高三數(shù)學(xué)高考高分突破之概率統(tǒng)計專題31 自主招生問題（解析版）49

專題31自主招生問題例1．某學(xué)校實行自主招生，參加自主招生的學(xué)生從8個試題中隨機挑選出4個進(jìn)行作答，至少答對3個才能通過初試．已知甲、乙兩人參加初試，在這8個試題中甲能答對6個，乙能答對每個試題的概率為，且甲、乙兩人是否答對每個試題互不影響．（Ⅰ）求甲通過自主招生初試的概率；（Ⅱ）試通過概率計算，分析甲、乙兩人誰通過自主招生初試的可能性更大；（Ⅲ）記甲答對試題的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解析】（Ⅰ）依題意，所求概率．（Ⅱ）乙通過自主招生初試的概率；因為，故甲通過自主招生初試的可能性更大．（Ⅲ）依題意，的可能取值為2,3,4；；；；故的分布列為：234所以．例2．甲、乙兩位同學(xué)從共所高校中，任選兩所參加自主招生考試（并且只能選兩所高校），但同學(xué)特別喜歡高校，他除選高校外，再在余下的所中隨機選1所；同學(xué)乙對所高校沒有偏愛，在所高校中隨機選2所．若甲同學(xué)未選中高校且乙選中高校的概率為．（1）求自主招生的高校數(shù)；（2）記為甲、乙兩名同學(xué)中未參加高校自主招生考試的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）由已知得，甲同學(xué)選中高校的概率為，乙同學(xué)選中高校的概率為，∴甲同學(xué)未選中高校且乙同學(xué)選中高校的概率為，整理得，，∵，解得，故自主招生的高校數(shù)為5所．（2）的所有可能取值為0,1,2，，，則的分布列為：X012P∴的數(shù)學(xué)期望．例3．有一名高二學(xué)生盼望2020年進(jìn)入某名牌大學(xué)學(xué)習(xí)，假設(shè)該名牌大學(xué)有以下條件之一均可錄?。孩?020年2月通過考試進(jìn)入國家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊（集訓(xùn)隊從2019年10月省數(shù)學(xué)競賽一等獎中選拔）：②2020年3月自主招生考試通過并且達(dá)到2020年6月高考重點分?jǐn)?shù)線，③2020年6月高考達(dá)到該校錄取分?jǐn)?shù)線（該校錄取分?jǐn)?shù)線高于重點線），該學(xué)生具備參加省數(shù)學(xué)競賽、自主招生和高考的資格且估計自己通過各種考試的概率如下表省數(shù)學(xué)競賽一等獎自主招生通過高考達(dá)重點線高考達(dá)該校分?jǐn)?shù)線0.50.60.90.7若該學(xué)生數(shù)學(xué)競賽獲省一等獎，則該學(xué)生估計進(jìn)入國家集訓(xùn)隊的概率是0.2.若進(jìn)入國家集訓(xùn)隊，則提前錄取，若未被錄取，則再按②、③順序依次錄?。呵懊嬉呀?jīng)被錄取后，不得參加后面的考試或錄取.（注：自主招生考試通過且高考達(dá)重點線才能錄?。á瘢┣笤搶W(xué)生參加自主招生考試的概率；（Ⅱ）求該學(xué)生參加考試的次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）求該學(xué)生被該校錄取的概率.【解析】解：（Ⅰ）設(shè)該學(xué)生參加省數(shù)學(xué)競賽獲一等獎、參加國家集訓(xùn)隊的事件分別為，，則，，.即該學(xué)生參加自主招生考試的概率為0.9.（Ⅱ）該該學(xué)生參加考試的次數(shù)的可能取值為2，3，4；；.所以的分布列為2340.10.50.4.（Ⅲ）設(shè)該學(xué)生自主招生通過并且高考達(dá)到重點分?jǐn)?shù)線錄取，自主招生未通過但高考達(dá)到該校錄取分?jǐn)?shù)線錄取的事件分別為，.，，，所以該學(xué)生被該校錄取的概率為.例4．大學(xué)先修課程，是在高中開設(shè)的具有大學(xué)水平的課程，旨在讓學(xué)有余力的高中生早接受大學(xué)思維方式、學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練，為大學(xué)學(xué)習(xí)乃至未來的職業(yè)生涯做好準(zhǔn)備.某高中成功開設(shè)大學(xué)先修課程已有兩年，共有250人參與學(xué)習(xí)先修課程，這兩年學(xué)習(xí)先修課程的學(xué)生都參加了高校的自主招生考試（滿分100分），結(jié)果如下表所示：分?jǐn)?shù)人數(shù)25501005025參加自主招生獲得通過的概率0.90.80.60.40.3（Ⅰ）這兩年學(xué)校共培養(yǎng)出優(yōu)等生150人，根據(jù)下圖等高條形圖，填寫相應(yīng)列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表檢驗?zāi)芊裨诜稿e的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系？優(yōu)等生非優(yōu)等生總計學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程250沒有學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程總計150（Ⅱ）已知今年全校有150名學(xué)生報名學(xué)習(xí)大學(xué)選項課程，并都參加了高校的自主招生考試，以前兩年參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)成績的頻率作為今年參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)成績的概率.（?。┰诮衲陞⑴c大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)的學(xué)生中任取一人，求他獲得高校自主招生通過的概率；（ⅱ）某班有4名學(xué)生參加了大學(xué)先修課程的學(xué)習(xí)，設(shè)獲得高校自主招生通過的人數(shù)為，求的分布列，試估計今年全校參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)的學(xué)生獲得高校自主招生通過的人數(shù).參考數(shù)據(jù)：0.150.100．050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879參考公式：，其中【解析】（Ⅰ）列聯(lián)表如下：優(yōu)等生非優(yōu)等生總計學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程50200250沒有學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程1009001000總列聯(lián)表可得，因此在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系.（Ⅱ）（?。┯深}意得所求概率為.（ⅱ）設(shè)獲得高校自主招生通過的人數(shù)為，則，，，∴的分布列為01234估計今年全校參加大學(xué)先修課程的學(xué)生獲得大學(xué)自主招生通過的人數(shù)為.例5．為了了解我校高2017級本部和大學(xué)城校區(qū)的學(xué)生是否愿意參加自主招生培訓(xùn)的情況，對全年級2000名高三學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果如下表：校區(qū)

愿意參加

不愿意參加

重慶一中本部校區(qū)

220

980

重慶一中大學(xué)城校區(qū)

80

720

（1）若從愿意參加自主招生培訓(xùn)的同學(xué)中按分層抽樣的方法抽取15人，則大學(xué)城校區(qū)應(yīng)抽取幾人；（2）現(xiàn)對愿意參加自主招生的同學(xué)組織摸底考試，考試題共有5道題，每題20分，對于這5道題，考生“如花姐”完全會答的有3題，不完全會的有2道，不完全會的每道題她得分的概率滿足：，假設(shè)解答各題之間沒有影響，①對于一道不完全會的題，求“如花姐”得分的均值；②試求“如花姐”在本次摸底考試中總得分的數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）大學(xué)城校區(qū)應(yīng)抽取人；（2）①由題知：對一道不完全會的題，“如花姐”得分的分布列為，即；

6

12

18

所以對于每一道不完全會的題，“如花姐”得分的期望為分；②記為“如花姐”做兩道不完全會的題的得分總和，則；；．所以“如花姐”最后得分的期望值為分．例6．符合下列三個條件之一，某名牌大學(xué)就可錄?。孩佾@國家高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一等獎（保送錄取，聯(lián)賽一等獎從省高中數(shù)學(xué)競賽優(yōu)勝者中考試選拔）；②自主招生考試通過并且高考分?jǐn)?shù)達(dá)到一本分?jǐn)?shù)線（只有省高中數(shù)學(xué)競賽優(yōu)勝者才具備自主招生考試資格）；③高考分?jǐn)?shù)達(dá)到該大學(xué)錄取分?jǐn)?shù)線（該大學(xué)錄取分?jǐn)?shù)線高于一本分?jǐn)?shù)線）．某高中一名高二數(shù)學(xué)尖子生準(zhǔn)備報考該大學(xué)，他計劃：若獲國家高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一等獎，則保送錄??；若未被保送錄取，則再按條件②、條件③的順序依次參加考試．已知這名同學(xué)獲省高中數(shù)學(xué)競賽優(yōu)勝獎的概率是0.9，通過聯(lián)賽一等獎選拔考試的概率是0.5，通過自主招生考試的概率是0.8，高考分?jǐn)?shù)達(dá)到一本分?jǐn)?shù)線的概率是0.6，高考分?jǐn)?shù)達(dá)到該大學(xué)錄取分?jǐn)?shù)線的概率是0.3．（I）求這名同學(xué)參加考試次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（II）求這名同學(xué)被該大學(xué)錄取的概率．【解析】解：（I）記“獲省高中數(shù)學(xué)競賽優(yōu)勝獎”為事件A，則；記“獲國家高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一等獎”為事件B，則；記“通過自主招生考試”為事件C，則；記“高考分?jǐn)?shù)達(dá)到一本分?jǐn)?shù)線”為事件D，則；記“高考分?jǐn)?shù)達(dá)到該大學(xué)錄取分?jǐn)?shù)線”為事件E.，則隨機變量的可能取值有2、4隨機變量的分布列為：240.550.45（II）記“這名同學(xué)被該大學(xué)錄取”為事件則所以這名同學(xué)被該大學(xué)錄取的概率為0.695例7．已知A,B,C,D,E五所高校舉行自主招生考試，某同學(xué)決定按A,B,C,D,E的順序參加考試，假設(shè)該同學(xué)參加每所高校的考試獲得通過的概率均為13（1）如果該同學(xué)五所高校的考試都參加，求在恰有兩所通過的條件下，不是連續(xù)兩所通過的概率；（2）如果該同學(xué)一旦通過某所高校的考試，就不再參加后面高校的考試，假設(shè)參加每所高校考試所需的費用均為162元，試求該同學(xué)參加考試所需費用X的數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）該同學(xué)恰好通過兩所高校自主招生考試的概率為P=C52所以所求條件概率為C5（2）該同學(xué)參加考試所需費用X的分布列如下：(a=162)所以（元）.例8．已知，，，…，等10所高校舉行自主招生考試，某同學(xué)參加每所高校的考試獲得通過的概率均為.（1）如果該同學(xué)10所高校的考試都參加，恰有所通過的概率為，當(dāng)為何值時，取得最大值；（2）若，該同學(xué)參加每所高?？荚囁璧馁M用均為元，該同學(xué)決定按，，，…，順序參加考試，一旦通過某所高校的考試，就不再參加其它高校的考試，否則，繼續(xù)參加其它高校的考試，求該同學(xué)參加考試所需費用的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）因為該冋學(xué)通過各?？荚嚨母怕示鶠?，所以該同學(xué)恰好通過所高校自主招生考試的概率為當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減；所以當(dāng)時，取得最大值.（2）設(shè)該同學(xué)共參加了次考試的概率為.∵，∴所以該同學(xué)參加考試所需費用的分布列如下：所以，令，①則，②由①-②得，所以，所以（元）.例9．某中學(xué)的甲、乙、丙三名同學(xué)參加高校自主招生考試，每位同學(xué)彼此獨立的從四所高校中選2所.（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率；（Ⅱ）若已知甲同學(xué)特別喜歡高校，他必選校，另在三校中再隨機選1所；而同學(xué)乙和丙對四所高校沒有偏愛，因此他們每人在四所高校中隨機選2所.（ⅰ）求甲同學(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率；（ⅱ）記為甲、乙、丙三名同學(xué)中選校的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】（Ⅰ）甲從四所高校中選2所，共有AB,AC,AD,BC,BD,CD六種方法，甲同學(xué)都選高校，共有AD,BD,CD三種方法，甲同學(xué)選高校的概率為，因此乙、丙同學(xué)選高校的概率皆為，因為每位同學(xué)彼此獨立，所以甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率為（Ⅱ）（?。┘淄瑢W(xué)必選校且選高校的概率為，乙未選高校的概率為，丙未選高校的概率為，因為每位同學(xué)彼此獨立，所以甲同學(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率，（ⅱ）因此，，，，即分布列為0123P因此數(shù)學(xué)期望為例10．某中學(xué)的甲、乙、丙三名同學(xué)參加高校自主招生考試，每位同學(xué)彼此獨立的從五所高校中任選2所．（1）求甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率；（2）若已知甲同學(xué)特別喜歡高校，他必選校，另在四校中再隨機選1所；而同學(xué)乙和丙對五所高校沒有偏愛，因此他們每人在五所高校中隨機選2所．（i）求甲同學(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率；（ii）記為甲、乙、丙三名同學(xué)中選高校的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）甲從五所高校中任選2所，共有共10種情況，甲、乙、丙同學(xué)都選高校，共有四種情況，甲同學(xué)選高校的概率為，因此乙、丙兩同學(xué)選高校的概率為,因為每位同學(xué)彼此獨立，所以甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率為．（2）（i）甲同學(xué)必選校且選高校的概率為，乙未選高校的概率為，丙未選高校的概率為，因為每位同學(xué)彼此獨立，所以甲同學(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率為．（ii），因此，．即的分布列為0123因此數(shù)學(xué)期望為．例11．現(xiàn)有甲、乙、丙三名學(xué)生參加某大學(xué)的自主招生考試，考試分兩輪，第一輪筆試，第二輪面試，只有第一輪筆試通過才有資格進(jìn)入第二輪面試，面試通過就可以在高考錄取中獲得該校的優(yōu)惠加分，兩輪考試相互獨立.根據(jù)以往多次的模擬測試，甲、乙、丙三名學(xué)生能通過筆試的概率分別為0.4，0.8，0.5，能通過面試的概率分別為0.8，0.4，0.64.根據(jù)這些數(shù)據(jù)我們可以預(yù)測：（1）甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有兩名學(xué)生通過第一輪筆試的概率；（2）甲、乙、丙三名學(xué)生能獲得該校優(yōu)惠加分的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）記事件：甲通過第一輪筆試，事件：乙通過第一輪筆試，事件：丙通過第一輪筆試，事件：至少有兩名學(xué)生通過第一輪筆試，則，，.，，，所以至少有兩名學(xué)生通過第一輪筆試的概率為。（2）因為甲、乙、丙三名學(xué)生中每個人獲得優(yōu)惠加分的概率均為，所以，故。例12．中國大學(xué)先修課程,是在高中開設(shè)的具有大學(xué)水平的課程,旨在讓學(xué)有余力的高中生早接受大學(xué)思維方式、學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練,為大學(xué)學(xué)習(xí)乃至未來的職業(yè)生涯做好準(zhǔn)備，某高中每年招收學(xué)生1000人,開設(shè)大學(xué)先修課程已有兩年,共有300人參與學(xué)習(xí)先修課程，兩年全校共有優(yōu)等生200人,學(xué)習(xí)先修課程的優(yōu)等生有50人，這兩年學(xué)習(xí)先修課程的學(xué)生都參加了考試,并且都參加了某高校的自主招生考試，結(jié)果如下表所示:(1)填寫列聯(lián)表,并畫出列聯(lián)表的等高條形圖,并通過圖形判斷學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生是否有關(guān)系，根據(jù)列聯(lián)表的獨立性體驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系?（2）已知今年有150名學(xué)生報名學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程,以前兩年參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)成績的頻率作為今年參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)成績的概率.①在今年參與大學(xué)先修課程的學(xué)生中任取一