如何培養(yǎng)學生的數感

如何培養(yǎng)學生的數感晉江市永和旦厝小學黃東漢提綱一、數感的涵義二、數感與加法和減法三、數感與乘法和除法四、數感與小數、分數、百分數五、培養(yǎng)學生數感的策略講座一、數感的涵義1、對數感的認識“數感”的英文是“NumberSense”，也可以翻譯成數覺或數意識。數感和語感、樂感一樣，通常是個直覺的、浪漫的、只可意會不可言傳的概念。1954年，Dantzig首次提出數感的概念，認為數感是對微小數量變化的一種直覺感受。這個在西方數學教育中的常見詞語，首次作為我國數學課程的一項培養(yǎng)目標，為我國當前的數學教育傳達了一種全新的信息。數感很容易辨識，但很難精確定義。關于數感具體由哪些數學概念理解和技能組成，不同的研究者有不同的理解。1989年，在全美數學教師協(xié)會（NCTM）制定的《中小學課程與評價標準》中關于數感的闡述為：“數感是一種關于數字的直覺，它從數字的所有不同意義的表述得以表現(xiàn)。2002年東北師范大學馬云鵬教授、北京教育學院史炳星副教授在《數學教育學報》撰文中說：“數感是一種主動地、自覺地或自動地理解和運用數的態(tài)度與意識”2003年，華南師范大學王林金教授在《數學通報》撰文說：學生“對于數及其運算的敏捷感知與深入認識，這種素質稱為數感”2、什么是數感？在計算“□－４＝９”和“１００÷２５＝？”這類題目時，有些學生很可能會竭盡全力去尋找合適的計算程序來解決問題，而不會去努力尋找題目中數字的相關聯(lián)系。但是，有些孩子則能應用自己掌握的數字事實來解決問題。我們把孩子們具有這種對數字之間關聯(lián)的意識以及靈活地解決數字問題的能力稱為其對數字的“感覺”或“數感”?！ㄓⅲ┲炖驄I·安吉萊瑞數感指的是一個人對數字和運算的一般理解力，以及靈活應用這種理解力的傾向和能力，用這種方式可以做出明智的數學判斷，并開發(fā)出應用數字和運算法則的有效策略。（麥金托什等，1992年）數感……體現(xiàn)的是應用數字和量化方法作為交流、加工、解釋信息的傾向和能力。它使人們意識到數學是有某種規(guī)律的。（麥金托什等，1992年）根據麥金托什等人的分析，數感主要在三個領域起重要作用：數字知識和數字的簡便性——數字的順序感；多樣化的數字呈現(xiàn)形式；數字相對和絕對數量的判斷；思考數字的基準參考體系。運算知識和運算的簡便性——理解運算結果；意識到所應用的規(guī)則；運算之間的關系。把數字、運算知識及其簡便性應用到需要用數字進行推理的問題中——理解問題情境和合適的解題策略之間的關系；意識到存在多樣化的數字呈現(xiàn)方式；應用有效的數字表征形式和（或）方法的傾向；檢驗數據和結果的傾向。表1幼兒數感的主要成分領域成分數數知道數數的順序掌握數數時一一對應、順序固定、集合、抽象和順序無關的原則數知識區(qū)分不同數量，知道相同數量進行數量大小的比較數量轉換通過加、減改變無題數量借助實物操作進行加、減計算進行加、減心理運算數量估計大概估計物體數量的大小，會使用參考點進行估數數字組型能模仿數型、擴充數型，能辨認數字間的關系表2數感含義的組成部分數感含義的組成部分實例理解數字的意義和相對大小9和15哪個大？你是怎么知道的？理解和使用數字的等量表征方式用多種理解或方法表示0.25的含義。理解運算的意義和作用750×0.92比750大嗎？為什么？理解和使用等量表征750÷0.5和750×2相等嗎？你是怎么理解的？在各種計算中靈活使用計算策略借助對乘法意義的理解并心算78×5選擇和運用度量的基準用一分鐘的脈搏次數，估計一小時或一天脈搏的次數。3、對數感在《標準》中的理解1．理解數的意義：在義務教育階段學生要學習整數、小數、分數、有理數、無理數等數概念。2．能用多種方法表示數：既是指要求學生理解數的概念，也是指使學生了解數的產生發(fā)展過程。3．在具體的情境中把握數的相對大小關系：不僅是理解數概念的需要，同時也會加深對數的實際意義的理解。4．能用數表達和交流信息：既能使學生體會學習數學的價值，也是數感的具體表現(xiàn)。5．在解決問題的過程中選擇恰當的算法、對運算結果的合理性作出解釋：也是形成數感的具體表現(xiàn)。二、數感與加法和減法1、加、減法與計數的聯(lián)系把一個物體放入到一個集合中，或者從一個集合取出一個物體，這些實際活動為學生提供了與計數有關的語言表達和體驗的機會，這些語言表達方式和體驗有助于他們把具體的物體模型與某些抽象的數字模式聯(lián)系起來。例如，“多一個”就是與計數順序中的下一個數字相聯(lián)系，“少一個”則是與計數順序中的前一個數字相聯(lián)系。這時，孩子們通過解決具有實際意義的問題來認知這些計數模式。研究結果表明，即使缺乏熟練而復雜的數字計算技能，低年級的學生仍能計算出結果。這就表明，孩子們是在問題解決的過程中形成數學知識的，而不是孤立地學習這些知識然后再單獨運用這些知識。2、加法計數策略加法是最基本的計數技能，“向前數”在早期階段就是有效的計數策略之一。3、減法計數的策略4、理解加、減法的各種意義5、閱讀符號下面問題涉及同一個由三個數字組成的數字組，這類問題有助于學生用各種方法靈活地解釋符號。四種主要的加減法應用題的類型變化型淘氣有5顆珠，笑笑又給了他8顆，這時他有多少顆珠？笑笑有8顆珠，他拿出3顆給淘氣，笑笑還剩多少顆珠？結合型淘氣有5顆藍珠和8顆紅珠，他共有多少顆珠？笑笑和淘氣共有13顆珠，如果笑笑有5顆珠，淘氣有多少顆珠？比較型淘氣有8顆珠，笑笑有5顆珠，淘氣比笑笑多幾顆珠？笑笑有5顆珠，比淘氣少8顆，淘氣有多少顆珠？相等型淘氣有8顆珠，笑笑有5顆珠，笑笑需要幾顆就和淘氣的珠一樣多？淘氣有5顆珠，如果笑笑減少8顆就和淘氣一樣多，笑笑有多少顆珠？三、數感與乘法和除法1、整數乘法的四種主要情境等組（例如，三張桌子，每張桌子圍坐四個孩子）。倍數比較（比率系數）（例如，男孩數是女孩數的三倍）。矩形隊列（例如，四個孩子氣排，共三排）。笛卡兒積（例如，將三個女孩和四個男孩進行搭配，共有幾種可能）。2、乘法與除法情境的問題結構3、乘、除運算的早期經驗研究顯示，早在幼兒園期間，孩子們就能夠用物體來模擬分組與平分這類除法問題。把物體拆分或重組成數量相等的集合，這種活動有助于孩子們在數字語言和數字之間建立聯(lián)系。與平分活動相比，把一個集合中的物體分成若干小組，這種方法可以更直接地表現(xiàn)出反復相減是如何把一個集合分成幾個部分的，這個過程與乘法是反復相加的過程截然相反。孩子們遇到的最簡單的乘法形式可能是兩個集合之間的多一對應關系（如1輛車有4個輪子），這種對應關系與比率或比率系數有關，這是乘法思維的基礎。在孩子們體驗數字的實際過程中，他們會發(fā)現(xiàn)，有些數字無法分成等組，例如，7個物體不能正好分成兩組，還會有剩下的物體，這就是對余數早期的體驗。4、乘法的意義作為記錄重復相加過程的簡便方法，教師可以把乘法符號“×”介紹給孩子們。在培養(yǎng)他們數感的時候，如果僅僅把乘法等同于重復相加，那么將會限制他們對乘法的理解，以至于日后無法理解某些計算題，如0.3×0.4。為了理解這類乘法計算題，就要用比率概念，即0.3×0.4表示0.3的0.4倍，或0.4的0.3倍。從最初把乘法理解成反復相加，發(fā)展到用乘法解決其他類型的問題，如比率商的問題（自行車的行駛速度是行人的8倍）和笛卡兒積的問題（選擇三種面包和四種餡，可以做出多少種的漢堡）。這兩種問題的解決都要應用到乘法，但是很顯然，這里的乘法不是重復相加。5、除法的意義我們把除法作為記錄平均分的過程與結果的簡便方法介紹給學生，例如，“１８÷３”有兩種解釋：①分配（等分）——把１８平均分成３份，每份有多少；②包含（分組）——１８中包含多少個３。用“倍”的意義來解釋除法，上述①等同于“什么數字的３倍是１８”；上述②等同于“３的多少倍是１８”，這種解釋與計數模式３，６，９，１２，１５，１８……相聯(lián)系，也把除法與“重復減法”聯(lián)系起來。如果僅把除法解釋成“分配”，那么他們就無法解釋諸如“８÷4”這類除法問題（８被4個人分）。學生能夠靈活地解釋除法的各種意義是非常重要的。6、把乘法和除法擴展到１０的倍數和１０的乘方把乘法事實擴展到１０的倍數（２０，３０……）和１０的乘方（１００，１０００……以及后面學到的０．１）時，教師必須解釋這些乘法事實的意義，這們才能讓孩子們理解這些乘法事實，因為在較大數字相乘時，這些都是重要的計算策略。7、較大數字乘法的心算策略8、乘法表外的除法9、乘法的筆算方法10、多位數除以一位數的除法教師可以用均分或分組這兩種方法來講解除法問題。這兩種方法應該和局面記錄相互配合，因為書面記錄有助于判斷學生對問題的理解程度。把除法等同于“數字組塊”的反復相減可能是有益無害的，而且局面記錄可以提供一個有利于孩子們理解計算過程的結構性記錄。例如，９６÷４，就要把９６分成若干個和４有關的數字，筆算的形式可以是水平的，也可以垂直的：除數是兩位數的除法11、算法附言所有學生最終都期盼使用有效的筆算方法進行計算。但是，只有循序漸進地建立這些方法，并不斷地完善和擴展這些心算策略，筆算方法對學生才是有意義的。過去，對傳統(tǒng)的筆算方法的精通程度一直是衡量對數學掌握程度的標準，這樣的觀點現(xiàn)在再也站不住腳了。事實上，對脫離具體情境的傳統(tǒng)筆算方法進行過度訓練反而會阻礙提高（學校）數學（課程）標準中整體目標的實現(xiàn)。……為了達到很現(xiàn)實的目的，學生將使用心算方法或者計算器來計算問題。（DES，1989）四、數感與小數、分數、百分數1、掌握有關數字系統(tǒng)的技能理解并解釋這些符號。在數軸上確定數字的位置。計算這些數字。2、百分數入門新的教學方法先教百分數，然后開始教等值的小數和小數。所有的百分數都可以簡單地表示成分數和小數，在學習中，從百分數開始學習，可以培養(yǎng)孩子們“更好的整體理解力”和形成數感所需要的“自信心、靈活性和創(chuàng)造力”。孩子們在日常生活中會遇到許多百分數，對于不同的百分數，如99％、50％、25％、10％等，他們會有自己直觀的想法。這類直觀的意義，有助于指導他們理解小數和分數是兩種等值的表征形式。百數正方形是可以反映百分數的視覺圖形，這一上正方形中的不同陰影部分面積，能讓孩子們直觀地看出某一百分數是從100當中取出多少。另一個有用的圖形是可以表示從0到100％的數軸，計算機通常借助這種圖形來表明程序執(zhí)行的進展情況。這種圖形能為孩子們提供一個熟悉的標準圖像，有助于他們把對比率的理解與數軸上的刻度聯(lián)系起來。用百分數進行計算時要利用孩子們對整數計算的經驗，包括兩倍法和兩分法的計算策略。3、形成小數概念小于1的小數呈現(xiàn)形式的規(guī)范化可以把數字的位值系統(tǒng)擴展應用到包括十分之幾、百分之幾這些百分數中。如，0.1＝10％，0.01＝1％，0.28＝2個0.1和8個0.01.給較大數字的命名規(guī)則，如54讀作“五十四”，并未應用到小數的命名之中，我們很少把0.54讀成“5個十分之一”和“4個百分之一”，而是通常讀成“零點五四”。孩子們讀作“零點五四”所使用的語言不能把數字和它相應的數值聯(lián)系起來。孩子們很容易把小數部分“讀成”整數，例如，把0.54讀成“零點五十四”，從而認為這個數大于0.7。同樣是這個原因，許多孩子認為4.90大于4.9。五、培養(yǎng)學生數感的策略更新教學觀念在生活情境中感受數感在動手操作中建立數感在猜想估計中體驗數