提高專題14立體幾何綜合問題講義-高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

提高專題14立體幾何綜合問題探究一動點問題探究一動點問題(1)應(yīng)用“位置關(guān)系定理”轉(zhuǎn)化.(2)建立“坐標(biāo)系”計算.【典例精講】例1.(2023·山東省·模擬題·多選)如圖，正方形ABCD與正方形DEFC邊長均為1，平面ABCD與平面DEFC互相垂直，P是AE上的一個動點，則以下結(jié)論正確的是(

)

A.CP的最小值為32

B.PD+PF的最小值為2-2

C.當(dāng)P在直線AE上運動時，三棱錐D-BPF的體積不變

D.三棱錐A-DCE的外接球表面積為3π

例2.(2021·福建省·模擬題)如圖，三棱錐O-ABC中，AO⊥平面OBC，且OA=OB=OC=2，∠BOC=60°，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，H為EF的中點，過EF的動平面與線段OA交于點A1，與線段OB，OC的延長線分別相交于點B1【拓展提升】練11.(2023·北京市市轄區(qū)·期末考試)如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為AC1，A1B1的中點，點T在正方體的表面上運動，滿足PT⊥BQ．

給出下列四個結(jié)論：

①點T可以是棱DD1的中點；

②線段PT長度的最小值為12a；

③點T的軌跡是矩形；

④點T的軌跡圍成的多邊形的面積為52a2．

其中所有正確結(jié)論的序號是

．

練1探究二探究二翻折問題【方法儲備】立體幾何圖形翻折問題：折前折后各元素相對位置的變化.要理清哪些位置關(guān)系和度量關(guān)系發(fā)生了變化，哪些沒有改變.解決翻折問題的關(guān)鍵可以歸納如下：(1)畫好“2個圖”折疊前的平面圖和折疊后的立體圖；(2)尋找“2個量”哪些量(或關(guān)系)發(fā)生了變化，哪些量(或關(guān)系)沒有發(fā)生變化.【典例精講】

例3.(2019·河南省濮陽市·期末考試)如圖，梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，AD∶BC∶AB=2∶3∶4，點E，F(xiàn)分別是①DF⊥BC;②④平面DCF⊥平面BFC在翻折過程中，可能成立的結(jié)論是

．

例4.(2023·廣東省陽江市·月考試卷)直角△ABC中，AB=2，BC=1，D是斜邊AC上的一動點，沿BD將△ABD翻折到△A'BD，使二面角A'-BDA.13π4 B.21π5 C.【拓展提升】練21.(2023·江蘇省·模擬題)已知菱形ABCD的邊長為1，∠ADC=π3，將△ADC沿AC翻折，當(dāng)三棱錐D-ABC表面積最大時，其內(nèi)切球表面積為

．

練22.(2023·吉林省長春市·模擬題·多選)如圖，平面四邊形ABCD中，?BCD是等邊三角形，AB⊥BD且AB=BD=2，M是AD的中點.沿BDA.存在某個位置，使得CM與BD所成角為銳角

B.棱CD上總會有一點N，使得MN//平面ABC

C.當(dāng)三棱錐C-ABD的體積最大時，AB⊥BC

D.當(dāng)平面ABD⊥探究三探究三存在問題【方法儲備】

存在問題處理思路：

①幾何法；由點、線、面位置關(guān)系判斷

②代數(shù)法：建系、列方程、依據(jù)是否有解判斷【典例精講】例5.(2023·廣東省佛山市·單元測試)如圖1，菱形ABCD中∠ABC=120°，動點E，F(xiàn)在邊AD，AB上(不含端點)，且存在實數(shù)λ使EF=λBD，沿EF將△AEF向上折起得到△PEF，使得平面PEF⊥平面BCDEF，如圖2所示．

(1)若BF⊥PD，設(shè)三棱錐P-BCD和四棱錐P-BDEF的體積分別為V1，例6.(2023·江西省·模擬題)如圖甲所示，在平面四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠DCA=60°，AB=BC=2，現(xiàn)將平面ADC沿AC(1)證明：BM⊥(2)線段DC上是否存在點Q，使得直線BQ與平面ADB所成角的正弦值為510，若存在，求出線段DQ【拓展提升】

練31.(2023·山西省·模擬題)如圖?①，在矩形ABCD中，AD=2AB=22，E為AD的中點.如圖?②，沿BE將△ABE折起，點P在線段(1)若AP=2PD，求證：AB(2)若平面ABE⊥平面BCDE，是否存在點P，使得平面AEC與平面PEC的夾角為90°?若存在，求此時三棱錐C-練32.(2023·陜西省西安市·模擬題)如圖?①，已知△AB'C是邊長為2的等邊三角形，D是AB'的中點，DH⊥B'C，如圖?②(1)在線段BC上是否存在點F，使得AF/?/平面BDH?若存在，求BFFC的值(2)若平面BHC與平面BDA所成的二面角的余弦值為13，求三棱錐B-探究四探究問題【探究四探究問題1幾何法：借助點、線、面關(guān)系判斷;

2代數(shù)法：

(1)根據(jù)題設(shè)條件的垂直關(guān)系，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，將相關(guān)點、相關(guān)向量用坐標(biāo)表示;(2)假設(shè)所成的點或參數(shù)存在，并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點的坐標(biāo)，根據(jù)線、面滿足的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在.【典例精講】例7.(2022·廣東省·單元測試)如圖①所示，平面五邊形ABCDE是由一個直角梯形ABCD和一個等邊三角形ADE拼接而成的，其中BC/?/AD，∠BAD=90°，AB=BC=12AD=2.現(xiàn)以AD為折痕將△ADE折起，使點E到達點P的位置，且平面PAD⊥平面(1)試探究λ為何值時，CM/?/平面ABP(2)當(dāng)λ=13時，求點M到平面例8.(2023·浙江省臺州市·期中考試)在數(shù)學(xué)探究活動課中，小華進行了如下探究：如圖1，水平放置的正方體容器中注入了一定量的水;現(xiàn)將該正方體容器其中一個頂點固定在地面上，使得DA，DB，DC三條棱與水平面所成角均相等，此時水平面為HJK，如圖2所示若在圖2中DHDA=23，則在圖1中EFEGA.49 B.827 C.427【拓展提升】練41.(2023·四川省瀘州市·期末考試)在平面四邊形ABCD中(如圖1)，AB/?/CD，CD⊥DE，BE=2CD，E是AB中點，現(xiàn)將△ADE沿(1)求證：平面AED⊥平面AEB(2)圖2中，若F是EB中點，試探究在平面AED內(nèi)是否存在無數(shù)多個點P，都有直線CP/?/平面ADF，若存在，請證明．練42.(2023·福建省莆田市·聯(lián)考題)某學(xué)校課外社團活動課上，數(shù)學(xué)興趣小組進行了一次有趣的數(shù)學(xué)實驗操作，課題名稱“不用尺規(guī)等工具，探究水面高度”.如圖甲，P-ABCD是一個水平放置的裝有一定量水的四棱錐密閉容器(容器材料厚度不計)，底面ABCD為平行四邊形，設(shè)棱錐高為h，體積為V，現(xiàn)將容器以棱AB為軸向左側(cè)傾斜，如圖乙，這時水面恰好經(jīng)過CDEF，其中E，F(xiàn)分別為棱PA，PB的中點，設(shè)容器中水的體積為V1，圖甲中的水面高度為h1，則V1V=

，h

【答案解析】

例1.解：對于A，連接DP，CP，因為CD⊥DE,CD⊥AD,AD∩DE=D，

故得到CD⊥平面ADE，DPmin=?22，

易得CP=?DP2+CD2=?DP2+1??12+1=?62，故A錯誤；

對于B，如圖，將?ADE翻折到與平面ABFE共面，則當(dāng)D、P、F三點共線時，

PD+PF取得最小值，∠DEF=135°

PD+PF=DF例2.證明：(Ⅰ)連結(jié)OE、OF，由題意知OE=OF，AE=AF，

而H為EF中點，∴EF⊥OH，EF⊥AH，

∵OH∩AH=H，OH，AH?面OAH，∴EF⊥面OAH，

∵EF/?/BC，EF?面OB1C?1?，BC?面OB1C1，∴EF/?/面OB1C1，

又EF?面A1B1C1，面A1B1C1∩面OB1C1=B1C1，∴EF/?/B1C1，

∴B1C1⊥平面OAH．

(Ⅱ)解：如圖，取B1C1的中點M，以O(shè)M，OA為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由題得A(0,0,2),B(1,3,0),C(-1,練11.解：由題知，以C點為坐標(biāo)原點，以CD、CB、CC1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

令正方體ABCD-A1B1C1D1中棱長為2，

則C(0,0,0)，D(2,0,0)，B(0,2,0)，A(2,2,0)，C1(0,0,2)，D1(2,0,2)，B1(0,2,2)，A1(2,2,2)，P(1,1,1)，Q(1,2,2)，

若點T是棱DD1的中點，則T(2,0,1)，

則PT=(1,-1,0)，BQ=(1,0,2)，

PT?BQ=1+0+0=1≠0，

不滿足PT⊥BQ，∴點T不是棱DD1的中點，故①錯誤；

設(shè)T(x,y,z)

PT=(x-1,y-1,z-1)，∵PT⊥BQ，∴x-1+2(z-1)=0，

當(dāng)x=0時，z=32，當(dāng)x=2時，z=12，

取E(2,0,12)，F(xiàn)(2,2,12)，G(0,2,32)，H(0,0,32)，

連結(jié)EF，F(xiàn)G，GH，HE，則EF=HG=(0,2,0)，EH=FG=(-2,0,1)，

EF?EH=0，∴EF⊥EH，

∴四邊形EFGH為矩形，

∵EF?BQ=0，EH?BQ=0，

∴EF⊥BQ，EH⊥BQ，

∵EF和EH為平面EFGH中的兩條相交直線，

∴BQ⊥平面EFGH，

又EP=(-1,1,12)，PG=(-1,1,12練12.解：由正四面體的性質(zhì)可知，其高為42-(23×32×4PM?PN=(PO+OM)?(PO+ON)

=PO2+PO?(OM+ON)+OM?ON=|PO|2-|OM|2，

|OM|2即是半徑平方，為23例3.解：①：因為BC/?/AD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，則①不成立；

②：設(shè)點D的在平面BCF上的射影為點P，當(dāng)BP⊥CF時就有BD⊥FC，

而AD：BC：AB=2：3：4可使條件滿足，所以②正確；

③：當(dāng)點P落在BF上時，DP?平面BDF，從而平面BDF⊥平面BCF，所以③正確．

④：因為點D的射影不可能在FC上，所以平面例4.解：

根據(jù)題意，圖1的直角三角形沿BD將△ABD翻折到△A'BD使二面角A'-BD-C為直二面角，

所以，過點A'作A'H⊥BD交BD延長線于H，過點C作CM⊥BD交BD于M，

再作NH/?/CM，CN//MH，使得CN與HN交于點N，

所以，由二面角A'-BD-C為直二面角可得CM⊥A'H，

設(shè)∠ABD=θ，θ∈[0,π2]，即∠A'BD=θ，則∠CBD=π2-θ，

因為AB=2，BC=1，所以A'B=2，BC=1，

所以，在Rt△A'BH中，A'H=2sinθ，BH=2cosθ，

在Rt△BCM中，BM=cos(π2-θ)=sinθ,CM=sin(π2-θ)=cosθ，

所以MH=BH-BM=2cosθ-sinθ，

練21.解：因為AD=CD=AB=BC=1是翻折過程中的不變量，翻折過程中?BAD,?BCD的對應(yīng)邊始終相等，

所以這兩個三角形始終全等，∴∠BAD,∠BCD始終相等，

△ABD，△BCD的面積均為

，由于最初時這兩個角都是120?°，

翻折到B,D重合時，都變成了0?°，

在連續(xù)變化的過程中，當(dāng)∠BAD=∠BCD=90°時，△ABD，△BCD的面積最大，

而另外兩個面△ADC，△ABC在翻折過程中形狀不變，面積是固定的，

所以當(dāng)且僅當(dāng)∠BAD=∠BCD=90°時三棱錐D-ABC表面積最大，此時DB=2，

取AC中點為O，連接BO，DO，則BO⊥AC，DO⊥練22.解：對于A選項，取BD中點G，連接CG，MG，

因為?BCD是等邊三角形，所以CG⊥BD，

又因為M是AD的中點，所以MG//AB，

因為AB⊥BD，所以MG⊥BD，

因為MG∩CG=G，MG,CG?平面MCG，對于B選項，取CD中點H，連接HM，

因為M是AD的中點，所以HM//AC，

因為HM?平面ABC，AC?平面ABC，

所以HM//對于C選項，設(shè)C到平面ABD的距離為h，

因為AB⊥BD且所以S△ABD=12×2×2=2，所以VC-ABD=13S?ABD?h=23h，

故要使三棱錐C-ABD的體積最大，則h最大，

所以當(dāng)C的投影在棱BD上時，h最大，

且hmax=CG，此時CG⊥平面ABD，

又AB?平面

ABD，所以

CG⊥AB

，

因為

AB⊥BD

，

CG∩BD=對于D選項，因為

?ABD

為等腰直角三角形，M為斜邊AD的中點，

所以三棱錐C-ABD的外接球球心在過M與平面ABD垂直的直線上，

過

M

作

MF⊥平面ABD

，

設(shè)

F

為三棱錐

C-ABD

的外接球的球心，外接球的半徑為

R

，

因為平面

ABD⊥

平面

BDC

，平面

ABD∩

平面

BDC=BD

，

CG?

平面

BDC

，

CG⊥

BD

，

所以

CG⊥

平面

ABD

，所以

CG//MF

，

過點

F

作

FE//MG

交

CG

于

E

，如圖所示，

所以四邊形

MFEG

為矩形，所以

MF在

Rt?EFC

中，

R2=EF2+CE2

，即

R2=1+(3-EG)2

，

故選：BC．

例5.解：(1)在圖2中，取EF中點O，BD中點M，連結(jié)OP，OM，

以O(shè)為原點，OF，OM，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=4，OP=x，則OM=23-x，

∴B(2,23-x,0)，F(xiàn)(x3,0,0)，P(0,0,x)，D(-2,23-x,0)，

故PD=(-2,23-x,-x)，BF=(x3-2,x-23,0)，

∵直線BF與PD垂直，∴PD?BF=0，∴x2-103x+8=0，

解得x=63(舍)或x=43=433，例6.解：(1)證明：連接因為AB=BC=2，∠ABC=∠ADC=90°，M為AC的中點，

所以BM⊥AC，

又因為DB=2，所以所以

DM∩AC=M,??所以BM⊥平面

而DC?平面所以BM⊥DC．

(2)解：取MC的中點為O,??BC的中點為連接則

因為所以

又因為O為MC的中點，所以

由(1)知BM⊥平面ADC，DO?平面

所以

又BM∩AC=M,??所以DO⊥平面

以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA,??OE,??OD所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示坐標(biāo)系，

由題意知

則

設(shè)平面DAB的向量為n=(x,??y,??z)，

則n·BD=-12x-y+32z=0n·BA=x-練31.解：(1)如圖1，連接BD與CE交于點Q，連接PQ，由題可得DE//BC，DE=12BC，

∴DQBQ=DEBC=12．

又∵AP=2PD，∴DPPA=DQQB=12，

∴AB//PQ．

∵PQ?平面PEC，AB?平面PEC，∴AB/?/平面PEC．

(2)法一：連接A點與BE的中點O，過點O作BE的垂線與BC交于點M，易知M為BC的中點．

由已知可得AE=AB，∴AO⊥BE．

∵平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，AO?平面ABE，

∴AO⊥平面BCDE．

∵OM?平面BCDE，∴AO⊥OM．

以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖2所示．

易知BE=CE=2，OA=OB=OE=OM=1．

所以A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(-1,2,0)，D(-2,1,0)，E(-1,0,0)，

所以AE=(-1,0,-1)，AC=(-1,2,-1)，AD=(-2,1,-1)，CE=(0,-2,0)，

設(shè)AP=λAD=(-2λ,λ,-λ)，則點P(-2λ,λ,1-λ)，

∴PE=(2λ-1,-λ,λ-1)．

設(shè)平面AEC與平面PEC的法向量分別為m=(x1,y1,z1)，n=(x2,y2,z2)，

則m?AE=0,m?AC=0,即(x1,y1,z1)?(-1,0,-1)=0,(x1,y1,z1)?(-1,2,-1)=0,即-x1-z1=0.-x1+2y1-z1練32.解：(1)存在點F滿足題意，且BFFC=12，理由如下：

在圖?①中，取B'C的中點M，連接AM，則AM//DH，

在圖?②中，AM//DH，AM??平面BDH，DH?平面BDH，

所以AM/?/平面BDH，且HMMC=12;

在線段BC上取點F使BFFC=12，

連接MF，F(xiàn)A，則MF//BH，同理可得MF/?/平面BDH，

又因為MF∩AM=M，所以平面AMF//平面BDH，

又因為AF?平面AMF，所以AF/?/平面BDH．

(2)在圖?②中，DH⊥HC，DH⊥HB，HC∩HB=H，所以DH⊥平面BHC，

法一：以H為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則H(0,0,0)，A(12,3,0)，C(32,0,0)，D(0,32,0)，

設(shè)∠BHC=θ∈(0,π)，則B(12cosθ,0,12sinθ)，

DB=(12cosθ,-32,12sinθ)，DA=(12,32,0)，

設(shè)平面BDA的法向量為m=(x,y,z)，

則m?DB=0,m?DA=0?x2cosθ-32y+z2sinθ=0,12x+32y=0?x2cos?θ-32y+z2sin?θ=0,所以三棱錐B-DCH的體積為V

例7：解：(1)當(dāng)λ=12時，CM//平面ABP，

證明如下：取AP的中點N，連接MN，BN，

∵AN=NP，DM=PM，

∴MN//AD