2021新高考數(shù)學(xué)新課程一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第九章第2講用樣本估計(jì)總體

第2講用樣本估計(jì)總體[考綱解讀]1.了解頻率分布直方圖的意義和作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖，并體會(huì)它們各自的特點(diǎn)．(重點(diǎn))2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差；能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征，并作出合理的解釋.3.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征．(難點(diǎn))4.會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決實(shí)際問題.[考向預(yù)測(cè)]從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)．預(yù)測(cè)2021年將會(huì)考查用樣本估計(jì)總體，主要體現(xiàn)在利用頻率分布直方圖估計(jì)總體，利用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體．題型以客觀題呈現(xiàn)，試題難度不大，屬中、低檔題型．頻率分布直方圖也可能出現(xiàn)于解答題中，與概率等知識(shí)綜合命題.1．作頻率分布直方圖的步驟2．頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的eq\o(□,\s\up3(01))中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．(2)總體密度曲線：隨著eq\o(□,\s\up3(02))樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，eq\o(□,\s\up3(03))組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖就會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線．3．樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)eq\o(□,\s\up3(01))最多的數(shù)據(jù)取最高的小長(zhǎng)方形底邊eq\o(□,\s\up3(02))中點(diǎn)的橫坐標(biāo)通常用于描述變量的值出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，但顯然它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無(wú)法客觀地反映總體特征中位數(shù)將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最eq\o(□,\s\up3(03))中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))把頻率分布直方圖劃分左右兩個(gè)面積eq\o(□,\s\up3(04))相等的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)續(xù)表數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之eq\o(□,\s\up3(05))和平均數(shù)和每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)，可以反映樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低(2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，標(biāo)準(zhǔn)差：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2]).(3)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動(dòng)；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．1．概念辨析(1)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個(gè)或幾個(gè)，那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論．()(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大．()(3)從頻率分布直方圖中得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．()(4)在頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間內(nèi)的頻率越高．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．小題熱身(1)(2017·全國(guó)卷Ⅰ)為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數(shù)B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)答案B解析因?yàn)榭梢杂脴O差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評(píng)估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差．故選B.(2)港珠澳大橋于2018年10月2日正式通車，它是中國(guó)境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長(zhǎng)55千米．橋面為雙向六車道高速公路，大橋通行限速100km/h，現(xiàn)對(duì)大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查．畫出頻率分布直方圖(如圖)，根據(jù)直方圖估計(jì)在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A．3000.25 B．3000.35C．600.25 D．600.35答案B解析由頻率分布直方圖，得在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的頻率為0.06×5＝0.3，∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)為0.3×1000＝300，行駛速度超過90km/h的頻率為(0.05＋0.02)×5＝0.35.故選B.(3)(2019·江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．答案eq\f(5,3)解析這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，故方差為s2＝eq\f(1,6)×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝eq\f(5,3).題型一樣本數(shù)字特征的計(jì)算及應(yīng)用1．(2019·全國(guó)卷Ⅱ)演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是()A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差答案A解析中位數(shù)是將9個(gè)數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數(shù)據(jù)，因而去掉1個(gè)最高分和1個(gè)最低分，不變的是中位數(shù)，平均數(shù)、方差、極差均受影響．故選A.2．(2019·長(zhǎng)沙二模)高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購(gòu)并稱中國(guó)“新四大發(fā)明”，近日對(duì)全國(guó)100個(gè)城市的共享單車和掃碼支付的使用人數(shù)進(jìn)行大數(shù)據(jù)分析，其中共享單車使用的人數(shù)分別為x1，x2，x3，…，x100，它們的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2；其中掃碼支付使用的人數(shù)分別為3x1＋2,3x2＋2,3x3＋2，…，3x100＋2，它們的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))′，方差為s′2，則eq\o(x,\s\up6(－))′，s′2分別為()A．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2,3s2＋2 B．3eq\o(x,\s\up6(－))，3s2C．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2,9s2 D．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2,9s2＋2答案C解析根據(jù)題意，數(shù)據(jù)x1，x2，…x100的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2；則eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,100)(x1＋x2＋x3＋…＋x100)，s2＝eq\f(1,100)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(x100－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，若3x1＋2,3x2＋2,3x3＋2，…，3x100＋2的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))′，則eq\o(x,\s\up6(－))′＝eq\f(1,100)[(3x1＋2)＋(3x2＋2)＋…＋(3x100＋2)]＝3eq\o(x,\s\up6(－))＋2，方差s′2＝eq\f(1,100)[(3x1＋2－3eq\o(x,\s\up6(－))－2)2＋(3x2＋2－3eq\o(x,\s\up6(－))－2)2＋…＋(3x100＋2－3eq\o(x,\s\up6(－))－2)2]＝9s2.3．一組數(shù)據(jù)1,10,5,2，x,2，且2<x<5，若該數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的eq\f(2,3)倍，則該數(shù)據(jù)的方差為________．答案9解析根據(jù)題意知，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2，則中位數(shù)是2÷eq\f(2,3)＝3，把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為1,2,2，x,5,10，則eq\f(2＋x,2)＝3，解得x＝4，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4，方差為s2＝eq\f(1,6)×[(1－4)2＋(2－4)2×2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的意義及常用結(jié)論(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動(dòng)大小.(2)方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.(3)平均數(shù)、方差的公式推廣①若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.見舉例說明2.②數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.a.數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；b.數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.見舉例說明2.1.(2019·六安模擬)某樣本中共有5個(gè)個(gè)體，其中4個(gè)值分別為0,1,2,3，第5個(gè)值丟失，但該樣本的平均值為1，則樣本方差為()A.2B.eq\f(6,5)C.eq\r(2)D.eq\f(\r(30),5)答案A解析設(shè)第5個(gè)值為x，則由題意，得eq\f(1,5)×(0＋1＋2＋3＋x)＝1，解得x＝－1，所以樣本方差s2＝eq\f(1,5)×[(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2＋(－1－1)2]＝2.2.(2019·全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為________.答案0.98解析eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為0.98.題型二扇形圖、折線圖1.(2020·株洲市高三摸底)某市2019年12個(gè)月的PM2.5的平均濃度指數(shù)如圖所示．由圖判斷，四個(gè)季度中PM2.5的平均濃度指數(shù)方差最小的是()A.第一季度B．第二季度C.第三季度D．第四季度答案B解析根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，知第一季度的數(shù)據(jù)是72.15,43.96,93.13；第二季度的數(shù)據(jù)是66.5,55.25,58.67；第三季度的數(shù)據(jù)是59.16,38.67,51.6；第四季度的數(shù)據(jù)是82.09,104.6,168.05；觀察得出第二季度的數(shù)據(jù)波動(dòng)性最小，所以第二季度的PM2.5的平均濃度指數(shù)方差最小．故選B.2.(2018·全國(guó)卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半答案A解析設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前的收入為M，而新農(nóng)村建設(shè)后的收入為2M，則新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6M，而新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為0.74M，所以種植收入增加了，所以A不正確；新農(nóng)村建設(shè)前其他收入為0.04M，新農(nóng)村建設(shè)后其他收入為0.1M，故增加了一倍以上，所以B正確；新農(nóng)村建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為0.3M，新農(nóng)村建設(shè)后為0.6M，增加了一倍，(1)通過扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.(2)折線圖可以顯示隨時(shí)間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢(shì).(2019·東北三省四市教研聯(lián)合體模擬)“科技引領(lǐng)，布局未來”，科技研發(fā)是企業(yè)發(fā)展的驅(qū)動(dòng)力量.2007年至2018年，某企業(yè)連續(xù)12年累計(jì)研發(fā)投入達(dá)4100億元．我們將研發(fā)投入與經(jīng)營(yíng)收入的比值記為研發(fā)投入占營(yíng)收比．這12年間的研發(fā)投入(單位：十億元)用如圖中的條形圖表示，研發(fā)投入占營(yíng)收比用如圖中的折線圖表示．根據(jù)折線圖和條形圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.2012年至2013年研發(fā)投入占營(yíng)收比增量相比2017年至2018年增量大B.2013年至2014年研發(fā)投入數(shù)量相比2015年至2016年增量小C.該企業(yè)連續(xù)12年研發(fā)投入逐年增加D.該企業(yè)連續(xù)12年研發(fā)投入占營(yíng)收比逐年增加答案D解析由題圖可知，該企業(yè)在2008年至2009年、2013年至2014年和2016年至2017年研發(fā)投入占營(yíng)收比是下降的，所以D錯(cuò)誤．故選D.題型三頻率分布直方圖角度1求頻率或頻數(shù)1.黨的十九大報(bào)告指出：“脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得決定性進(jìn)展，六千多萬(wàn)貧困人口穩(wěn)定脫貧，貧困發(fā)生率從百分之十點(diǎn)二下降到百分之四以下．”2019年各地根據(jù)實(shí)際進(jìn)行創(chuàng)新，精準(zhǔn)、高效地完成了脫貧任務(wù)．某地區(qū)對(duì)當(dāng)?shù)?000戶家庭的2019年所得年收入情況調(diào)查統(tǒng)計(jì)，年收入的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)(單位：千元)的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，則年收入不超過6萬(wàn)的家庭大約為()A.900戶B．600戶C.300戶D．150戶答案A解析由頻率分布直方圖得：年收入不超過6萬(wàn)的家庭所占頻率為：(0.005＋0.010)×20＝0.3，∴年收入不超過6萬(wàn)的家庭大約為0.3×3000＝900.角度2求數(shù)字特征2.某市在對(duì)兩千多名出租車司機(jī)的年齡進(jìn)行的調(diào)查中，從兩千多名出租車司機(jī)中隨機(jī)抽選100名司機(jī)，已知這100名司機(jī)的年齡都在20歲至50歲之間，且根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出的年齡情況頻率分布直方圖如圖所示(部分圖表污損)．利用這個(gè)殘缺的頻率分布直方圖，可估計(jì)該市出租車司機(jī)年齡的中位數(shù)大約是()A．31.4歲 B．32.4歲C.33.4歲 D．36.4歲答案A解析由頻率分布直方圖可知[20,25)的頻率為0.1，[25,30)的頻率為0.3，[30,35)的頻率為0.35，因?yàn)?.1＋0.3<0.5<0.1＋0.3＋0.35，所以中位數(shù)x0∈[30,35)，由0.1＋0.3＋(x0－30)×0.07＝0.5，得x0≈31.4.故選A.3.(2019·全國(guó)卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).解(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.1.頻率分布直方圖的性質(zhì)(1)小長(zhǎng)方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率．見舉例說明1.(2)各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1.2.頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；(2)平分頻率分布直方圖的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是中位數(shù)；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．見舉例說明3.1.(2019·湘潭三模)統(tǒng)計(jì)某校n名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)同步練習(xí)成績(jī)(滿分150分)，根據(jù)成績(jī)分?jǐn)?shù)分成如下6組：[