湖南省五市十校教研教改共同體2024屆高三上學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1湖南省五市十校教研教改共同體2024屆高三上學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，所以，又，所?故選：B2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，所以，則，又，所以，即.故選：C．3.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，設(shè)與的夾角為，則，所以.故選：D4.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，將代入得，故選D．5.在平面直角坐標(biāo)系中，角與的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊均為x軸的非負(fù)半軸．若角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將OP繞原點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與角的終邊重合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意知，根據(jù)三角函數(shù)的定義得，所以，故選：A．6.推動小流域綜合治理提質(zhì)增效，推進(jìn)生態(tài)清潔小流域建設(shè)是助力鄉(xiāng)村振興和建設(shè)美麗中國的重要途徑之一．某鄉(xiāng)村落實(shí)該舉措后因地制宜，發(fā)展旅游業(yè)，預(yù)計(jì)2023年平均每戶將增加4000元收入，以后每年度平均每戶較上一年增長的收入是在前一年每戶增長收入的基礎(chǔ)上以10%的增速增長的，則該鄉(xiāng)村每年度平均每戶較上一年增加的收入開始超過12000元的年份大約是（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A.2033年 B.2034年 C.2035年 D.2036年〖答案〗C〖解析〗設(shè)經(jīng)過n年之后，每年度平均每戶收入增加y元，由題得，即，則，，又，則．所以所求年份大約是2035年．故選：C.7.已知等差數(shù)列中，，設(shè)函數(shù)，記，則數(shù)列的前13項(xiàng)和為（）A.0 B.12 C.24 D.26〖答案〗D〖解析〗結(jié)合題意：，所以，由，可得，當(dāng)時，，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，所以數(shù)列的前13項(xiàng)和為．故選：D．8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，即，在上單調(diào)遞減，又，∴不等式,即原不等式的解集為．故選:B．二、多項(xiàng)選擇題9.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.不是函數(shù)的極值點(diǎn)C.在上單調(diào)遞增 D.存在兩個零點(diǎn)〖答案〗BC〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)镽，又，，則，所以不是奇函數(shù)，故選項(xiàng)A錯誤；因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)不存在極值點(diǎn)，故選項(xiàng)B與C正確；因?yàn)?，，又在上單調(diào)遞增，且，所以僅有一個零點(diǎn)0，故選項(xiàng)D錯誤.故選：BC10.已知，直線，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，故B正確；，故C錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故D正確．故選：ABD.11.已知偶函數(shù)的最小正周期為，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A.B.不等式的解集為C.若方程在區(qū)間的解為，則D.的圖象與直線的交點(diǎn)個數(shù)為3〖答案〗BC〖解析〗由已知為偶函數(shù)，得，因?yàn)?，所以，則，又最小正周期為，所以，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)，A錯誤；由得，所以，B正確；由得，所以，又，所以，，由對稱性知，所以，C正確；，時，，時，，結(jié)合圖象知交點(diǎn)個數(shù)不為3個，D錯誤．故選：BC．12.已知圓錐SO的側(cè)面積為，母線，底面圓的半徑為r，點(diǎn)P滿足，則（）A.當(dāng)時，圓錐SO的體積為B.當(dāng)時，過頂點(diǎn)S和兩母線的截面三角形的最大面積為C.當(dāng)時，從點(diǎn)A繞圓錐一周到達(dá)點(diǎn)P的最短長度為D.當(dāng)時，棱長為的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動〖答案〗AC〖解析〗由已知，當(dāng)時，，此時圓錐的高為，此時圓錐的體積為，A正確；當(dāng)時，設(shè)圓錐軸截面為，因?yàn)閳A錐SO的側(cè)面積為，所以，即，，所以為鈍角，故截面三角形的最大面積為，B錯誤；當(dāng)時，，側(cè)面展開圖的弧長為，沿將側(cè)面展開，得扇形，所以圓心角為，又，所以，在中，由余弦定理得，C正確；將正四面體放到正方體內(nèi)，則正四面體的外接球與正方體的外接球相同，若正四面體的棱長為，則正方體的棱長為1，則外接球半徑為，由題圓錐母線時，其側(cè)面積為，則圓錐的高，設(shè)內(nèi)切球半徑為，球心為,球與母線相切于，則,易知，則，解得，不可以任意轉(zhuǎn)動，D錯誤．故選：AC．三、填空題13.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，即，解得，所以.故〖答案〗：14.已知圓C的圓心與拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線對稱，直線與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且，則圓C的方程為_________．〖答案〗〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)為，該點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)C到直線的距離為，圓C的半徑為，所以圓C的方程為.故〖答案〗為：15.已知是定義在上的奇函數(shù)，且，都有，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為_________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，，則，所以函數(shù)的周期為4，因?yàn)椋躁P(guān)于對稱，因?yàn)橹芷跒?，所以關(guān)于直線對稱，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，由圖知共有5個零點(diǎn)，其橫坐標(biāo)從小到大依次為，所以，．故〖答案〗為：16.在平面四邊形中，，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，且，則四面體的外接球的體積為_________；若點(diǎn)在線段上，且，過點(diǎn)作球的截面，則所得的截面圓中面積最小的圓的半徑為_________．〖答案〗〖解析〗①因?yàn)椋鐖D所示，將四面體置于棱長為3的正方體中，可知外接球即為此正方體的外接球，所以球的半徑為，所以球的體積為；②過點(diǎn)作球的截面，若要所得的截面圓面積最小，只需截面圓半徑最小，設(shè)球心到截面的距離為，截面半徑為，則，所以只需球心到截面的距離最大即可，當(dāng)且僅當(dāng)與截面垂直時，球心到截面的距離最大，即，如圖，是的中點(diǎn)，連接,由①可知,所以在中，，，所以．故〖答案〗為：；.四、解答題17.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量，且．（1）求A；（2）若的外接圓半徑為2，且，求的面積．解：（1）由已知，即，由正弦定理得，即，整理得，即，又，故；（2）因，所以，則，即，又，所以．因?yàn)榈耐饨訄A半徑，所以由正弦定理可得，所以，所以．18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，，E，F(xiàn)分別是BC，PA的中點(diǎn)．（1）求證：平面PCD；（2）若平面平面ABCD，求直線PD與平面DEF所成角的余弦值．（1）證明：方法一：取PD的中點(diǎn)G，連接GF，CG，因?yàn)镚，F(xiàn)分別為PD，PA的中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，且E為BC的中點(diǎn)，所以，且，可得，且，所以四邊形CEFG為平行四邊形，則，且平面PCD，平面PCD，所以平面PCD．方法二：取AD的中點(diǎn)M，連接FM，ME，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理平面，又，面，所以平面平面，又平面EFM，所以平面PCD．（2）解：由已知平面平面ABCD，平面平面，又平面PAB，所以平面ABCD，如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得．設(shè)平面DEF的法向量，則令，則，可得，設(shè)直線PD與平面DEF所成的角為，則，，即直線PD與平面DEF所成角的余弦值為．19.杭州第19屆亞運(yùn)會后，多所高校掀起了體育運(yùn)動的熱潮．為了深入了解學(xué)生在“藝術(shù)體操”活動中的參與情況，隨機(jī)選取了10所高校進(jìn)行研究，得到數(shù)據(jù)繪制成如下的折線圖：（1）若“藝術(shù)體操”參與人數(shù)超過35人的學(xué)?？梢宰鳛椤盎匦！?，現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)選出3所，記可作為“基地校”的學(xué)校個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）現(xiàn)有一個“藝術(shù)體操”集訓(xùn)班，對“支撐、手倒立、手翻”這3個動作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測試．規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”．在集訓(xùn)測試中，某同學(xué)3個動作中每個動作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個動作及每輪測試互不影響．如果該同學(xué)在集訓(xùn)測試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達(dá)到8次，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪測試？解：（1）參加“藝術(shù)體操”人數(shù)在35人以上的學(xué)校共5所，所有可能取值為0，1，2，3，則，，所以的分布列為：0123P所以；（2）由已知該同學(xué)在一輪測試中為“優(yōu)秀”的概率為，則該同學(xué)在n輪測試中獲“優(yōu)秀”次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即滿足，由，所以理論上至少要進(jìn)行23輪測試．20.已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)．（1）證明：由已知可得當(dāng)時，，兩式相減得，即，從而．當(dāng)時，，所以，又，所以，從而，所以，又，，∴數(shù)列是以6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；（2）解：由（1）知：，整理得，因?yàn)?，所以．則，記，記，則，兩式相減，得：，所以，又，所以．21.已知動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)．（1）求動點(diǎn)M的軌跡；（2）過點(diǎn)F的直線與點(diǎn)M的軌跡相交于A，B兩點(diǎn)，與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）設(shè)d是點(diǎn)到直線的距離，由題意知，即，所以，即，所以，所以動點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上，長軸、短軸長分別是的橢圓；（2）①若直線的斜率不存在，直線的方程為，則，，所以；②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組整理得，則，所以，因?yàn)閳A心到直線的距離，結(jié)合圓的弦長公式可得：，所以，令，則，所以，，所以，綜上，的取值范圍是．22.已知函數(shù)（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值；（2）若有兩個極值點(diǎn)，且不等式恒成立，求