數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

摘要數(shù)列是數(shù)學(xué)非常重要的一部分內(nèi)容，其在初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間起著承上啟下的作用，是一個(gè)重要的銜點(diǎn)，并且在高考和競(jìng)賽中也具有十分重要的地位。求數(shù)列的通項(xiàng)公式屬于該領(lǐng)域最基本的問題，對(duì)于學(xué)生而言也是必須掌握的。因此運(yùn)算通項(xiàng)公式是我們學(xué)習(xí)過程中十分關(guān)鍵的內(nèi)容，此次論文將重點(diǎn)結(jié)合求解方法進(jìn)行梳理和總結(jié)，將其求法分為兩大類，分別為“常規(guī)方法”與“特殊方法”。其中常規(guī)方法為高中階段所要掌握的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，特殊方法為大學(xué)階段所學(xué)到的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法。本文的目的是使學(xué)生更加的容易掌握求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法。關(guān)鍵詞：數(shù)列；通項(xiàng)；公式；求法AbstractNumberseriesisaveryimportantpartofmathematics,whichplaysaconnectingrolebetweenelementarymathematicsandhighermathematics,isanimportantlinkpoint,andalsoplaysaveryimportantroleincollegeentranceexaminationandcompetition.Thegeneraltermformulaofthenumberseriesisthebasicprobleminsolvingthenumberseriesproblem,sothegeneraltermformulaofthenumberseriesisaveryimportantpartofthecontent.Thispapersummarizesthemethodsofcalculatinggeneraltermformulaofsequence,anddividesthemintotwocategories,namely"conventionalmethod"and"specialmethod".Amongthem,theconventionalmethodisthemethodofcalculatingthegeneraltermformulaoftheserieswhichshouldbemasteredintheseniorhighschoolstage,andthespecialmethodisthemethodofcalculatingthegeneraltermformulaoftheserieslearnedintheUniversitystage.Thepurposeofthispaperistomakeiteasierforstudentstograspthegeneraltermformulaforcalculatingthesequenceofnumbers.Keywords:Sequence;generalterm;collegeentrance;Solution目錄目錄緒論 11.常規(guī)方法 11.1定義法 11.2利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng) 41.3利用遞推關(guān)系求通項(xiàng) 61.4構(gòu)造法 72.高等數(shù)學(xué)角度 82.1矩陣求法 82.2不動(dòng)點(diǎn)法 102.3線性代換法 112.4導(dǎo)數(shù)與積分法 12結(jié)語 13主要參考文獻(xiàn) 14緒論數(shù)列是數(shù)學(xué)中重要的一部分，在高考和競(jìng)賽中占有重要的地位。其數(shù)學(xué)思想非常的豐富，并且具有很強(qiáng)的邏輯性。所以對(duì)此研究使學(xué)生能更好的理解學(xué)習(xí)并應(yīng)用。求解運(yùn)算通項(xiàng)公式是數(shù)列學(xué)習(xí)的最初要求，也是很多數(shù)學(xué)問題的前提，否則后續(xù)運(yùn)算分析無從繼續(xù)，所以解數(shù)列通項(xiàng)公式成為人們解題的關(guān)鍵。一些題目給出數(shù)列的遞推關(guān)系式，求通項(xiàng)公式的問題，困難很大，學(xué)生不能準(zhǔn)確的找到解題的相應(yīng)方法，從而引起人們的重視。已知數(shù)列的遞推公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式的一類問題是在數(shù)學(xué)問題中最常見的一類題型，這類問題解題方法多樣，所以學(xué)生不能很好的分出每種解題方法對(duì)應(yīng)的可解題目類型。這類問題又較強(qiáng)的規(guī)律性，只要抓住其中的規(guī)律就能很容易的解這類問題。本文就是根據(jù)這類問題的規(guī)律，介紹了六種解題方法。進(jìn)而讓學(xué)生們對(duì)不同的解題運(yùn)算方法更好地掌握，更高效地求解題目，同時(shí)提升準(zhǔn)確性。1.常規(guī)方法1.1定義法數(shù)列an滿足等差或者等比數(shù)列時(shí)，此時(shí)根據(jù)相應(yīng)數(shù)列的定義以及基本特征，運(yùn)算通項(xiàng)公式的指數(shù)以及所需求元素（1）等差數(shù)列例1：（2018福建中學(xué)調(diào)研，17）給出等差數(shù)列an，其對(duì)應(yīng)公差d>0,前n項(xiàng)相加結(jié)果是Sn，同時(shí)a（1）運(yùn)算an的對(duì)應(yīng)通項(xiàng)公式； （2）假如滿足bn=Snn+c（c是不為0的常數(shù)），同時(shí)解析：（1）∵S4=28，∴a1+a4又a2×a3∴a2<a3,∴a2+d=5∴an=4n-3（2）由（1）知Sn∴bn∴b1=11+c,因?yàn)閎n滿足∴b1即2×6運(yùn)算后c=-12（c=0（2）等比數(shù)列例2：（2018課標(biāo)Ⅲ，17）給出等比數(shù)列an，a（1）運(yùn)算an對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)（2）假定Sn屬于an的前n項(xiàng)相加所得結(jié)果。假如有Sm=63分析：（1）假定an的公比是q，根據(jù)題目意思我們知道a此時(shí)有q4=4q2，運(yùn)算后q=0（不考慮）或因此所得公式是an=(-2)（2）假如有an=結(jié)合Sm=63有(-2)m假如an=2結(jié)合Sm=63此時(shí)有2m=64因此，m=6.例3：（2017天津，18）給出an滿足等差數(shù)列定義，前n項(xiàng)相加所得結(jié)果是Sn（n∈N*），bn首項(xiàng)為2，滿足（1）運(yùn)算an以及bn（2）運(yùn)算a2nb2n-1的前n分析：（1）假定相應(yīng)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比對(duì)應(yīng)結(jié)合題意我們認(rèn)為b2+b3=12,進(jìn)而有b1q+q2=12,考慮到b1=2，因此由b3=a由S11=11b綜合①②，運(yùn)算后有a1=1，因此，此時(shí)an的通項(xiàng)公式可歸納為an=3n-2，而bn（2）假定數(shù)列a2nb2n-1的前n因?yàn)閍2n=6n-2，b2n-1=2×故Tn4Tn對(duì)以兩式做減法，-3T=得T因此，a2nb2n-1的前方法梳理：等差、等比數(shù)列通常會(huì)涉及到五個(gè)量a1,n,d（或q）,an,Sn,而運(yùn)算的過程中體現(xiàn)出一個(gè)原則“知三求二”，結(jié)合列方程（組）運(yùn)算得到所需求的量a1以及d（或1.2利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)（1）利用a利用an=S例4：（2018山東青島調(diào)研，17）給出Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)相加所得結(jié)果，Sn（1）運(yùn)算an的通項(xiàng)（2）假如bn滿足等差數(shù)列，Tn對(duì)應(yīng)前n項(xiàng)相加所得結(jié)果，b2=a解析：（1）由Sn=3×2（ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，（ⅱ）當(dāng)n≥2時(shí)，an又當(dāng)n=1時(shí)，a1=3所以，對(duì)于任意n∈N*，都有a（2）設(shè)數(shù)列bn的首項(xiàng)對(duì)應(yīng)b1，同時(shí)滿足公差：結(jié)合（1）有b2=結(jié)合其相應(yīng)的通項(xiàng)公式此時(shí)有b2=b1所以bn可以看出bn隨著n令bn≥0，解得所以Tn有最大值，無最小值，且T18（或Tn）為前nT18（二）利用Sn與a例5：（2014廣東，19）假定數(shù)列an的前n項(xiàng)相加所得結(jié)果是Sn，同時(shí)有Sn=2n（1）運(yùn)算a1,a2,a3（2）運(yùn)算an的對(duì)應(yīng)通項(xiàng)分析：（1）結(jié)合題目給出條件S1解得a1（2）∵Sn∴當(dāng)n≥2時(shí)，-②并整理得a由（1）猜想an=2n+1假如n=1，a1假如n=2時(shí)，a2如果有n=k時(shí)，ak那么滿足n=k+1時(shí)，ak+1也就是n=k+1時(shí)，結(jié)論為真.結(jié)合以上分析，任何n∈N*1.3利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)（1）累加法類似于an+1-例6：給出數(shù)列an符合a1=1,an+1=a分析：∵a1=1,a∴當(dāng)n≥2時(shí),an==n因?yàn)椤遖1∴an對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式是an（二）累乘法類似于anan例7：給出數(shù)列符合,nan+1=(n+1)an(n∈解析：∵a1=2∴a=n+1∴a又∵a1∴數(shù)列an的通項(xiàng)公式為（三）取倒法形如an+1=AanBa例5:已知數(shù)列an滿足a1=1,an=a分析：變形為：1∴此時(shí)數(shù)列1∴1an=∴an的通項(xiàng)公式可表述成1.4構(gòu)造法（1）遞推式為a表示成an+1=Aan+B形式（這里A,B都屬于常數(shù)，AB(A-1)≠0例6：給出an中，a1=1,an+1=2分析：結(jié)合an+1=2an+5此時(shí)有an+1-C=2(an-C)即an+1=2an-C（其中C=-5）。因此可以轉(zhuǎn)變?yōu)閍n+1+5=2(a（2）遞推式對(duì)應(yīng)a假如滿足an+1=Aan+f(n)例7：對(duì)于數(shù)列an而言，a1=1，an=分析：設(shè)bn=an+An+B，則an=所以A=3A-2B=3B-2A+1,解得A=1創(chuàng)建bn那么bn=3bn-1，因?yàn)閎1=3，所以例7:給出數(shù)列an符合a1=1,a2=3,分析：an+2=3又2-a1=2，∴an-an-1滿足等比，對(duì)應(yīng)當(dāng)n>1時(shí)，===2n-1 （標(biāo)注：第一步需要?jiǎng)?chuàng)建an-an-12.高等數(shù)學(xué)角度2.1矩陣求法當(dāng)遞推公式形如an+1=aan+bcan+d（其中a,首先，假設(shè)f(x)=ax+bcx+d，接著設(shè)定g(x)=αx+βκx+μ，形成相匹配的矩陣B=f.g=f(gA.B=aα+bκaβ+bμcα+dκcβ+dμ，進(jìn)而式f(x)，h(x)的復(fù)合，此時(shí)意味著矩陣f.h=abcAn-1定義式hλ是矩陣A的特征多項(xiàng)式的根，T是由特征向量構(gòu)成的矩陣，從而得到：fn-1例8：已知數(shù)列an滿足a1=1且an+1解析：原遞歸公式對(duì)應(yīng)的矩陣為：A=56由于|故求得特征根為：λ1=-1，λ2=7，容易求得，兩特征根分別對(duì)應(yīng)的特征向量1那么A于是A從而a考慮到a1=1，2.2不動(dòng)點(diǎn)法f(x)=x運(yùn)算得到根叫作f(x)的不動(dòng)點(diǎn).借助數(shù)列f(x)不動(dòng)點(diǎn),此時(shí)能夠結(jié)合一些遞推關(guān)系an=f(an-1)一：假如f(x)=Ax+B(a≠0,a≠1)，p為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)an=f(an-1二：若f(x)=Ax+BCx+D(D（1）假如f(x)提供兩個(gè)相異的點(diǎn)p、q，那么an-pa（2）假如f(x)僅存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則1an例10:已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=an+2an(n∈N*),解析：函數(shù)f(x)=x+2x，解方程f(x)=x求出不動(dòng)點(diǎn)為p=2,q=-1,∴an+1-2an+1∴an對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式是例9:給出數(shù)列an符合a1=2a,分析：設(shè)定f(x)=2a-a2x，運(yùn)算于是1an這樣就形成了等差數(shù)列1運(yùn)算后有a∴an的通項(xiàng)公式對(duì)應(yīng)2.3線性代換法通常而言，就a1=m,an+1=p例10:給出數(shù)列an符合a1=1,a2=3,an+1分析：∵a∴設(shè)定p=2p+2，那么有p=-2進(jìn)而a設(shè)定bn+1=∴bn滿足等比數(shù)列，第一項(xiàng)b1=-1，∴a∴a例11：給出數(shù)列an符合a1=1,a2=2,分析：a構(gòu)建相應(yīng)方程有:t2-2t-3=0,解得：t∴a即an+1+設(shè)定bn+1=an+1+an，數(shù)列bn為等比數(shù)列，其首項(xiàng)b1=1∴b∴(-1)累加得:(-1)(-1)∴an=2.4導(dǎo)數(shù)與積分法遞推公式形如an+1=A①假定f(x)=ax②把上一步驟得到的方程展開求導(dǎo)，同時(shí)到滿足易算的f(x)的相應(yīng)函數(shù)結(jié)束；接著將形成的f(x)的特定導(dǎo)函數(shù)完成一定次數(shù)的積分此時(shí)有f(x)；③最后設(shè)定x=n，進(jìn)而有an=f(n)例12：給出數(shù)列an中，a1=1,分析：假定f(x)=ax，x∈對(duì)以上函數(shù)方程的兩