知雙曲線C:ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為ab2FAFB,FAFBC的離心率為_(kāi)_______．11223第頁(yè)共頁(yè)35355【答案】【解析】5AF,BF,BF,AF1a,m的表達(dá)式，221ama,c的齊次方程，從而得解.從而利用勾股定理求得，進(jìn)而利用余弦定理得到52xc,yt，t2c2A代入雙曲0033線C得到關(guān)于a,b,c的齊次方程，從而得解；【詳解】方法一：依題意，設(shè)22mBFmBF,AF2a2m，211RtABF9m222(a3m)(am)0am或a3m在(2a2m)25m1a,aBFBFaAB5a，，1221AF4a45cosFAF1故，12AB5a16a24a24c24所以在△FF，整理得c29a2，121224a2a5c355故e.a方法二:F(c,0),F(c,0)Ax,y,B(0,t)，00依題意，得122252FAFB，所以xc,yc,txc,yt，220000333382822FAFBc,tc,tc2t022又FAFB，所以tc，11113333第頁(yè)共頁(yè)49bc2t2c2t2c216c2A在C上，則91，整理得11，29aa16aa2b29a2ba2229ab2c2c222c29a2c2a2，25c2b216c2a2整理得25c450c29a40c29a2c220，解得c9a2或c2a2，23555355又e1，所以e或ee.535故答案為：.5【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線過(guò)焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定a,b,c理得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知在ABC,2sinACsinB．1）求A；2）設(shè)5AB邊上的高．3【答案】（）2）6【解析】）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡(jiǎn)即可得解；2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求B,再由正弦定理求出b，根據(jù)等面積法求解即可.【小問(wèn)1詳解】ABC，ππCCC，4又2AC)BAC)，2sinAC2AsinCsinACAsinC，sinAcosC3cosAsinC，sinA3cosA，第頁(yè)共頁(yè)π2即A3，所以0A，331010sinA.10【小問(wèn)2詳解】1由（1）知，A，23255由BAC)，sinACAsinC()2255cb5由正弦定理，，可得b2，sinCsinB2211hsinA，223hbsinA2106.ABCDABAA14A,B,C,D．點(diǎn)分別在棱222218.如圖，在正四棱柱中，1111,,CC2,3．2222,1111BC∥AD1）證明：；2222PACD為1502P時(shí)，求．2）點(diǎn)P上，當(dāng)二面角1222【答案】（）證明見(jiàn)解析；2）1【解析】第頁(yè)共頁(yè)）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；P，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.2【小問(wèn)1詳解】x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD,CB,CC所在直線為1C(0,0),C(0,B(0,2),D(2,2),A(2,則，2222BCAD，2222BCAD，2222BCAD不在同一條直線上，2又222BCAD2.222【小問(wèn)2詳解】P設(shè)，則AC(2),2,3DC，222222C設(shè)平面的法向量n(x,y,z)，2nAC2x2y2z022則，n2y)z02令z2y3,x1，n(1,3,2)，ACD的法向量2m(,,c)，設(shè)平面22第頁(yè)共頁(yè)mACabc022則，mDCac022令a1bc2，m2)，,mnmnm63cos150，64(2)22化簡(jiǎn)可得，30，21或3，P或P，2P1.19.已知函數(shù)fxaexax．fx1）討論的單調(diào)性；32）證明：當(dāng)a0fxa．2【答案】（）答案見(jiàn)解析2）證明見(jiàn)解析【解析】）先求導(dǎo)，再分類討論a0與a0兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；1（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a2a0的恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)21gaa2aa0，利用導(dǎo)數(shù)證得ga0即可.2hxexx1，證得exx1，從而得到f(x)xa1ax，進(jìn)而將問(wèn)題2方法二：構(gòu)造函數(shù)1轉(zhuǎn)化為a2a0的恒成立問(wèn)題，由此得證.2【小問(wèn)1詳解】f(x)aexaxfxe1，x，定義域?yàn)镽，所以0fxaex10恒成立，0ae當(dāng)a0時(shí)，由于exxfx在R上單調(diào)遞減；第頁(yè)共頁(yè)當(dāng)a0時(shí)，令fxaex10，解得xa，fx0fx在,a當(dāng)xa上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增；當(dāng)xafx)>0fx在,上單調(diào)遞減；fx在,a綜上：當(dāng)a0當(dāng)a0fx在R上單調(diào)遞減，fx在,上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】方法一：由（1）得，fxfaaeaaa1a2a，3231f(x)2lna，即證1a2a2lna，即證a2a0恒成立，22112a21gaa2aa0gaa令，2aa22令ga00aga0a；2222ga,在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，2222212gag20ga0恒成立，22223所以當(dāng)a0f(x)2lna恒成立，證畢.2方法二：hxexx1xe1，x令xe1在R上單調(diào)遞增，xyex在R上單調(diào)遞增，所以0e10，0又x0x0x0；所以當(dāng)x0hx在,0上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故hxh00exx1，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)，等號(hào)成立，f(x)aexaxaexa2xexaa2xxa1ax，2第頁(yè)共頁(yè)當(dāng)且僅當(dāng)xa0xa時(shí)，等號(hào)成立，331所以要證f(x)2lna，即證xa1a2x2lna，即證a2a0，222112a21gaa2aa0gaa令，2aa22令ga00aga0a；2222ga,在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，2222212gag20ga0恒成立，22223所以當(dāng)a0f(x)2lna恒成立，證畢.2nn2abnS,Ta,bn項(xiàng)和．n20.設(shè)等差數(shù)列的公差為dd1分別為數(shù)列nnnnanaaa,STa的通項(xiàng)公式；n1）若213332）若為等差數(shù)列，且bST99，求d．9999nann【答案】（）2）d【解析】）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可；2【小問(wèn)1詳解】為等差數(shù)列得出adab1.15050b}ad或1naaad12dad，1，，解得213Saad)6d，321269又Tbbb，3123d2ddd9STd21，33d1即d27d30，解得d3或d2第頁(yè)共頁(yè)aa(ndn.n1【小問(wèn)2詳解】n}為等差數(shù)列，2bbb，213213116d16()a211dd20adad，解得或，a23a23111d1a0，，nST9999ab99ab1，5050又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，999950501a20a51a50，解得或（舍去）5050當(dāng)1daa49dd51，解得d1d1矛盾，無(wú)解；501ad1aaddd當(dāng)，解得.1綜上，d.21.論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．1）求第2次投籃的人是乙的概率；2）求第i次投籃的人是甲的概率；XPX11PX0q,i2,,niii3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且innnnEXqi次投籃）中甲投籃的次數(shù)為YEY．．記前次（即從第1次到第ii1i1【答案】（）i11212）653n52nEY)13）53【解析】第頁(yè)共頁(yè)）根據(jù)全概率公式即可求出；Pipp0.4i，根據(jù)數(shù)列知識(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；i12，由題意可得i3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【小問(wèn)1詳解】AB，i記“第i次投籃的人是甲”為事件，“第i次投籃的人是乙”為事件iPBPABPBBPAPB|APBPB|B所以，212121211210.510.60.5.【小問(wèn)2詳解】PipPi1pi設(shè)，依題可知，iPAPAAPBAPAPA|APBPA|i，i1ii1ii1ii1iii1pi10.6p10.81p0.4p，iii即構(gòu)造等比數(shù)列i，21211pp，解得pp設(shè)，ii1ii153353111112又p,p，所以pi是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，11236365i1i111212,p13即p．6565ii3【小問(wèn)3詳解】i112i13，i,n，652n12n15n5n所以當(dāng)nN*EYppp，12n2635315n52nEY)1故．53【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問(wèn)的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識(shí)求解．第頁(yè)共頁(yè)1中，點(diǎn)P到軸的距離等于點(diǎn)P的距離，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為Wx22.在直角坐標(biāo)系．21）求W的方程；2）已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在W上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于33．1yx2【答案】（）42）見(jiàn)解析【解析】12P(x,y)x2yy，化簡(jiǎn)即可；2，根據(jù)題意列出方程2111Aa,a2,Bb,b2,Cc,c2（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，且abc，分別令44411kabm0kbcn0mn1Cn1n，設(shè)函數(shù)2，，且，利用放縮法得2n12f(x)x1x2，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，則得C的最小值，再排除邊界值即可.x1法二：設(shè)直線AB的方程為yk(xa)a2，將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長(zhǎng)公式和放縮法得431k2，利用換元法和求導(dǎo)即可求出周長(zhǎng)最值，再排除邊界值即可.k2法三：利用平移坐標(biāo)系法，再設(shè)點(diǎn)，利用三角換元再對(duì)角度分類討論，結(jié)合基本不等式即可證明.【小問(wèn)1詳解】2114P(x,y)2yx2設(shè),則yxy，兩邊同平方化簡(jiǎn)得，214故W:yx2.【小問(wèn)2詳解】111Aa,a2,Bb,b2,Cc,c2在W上,且abc，易知矩形四條邊法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)444所在直線的斜率均存在，且不為，第頁(yè)共頁(yè)11b2