數(shù)的概念與公式

1、數(shù)的概念（一）1、自然數(shù)：我們?cè)跀?shù)物體時(shí)，用來(lái)表示物體個(gè)數(shù)的1，2，3，……叫做自然數(shù)。(0表示一個(gè)物體也沒(méi)有。0也是自然數(shù)，是最小的自然數(shù)。自然數(shù)都是整數(shù)。自然數(shù)的基本單位是‘1’，十、百、千、萬(wàn)……是自然數(shù)的輔助單位2、分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)（表示其中一份的數(shù)是這個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位。）（1）最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：分子與分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。如：、。（2）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系：a÷b＝（b≠0）。3、小數(shù)：分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)改寫成不帶分母形式的數(shù)叫做小數(shù)。（1）有限小數(shù)：一個(gè)小數(shù)，它的小數(shù)部分的位數(shù)是有限的叫有限小數(shù)。如：0.125、37.235169。（2）無(wú)限小數(shù)：一個(gè)小數(shù)，它的小數(shù)部分的位數(shù)是無(wú)限的叫無(wú)限小數(shù)。如：3.1415926……、0.33……、3.1666……（3）循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分從某一位起，一個(gè)數(shù)字或幾個(gè)數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)，這個(gè)數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。（4）循環(huán)節(jié)：一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分中依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字，叫做這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。如：3.241241……中的‘241’（5）純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開(kāi)始的小數(shù)叫做純循環(huán)小數(shù)。如：0.333……、9.413413……（6）混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不從小數(shù)部分第一位開(kāi)始的小數(shù)叫做混循環(huán)小數(shù)。如：0.833……、2.71312312……（7）純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)叫純小數(shù)。純小數(shù)都小于1。如：0.3、0.075。（8）帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)叫帶小數(shù)。帶小數(shù)都大于1。如：2.3、9.07。4、百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)，也叫做百分比或百分率。*分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：都表示兩數(shù)間的倍比關(guān)系，即求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾（或百）分之幾；區(qū)別：分?jǐn)?shù)既可表示兩數(shù)間的倍比關(guān)系，又可表示一個(gè)具體的數(shù)量（可帶單位）；而百分?jǐn)?shù)只表示兩數(shù)間的倍比關(guān)系，不能表示具體的數(shù)量（不帶單位）。2、數(shù)的概念（二）1、整除、除盡與除不盡*整除：整數(shù)a除以整數(shù)b（b≠0），除得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)數(shù)a能被數(shù)b整除（或說(shuō)b能整除a）。如：6÷3＝2(注意：被除數(shù)、除數(shù)和商都必須是整數(shù)，而沒(méi)有余數(shù)）*除盡：數(shù)a除以數(shù)b（b≠0），除得整數(shù)商后，還有余數(shù)，繼續(xù)除，如果除得的商是一個(gè)有限小數(shù)，我們就說(shuō)數(shù)a能被數(shù)b除盡（或說(shuō)b能除盡a）。如：18÷6＝335.5÷5＝7.1（注意：被除數(shù)、除數(shù)不一定是整數(shù)，商一定是整數(shù)或有限小數(shù)）*除不盡：數(shù)a除以數(shù)b（b≠0），如果除得的結(jié)果是一個(gè)無(wú)限小數(shù)，我們就說(shuō)除不盡。如：10÷3＝3.333……（整除的式子一定是除盡的，而除盡的式子不一定是整除的）2、約數(shù)與倍數(shù)*如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。如：35÷7＝5，35是5的倍數(shù)，5是35的約數(shù)。*一個(gè)數(shù)的約數(shù)是有限的，一個(gè)數(shù)最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是它的本身。*一個(gè)數(shù)的倍數(shù)是無(wú)限的，一個(gè)數(shù)最小的倍數(shù)是它的本身，沒(méi)有最大的倍數(shù)。*1是所有自然數(shù)的約數(shù)。3、能被2、5、3（或9）整除的數(shù)的特征*能被2整除的數(shù)的特征：個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)都能被2整除。（*能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。*不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。）*能被5整除的數(shù)的特征：個(gè)位上是0或5的數(shù)都能被5整除。*能被3（或9）整除的數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被3（或9）整除，這個(gè)數(shù)就能被3（或9）整除。4、質(zhì)數(shù)與合數(shù)*質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)的，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫素?cái)?shù)）。如：2、3、5、7、11、13……（注意：2是最小的質(zhì)數(shù)，也是唯一的一個(gè)偶數(shù)中的質(zhì)數(shù)）*合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)的數(shù)，叫做合數(shù)。（4是最小的合數(shù)）。*1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。5、分解質(zhì)因數(shù)*分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。如：16＝2×2×2×236＝2×2×3×3*質(zhì)因數(shù)：每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，這幾個(gè)質(zhì)數(shù)就叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。如：30＝2×3×5中的2、3和5都是30的質(zhì)因數(shù)。6、公約數(shù)與最大公約數(shù)*公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。（最小的公約數(shù)是1）*互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。（兩個(gè)相鄰的自然數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)；兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)；1與任何自然數(shù)都是互質(zhì)數(shù)）*在兩個(gè)數(shù)中，如果小數(shù)是大數(shù)的約數(shù)，那么小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。*如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公約數(shù)是1。7、公倍數(shù)與最小公倍數(shù)*公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。（因?yàn)楣稊?shù)是無(wú)限的，所以沒(méi)有最大公倍數(shù)）*在兩個(gè)數(shù)中，如果大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù)，那么大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。*如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最小公倍數(shù)是它們的乘積。3、數(shù)的性質(zhì)1、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)*分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變，這叫做分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。（應(yīng)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可以進(jìn)行通分和約分）*約分：把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成同它相等但分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。*通分：把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來(lái)分?jǐn)?shù)相等的同分母的分?jǐn)?shù)，叫做通分。（通常用這幾個(gè)分母的最小公倍數(shù)作公分母）2、小數(shù)的基本性質(zhì)*小數(shù)的末尾添上“0”，或者去掉“0”，小數(shù)的大小不變，這叫*小數(shù)點(diǎn)位置的移動(dòng)，引起小數(shù)大小變化的規(guī)律是：小數(shù)點(diǎn)向右（或左）移動(dòng)一位、二位、三位……，小數(shù)就擴(kuò)大（或縮?。?0倍、100倍、1000倍……。4、數(shù)的運(yùn)算法則1、整數(shù)乘法的運(yùn)算法則：*先用乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)去乘被乘數(shù)，得數(shù)的末位與乘數(shù)的個(gè)位對(duì)齊；再用乘數(shù)十位上的數(shù)去乘被乘數(shù)，得數(shù)的末位與乘數(shù)的十位對(duì)齊，這樣依次算下去，然后把每次乘得的積加起來(lái)。2、小數(shù)乘法的運(yùn)算法則：*先按照整數(shù)乘法的運(yùn)算法則去乘，再看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起向左邊數(shù)出幾位數(shù)，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。3、整數(shù)除法的運(yùn)算法則：*除數(shù)是幾位數(shù)，先除被除數(shù)的前幾位，不夠除時(shí)，要看比除數(shù)多一位，除到被除數(shù)哪一位，商就寫在那一位上；如果除到哪一位，不夠商1，就在那一位上寫0；每次除得的余數(shù)，必須比除數(shù)小。4、小數(shù)除法的運(yùn)算法則：*如果除數(shù)是整數(shù)，就按照整數(shù)除法的運(yùn)算法則算出商，商里的小數(shù)點(diǎn)和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；如果除數(shù)是小數(shù)，必須先把除數(shù)擴(kuò)大成整數(shù)，被除數(shù)也要同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)，然后按照整數(shù)除法的運(yùn)算法則算出商，商的小數(shù)點(diǎn)必須要與被除數(shù)擴(kuò)大后的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。5、分?jǐn)?shù)乘法的運(yùn)算法則：*分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。（注意：整數(shù)可化成分母是1的分?jǐn)?shù)去乘。*能約分的先約分再相乘。）6、分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算法則：*甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)。*倒數(shù)：乘積是1的兩個(gè)數(shù)叫做互為倒數(shù)。7、帶分?jǐn)?shù)乘、除法的運(yùn)算法則：*先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，然后再相乘或相除。8、整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加、減法運(yùn)算法則：（法則雖有所不同，但有一共同點(diǎn)：就是要把相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相加或相減。）*整數(shù)加、減時(shí)，要注意相同數(shù)位的數(shù)對(duì)齊；*小數(shù)加、減時(shí)，要注意把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；*分?jǐn)?shù)加、減時(shí)，要注意當(dāng)分母相同時(shí)，才能直接相加、減。5、方程與比和比例1、方程與等式*方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。如：x＋3＝7*等式：左右兩邊相等的式子叫做等式。如：3＋5＝8x－6＝9（注意：方程一定是等式，而等式不一定是方程。）2、方程的解與解方程*方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。*解方程：求方程的解的過(guò)程叫做解方程。（注意：方程的解是一個(gè)數(shù)值，而解方程是一個(gè)運(yùn)算過(guò)程。）3、比和比例*比：兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。如：2÷3＝2∶3＝*比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。如：5∶6＝20∶24（注意：比是一個(gè)除式，表示兩數(shù)間的倍比關(guān)系，只有兩項(xiàng)；而比例是一個(gè)等式，表示兩個(gè)比的相等關(guān)系，有四項(xiàng)。）*比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，比值不變。這叫做比的基本性質(zhì)。（用于化簡(jiǎn)比）*比例的基本性質(zhì)：在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。（用于解比例）*解比例：求比例中的未知項(xiàng)叫做解比例。4、求比值與化簡(jiǎn)比*求比值：用前項(xiàng)除以后項(xiàng)，所得的商叫做比值。（結(jié)果是一個(gè)數(shù)值）*化簡(jiǎn)比：把一個(gè)比化成和它相等的最簡(jiǎn)整數(shù)比的過(guò)程，叫做化簡(jiǎn)比。（結(jié)果仍是一個(gè)比）*最簡(jiǎn)比：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)是互質(zhì)數(shù)的比叫做最簡(jiǎn)比。*求比值與化簡(jiǎn)比的方法可以相同，但是結(jié)果一定要注意分清。方法可歸納為：①如果是整數(shù)或小數(shù)比，可以寫成分?jǐn)?shù)形式，然后進(jìn)行約分。如：36∶48＝＝（化簡(jiǎn)比和求比值都可以這樣做）4∶0.6＝＝＝（化簡(jiǎn)比到此為止，而求比值還要再做一步：=）②如果是分?jǐn)?shù)比，可以看作除法形式，然后用前項(xiàng)乘以后項(xiàng)的倒數(shù)。如：∶＝×＝（化簡(jiǎn)比和求比值都可以這樣做）6、平面圖形的周長(zhǎng)和面積公式名稱圖形周長(zhǎng)面積長(zhǎng)方形周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2C=(a+b)×2長(zhǎng)=寬=面積=長(zhǎng)×寬S長(zhǎng)方形=a×b長(zhǎng)=寬=正方形周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4C=4×a邊長(zhǎng)=面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)S正方形=a2S正方形=對(duì)角線2÷2平行四邊形面積=底×高S平行四邊形=a×h底=高=三角形面積=底×高÷2S三角形=a×h÷2底=高=梯形面積=(上底+下底)×高÷2S梯形=（a+b）×h÷2上底=高=圓形周長(zhǎng)=π×直徑周長(zhǎng)=π×半徑×2直徑=半徑=面積=π×半徑2S圓=πr2=πd2環(huán)形面積環(huán)形=面積大圓－面積小圓S環(huán)形=πR2－πr2=π(R2－r2)扇形周長(zhǎng)=弧長(zhǎng)+半徑×2弧長(zhǎng)=圓周長(zhǎng)×面積=圓面積×S扇形=πr2×7、立體圖形的表面積和體積公式名稱圖形表面積體積長(zhǎng)方體表面積=（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高）×2S=（ab+ah+bh）×2體積=長(zhǎng)×寬×高長(zhǎng)=寬=高=V長(zhǎng)=abhV長(zhǎng)=S底h正方體表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6S=a2×6體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)V正=a3V正=S底h圓柱體側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高S側(cè)=C底×h表面積=側(cè)面積+底面積×2S表=S側(cè)+S底×2=2πr×(r+h)=底面周長(zhǎng)×（半徑+高）體積=底面積×高底面積=高=V柱=S底h圓錐體體積=×底面積×高底面積=高=V錐=S底h8、簡(jiǎn)單應(yīng)用題的類型類型數(shù)量關(guān)系例題總數(shù)與部分?jǐn)?shù)求總數(shù)部分?jǐn)?shù)+部分?jǐn)?shù)=總數(shù)*某工廠有男工364人，女工91人。這工廠一共有職工多少人？求部分?jǐn)?shù)（或求剩余）*某工廠共有職工455人，女工91人。這工廠有男工多少人？總數(shù)、份數(shù)與每份數(shù)求相同加數(shù)的和（求總數(shù)）每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)*某工廠有5個(gè)車間，每個(gè)車間有職工91人。這工廠一共有職工多少人？把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少（求每份數(shù)）*某工廠有5個(gè)車間，一共有職工455人。平均每個(gè)車間有職工多少人？求一個(gè)數(shù)包含幾個(gè)另一個(gè)數(shù)（求份數(shù)）*某工廠共有職工455人，平均每個(gè)車間有91人。這工廠有多少個(gè)車間？大數(shù)、小數(shù)與相差數(shù)求兩數(shù)相差多少（求相差數(shù)）大數(shù)-小數(shù)=相差數(shù)*某工廠有男工364人，女工91人。這個(gè)工廠的男工比女工多多少人？求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)（求大數(shù)）*某工廠有女工91人，男工比女工多273人。這個(gè)工廠的男工有多少人？求比一個(gè)數(shù)少幾的數(shù)（求小數(shù)）*某工廠有男工364人，女工比男工少273人。這個(gè)工廠的女工有多少人？一倍數(shù)、倍數(shù)與幾倍數(shù)求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少（求幾倍數(shù)）一倍數(shù)×倍數(shù)=幾倍數(shù)*某工廠有女工91人，男工人數(shù)是女工的4倍。這個(gè)工廠有男工多少人？求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍（求倍數(shù)）*某工廠有女工91人，男工364人。這個(gè)工廠男工人數(shù)是女工的多少倍？已知一個(gè)數(shù)的幾倍數(shù)多少，這個(gè)數(shù)（求一倍數(shù)）*某工廠有男工364人，是女工的4倍。這個(gè)工廠有女工多少人？9、常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系式數(shù)量名稱數(shù)量關(guān)系式收入支出結(jié)余收入-支出=結(jié)余=收入=支出單價(jià)數(shù)量總價(jià)單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)=單價(jià)=數(shù)量單產(chǎn)量數(shù)量總產(chǎn)量單產(chǎn)量×數(shù)量=總產(chǎn)量=單產(chǎn)量=數(shù)量速度時(shí)