2018年理科數(shù)學高考題及答案

全國I卷(理數(shù))

1-i

1.(2018?全國I卷，理1)設zJ^+Zi,則|z|等于(C)

(A)0(B)2(C)l(D)線

一(W-a

解析:因為z=1+i+2i=(14i)C1-i)+2i=2+2i=i,

所以憶|=1.故選C.

2.(2018?全國I卷，理2)已知集合慶=僅川/2>0卜則［RA等于(B)

(A){x|-l<x<2}(B){x|-l<x<2}

(C){x|x<-l}u{x|x>2}(D){x|x<-l}u{x|x>2}

解析:因為A={x|x2-x-2>0},

所以：RA={x|x2-x-2$0}={x|-l￡x$2},故選B.

3.(2018?全國I卷，理3)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設,農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入

變化情況,統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構成比例，得到如下餅圖:

建設前經(jīng)濟收入構成比例建設后經(jīng)濟收入構成比例

則下面結(jié)論中不正確的是(A)

(A)新農(nóng)村建設后，種植收入減少

(B)新農(nóng)村建設后，其他收入增加了一倍以上

(C)新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

(D)新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半

解析:因為0.6<0.37x2,

所以新農(nóng)村建設后,種植收入增加，而不是減少，所以A是錯誤的，故選A.

4.(2018?全國I卷，理4)設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若3s3=S2+S%ai=2,則as等于(B)

(A)-12(B)-10(C)10(D)12

解析:設等差數(shù)列{加}的公差為d,由3s3=S2+S4,得

3I3ai+2xd=2ai+2x(j+4ai+2xd,

將ai=2代入上式，解得d=-3,

故a5=ai+(5-l)d=2+4x(-3)=-10.故選B.

5.(2018?全國I卷，理5)設函數(shù)f(x)=x3+(a-l)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為(D)

(A)y=-2x(B)y=-x

(C)y=2x(D)y=x

解析:因為函數(shù)f(x)=x3+(a-l)x2+ax為奇函數(shù)，

所以f(-l)+f(l)=0,所以-l+a-La+(l+a-l+a)=0,解得a=L所以f(x)=x3+x,所以f(x)=3x2+l,

所以f(0)=1,所以曲線y:f(x)在點(0,0)處的切線方程為y=x.故選D.

EB

6.(2018?全國I卷，理6)在6ABe中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點，則等于(A)

-AB-AC-AB-AC

(A)44(B)&4

-AB-AC-AS-AC

(C)，+4(D)。+4

EBEDDB|CB

解析：=+=2+2

11-*-1-*-?

=yABAC^ABAC

=X(+)+(-)

故選A.

7.(2018?全國I卷，理7)某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的

點N在左視圖上的對應點為B,則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為(B)

(A)2g(B)2)/3(C)3(D)2

解析:先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題圖的三視圖可知點M.N的位置如圖①所示.

圓柱的側(cè)面展開圖及M.N的位置(N為OP的四等分點)如圖②所示，連接MN,則圖中MN即為M到N的最短路徑.

ON=4X16=4,OM=2,

所以|MN|二也M2歷+#=2臼.故選B.

2--*

FMFN

8.(2018?全國I卷，理8)設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點(-2,0)且斜率為［的直線與C交于M,N兩點，則■等于(D

(A)5(B)6(C)7(D)8

解析油題意知直線MN的方程為y=a(x+2),

聯(lián)立直線與拋物線的方程，得

|y=：(x+2),

?寸=4工解得憶2或憶4：

不妨設“為。,2)^為(4,4).

又因為拋物線焦點為F(l,0),

FMFN

所以=(0,2),=(3,4).

FMFN

所以=0x3+2><4=8.

故選D.

(e\x<0.

9.(2018?全國I卷，理9)已知函數(shù)f(x)='lnxx>%(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是(C)

(A)[-l,0)(B)[0,+oo)

(C)[?l,+8)(D)[L+S)

解析：

令h(x)=-x-a,

則g(x)=f(x)-h(x).

在同一坐標系中畫出y=f(x),

y=h(x)圖象的示意圖，如圖所示.

若g(x)存在2個零點，則y=f(x)的圖象與y=h(x)的圖象有2個交點，平移y=h(x)的圖象，可知當直線y=-x-a過點(0,1)時，有2個交點,

此時l=-0-a,a=-l.當y=-x-a在y=-x+l上方，即a<-l時，僅有1個交點，不符合題意.當y=-x-a在y=-x+l下方，即a>-l時，有2個交

點，符合題意.綜上,a的取值范圍為［-1,+g).故選C.

10.(2018逢國I卷，理10)

如圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,

直角邊AB,AC.AABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為II,其余部分記為川.在整個圖形中隨機取一點，此點取自1,11,111的概率

分別記為PI，P2，P3,M(A)

(A)PI=P2(B)PI=P3

(C)P2=P3(D)P1=P2+P3

1

解析:因為S，ABC=2ABAC,

以AB為直徑的半圓的面積為

1AE■

以AC為直徑的半圓的面積為

1AC■

以BC為直徑的半圓的面積為

1BC■

2TT-'223BC2,

1■1

所以SFVB-AC.SIII^BC^ABAC,

■■4■1

■■■w

Sn=AB2+AC2-BC2-ABAC

=2ABAC.

所以SI=SII.

STSH

SS

由幾何概型概率公式得Pl=M,P2=B

所以P1=P2.故選A.

色

11.(2018?全國I卷，理11)已知雙曲線C:3-y2=l,O為坐標原點,F為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M.N.

若aOMN為直角三角形，則|MN|等于(B)

3

(A)2(B)3(C)2^(D)4

解析：

由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y=±^x.

設兩條漸近線夾角為2a,

1邑

貝ij有tan,所以a=30°.

所以NMON=2G=60°.

又/QMN為直角三角形，由于雙曲線具有對稱性,不妨設MN_LON,如圖所示.

在Rt△ONF中,|OF|=2,貝”O(jiān)N|=B.

則在RSOMN中JMN|=|ONktan2a=6?tan600=3.故選B.

12.(2018?全國I卷，理12)已知正方體的棱長為L每條棱所在直線與平面。所成的角相等則。截此正方體所得截面面積的最大值為

(A)

2^33歷更

(A)4(B)3(C)4(D產(chǎn)

解析:

如圖所示，在正方體ABCD-AiBiCiDi中，平面ABiDi與棱AiAAiBiAQi所成的角都相等,又正方體的其余棱都分別與

AiA,AiBi,AiDi平行，故正方體ABCD-AiBiCiDi的每條棱所在直線與平面ABiDi所成的角都相等.

如圖所示，取棱AB,BBI,BICI,CIDI,DDI,AD的中點E,F,G,H,M,N,則正六邊形EFGHMN所在平面與平面ABiDi平行且面積最大,

2224

此截面面積為S正六邊形EFGHMN=6XxXsin60°=.故選A.

fx-2y-2<0.

|r-y+l>0.

13.(2018?全國I卷，理13)若x,y滿足約束條件1y-0r則z=3x+2y的最大值為.

解析:作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分所示.

由z=3x+2y得y=-2x+2.

3

作直線lo：y=-2x.

3*

平移直線Io,當直線y=-Nx+”過點(2,0)時,Z取最大值,Zmax=3x2+2x0=6.

答案:6

14.(2018?全國I卷，理14)記Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和.若Sn=2an+1,則S6=.

解析:因為Sn=2an+1,當n>2時,Sn-i=2an-i+l,

所以an=Sn-Sn-l=2an-2an-l,

即3n=2an-l.

當n=l時,ai=Sj=2ai+l,得ai=-l.

所以數(shù)列｛an｝是首項ai為-1,公比q為2的等比數(shù)列，

qaS-1x(10

所以Sn=H=g=1-2",

6

所以S6=l-2=-63.

答案:-63

15.(2018?全國I卷，理15)從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有種.(用

數(shù)字填寫答案)

解析:法一按參加的女生人數(shù)可分兩類:只有1位女生參加有C,有2位女生參加有用珠，故共有

GW+U^=2X6+4=16(種).

法二從2位女生,4位男生中選3人洪有C種情況，沒有女生參加的情況有簿種,故共有C-C=204=16(種).

答案:16

16.(2018?全國I卷，理16)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2xMJf(x)的最小值是.

解析f(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-l)=2(2cos2x+cosx-l)=2(2cosx-l)(cosx+1).

因為cosx+l>0,

1"Su

所以當cosx<“時，即xeg2kiT,3+2kn，,keZ,

f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

1Sii、

當cosx>2B4,+2kTr,3+2kTi-,keZ,

f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

巴1

所以當x=3+2kn,kGZ,sinx=-2,cosx=”,f(x)有最小值.

又f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(l+cosx),

所以f(X)min=2x-2,x1+*,=-2.

答案：-2

億(2018?全國I卷，理17)在平面四邊形ABCD中,/ADC=90°/A=45°,AB=2,BD=5.

⑴求coszADB;

(2)若DC=2力，求BC.

JBDAB

解:(1)在"BD中油正弦定理得

52

即M二匕而

叱

所以sinzADB=5.

由題設知,NADB<90。，

rn疸

所以COS/ADBH年=5.

立

(2)由題設及(1)知,cos/BDC=sin/ADB=5.

在八BCD中,由余弦定理得

BC2=BD2+DC2-2BDDCcoszBDC

亞

=25+8.2x5x2線x$

=25.

所以BC=5.

18.(2018?全國I卷，理18)

如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD.BC的中點，以DF為折痕把^DFC折起，使點C到達點P的位置，且PF1BF.

Q)證明:平面PEE1平面ABFD;

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

(1)證明:由已知可得,BF，PF,BF正F,

又PFnEF=E,所以BF_L平面PEF.

又BFu平面ABFD,所以平面PEF_L平面ABFD.

(2)解：

如圖，作PFUEF,垂足為H.

由Q)得,PH_L平面ABFD.

mBF

以H為坐標原點，的方向為y軸正方向|為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系H-xyz.

由(1)可得,DE_LPE.

又DP=2,DE=1,所以PE二有

又PF=1,EF=2,故PE1PF.

可得PH=2,EH=N

蟲、3H

則H(O,O,O),P0,0,2，,D-l,Ao，,

"=冷1.2加=I0,0,?2.

HP

又為平面ABFD的法向量.

設DP與平面ABFD所成角為&

用咒I@

則sin。=眄??1|3二4.

亙

所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為4.

苗

19.(2018?全國I卷，理19)設橢圓C:2+y2=l的右焦點為F,過F的直線I與C交于A,B兩點，點M的坐標為(2,0).

(1)當I與x軸垂直時,求直線AM的方程；

(2)設O為坐標原點，證明：/OMA=NOMB.

(1)解:由已知得F(l,0),l的方程為x=l.

叱叱、

由已知可得，點A的坐標為11,2或，.

叱叱

又M(2,0),所以AM的方程為y=-2x+線或y=*x-線

(2)證明:當I與x軸重合時/OMA=NOMB=0°.

當I與x軸垂直時,OM為AB的垂直平分線，

所以NOMALOMB.

當I與x軸不重合也不垂直時，設I的方程為y=k(x-l)(k*0),A(xityi),B(x21y2),

則-逐＜xi＜短，-線％＜線，直線MA.MB的斜率之和為

n.

sj-2*2~2

kMA+kMB=+

由yi=kxi-k,y2=kx2-k得

kMA+kMB二一西荻萬一.

將y=k(x-l)代入N+y2=l得

(2k2+l)x2-4k2x+2k2-2=0.

所以X1+X2=M^,XIX2=4^.

貝ij2kxiX2-3k(xi+X2)+4k=灰？5=0.

從而kMA+kMB=0,

故MA,MB的傾斜角互補，

所以NOMA=NOMB.

綜上,NOMA=NOMB.

20.(2018?全國I卷，理20)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格

品，則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗,設每件產(chǎn)品為

不合格品的概率都為p(0<p<l),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點po；

(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以Q)中確定的po作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合

格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用；

①若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求EX;

②以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？

解:(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為

f(p)=C2op2(l-p)18.

因此f(p)=^4fl(2p(l-p)18-18p2(l-p)17]

=2^op(l-p)17(l-10p).

令f*(p)=0,得p=0.1.

當pw(0,0.1)時,f(p)>0;當pw(O.Ll)時,f(P)〈O.

所以f(p)的最大值點為po=O.l.

(2)由(1)知,p=0.1.

①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y-B(180,0.1),X=20x2+25Y,gpX=40+25Y.

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

②若對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元.

由于EX>400,故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗.

21.(2018?全國I卷，理21)已知函數(shù)f(x)=M-x+alnx.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)存在兩個極值點xi,X2,證明：a矢<a-2.

(1)解:f(x)的定義域為(0,+動，

1?X2-?+1

f(x)=--1+=-

①若a$2,則f(x)$O,當且僅當a=2,x=l時f(x)=O,所以f(x)在(0,+向上單調(diào)遞減.

②若a>2,令f(x)=O得，

X=工或X=2

當xe*0,2，U1~~,+<?，時,f(x)〈0；

aH-Ja^-4

當xe2,2時,f(x)>0.

所以f(x)在b,2、12,+oo上單調(diào)遞減，在2"一「，上單調(diào)遞增.

(2)證明:由Q)知,f(x)存在兩個極值點當且僅當a>2.

由于f(x)的兩個極值點xi,X2滿足x2-ax+l=0,

所以X1X2=1,不妨設Xi〈X2,則X2>1.

仲1)4宅)1弋車?二

由于"至一二病-1+a項々=-2+a秋制=-2+a^2,

用1)牛2)1

所以“上至<a-2等價于^-X2+2lnx2Vo.

1

設函數(shù)g(x)=*-x+2lnx,

由Q)知,g(x)在(0,+動上單調(diào)遞減，

又g(l)=0,從而當x《l,+g)時,g(x)〈0.

1

所以2x2+2lnX2<0,

華1)4尿)

即<a-2.

22.(2018?全國I卷理22)［選修44坐標系與參數(shù)方程］在直角坐標系xOy中，曲線Ci的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為極點,x軸正

半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為p2+2pcos9-3=0.

(1)求C2的直角坐標方程；

(2)若Ci與C2有且僅有三個公共點，求Ci的方程.

解:(1)由x=pcos6,y=psin6得C2的直角坐標方程為(x+l)2+y2=4.

(2)由Q)知C2是圓心為A(-1,O)泮徑為2的圓.

由題設知,Ci是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為li,y軸左邊的射線為b.由于點B在圓C2的外面，故

C1與C2有且僅有三個公共點等價于11與C2只有一個公共點且12與C2有兩個公共點，或12與C2只有一個公共點且11與C2有兩

個公共點.

當h與Cz只有一個公共點時,A到11所在直線的距離為2,所以炳1=2,故k=5或k=0.

經(jīng)檢驗，當k=0時,h與C2沒有公共點;當k=3時h與C2只有一個公共點,b與Cz有兩個公共點.

一+44

3

當I2與C2只有一個公共點時,A到12所在直線的距離為2,所以跖工2,故k=0或k=.

4

經(jīng)檢驗，當k=0時,11與C2沒有公共點;當kJ時12與C2沒有公共點.

綜上，所求C1的方程為y=-a|x|+2.

23.(2018?全國I卷，理23)［選修45不等式選講］

已知f(x)=|x+l|-|ax-l|.

⑴當a=l時，求不等式f(x)>l的解集；

(2)若xe(0,l)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍.

解:⑴當a=l時,f(x)=|x+lHx-l|,

f-2x<-1.

<r<1.

IZr>1.

即f(x)=

故不等式f(x)>l的解集為xlx>”.

(2)當x[0,l)時|x+lHax-l卜x成立等價于當xe(0,l)時|ax-l|<l成立.

若asO,則當xw(0,l)時

若a>0,|ax-l|<l的解集為'xIO<x<",

2

所以?1,故0<a<2.

綜上啟的取值范圍為（0,2].

2018年普通高等學校招生全國11（理數(shù)）統(tǒng)一考試

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分洪60分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.（2018?全國II卷，理I）。*等于（D）

4343

(A)-5-5!(B)-5+5i

3434

(C)-5-5i(D)-5+5i

2

1+2Q+砌34

解析:,=(!狗@+現(xiàn)*===_M+彳故選D.

2.(2018?全國II卷，理2)已知集合A;{,})廿+丫2￡3.乙丫紅},則人中元素的個數(shù)為(A)

(A)9(B)8(C)5(D)4

解析:將滿足x2+y2<3的整數(shù)x,y全部列舉出來，即(?1,?1),(?1,0),(；,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,?1),(1,0),(11),共有9個.故選A.

解析:因為y=ex-e〃是奇函數(shù),y=x2是偶函數(shù),

所以f（x）=k是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，排除A選項.

11

當x=l時,f(l)=1=e-°>0,排除D選項.

又e>2,所以

所以e-'l,排除C選項.

故選B.

4.(2018?全國II卷，理4)已知向量a,b滿足|a|=l,a-b=-L則a-(2a-b)等于(B)

(A)4(B)3(C)2(D)0

解析:a(2a?b)=2a2-ab=2|a|2?ab.

因為|a|=l,ab=-l,

所以原式=2x12+1=3.

故選B.

5.（2018?全國H卷,理5）雙曲線？尸二l（a>0,b>0）的離心率為方，則其漸近線方程為（A

（A）y二士線x（B）y=±^x

近亙

（C）y=±2x（D）y=±2x

解析:由e="=Ji+y=也得35

￡

所以該雙曲線的漸近線方程為y=±°x;士力x,故選A.

C在

6.（2018?全國II卷，理6）在SBC中,COS和SBCEACUS,則AB等于（A）

（A）4力（B）同（C）屈（D）2V5

￡”

解析:因為cos2=5,

￡^53

所以COSC=2cos22-1=2X52_1=_5

在4ABC中，由余弦定理，得

AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC

=52+l2-2x5xlx?

=32,

所以AB=T2=4線.故選A.

7.（2018?全國II卷，理7）為計算S=l-2+m一。+...+?5一《?設計了如圖的程序框圖，則在空白框中應填入（B）

(華)

(A)i=i+1(B)i=i+2

(C)i=i+3(D)i=i+4

解析:把各循環(huán)變量在各次循環(huán)中的值用表格表示如下.

循環(huán)

①②③

次數(shù)酚

0++0+++

N

0+0++

++...+

0++0+++

T

0+0++

++...+

1-+1-+-1-+-

S

1-

+-+...+-

因為N=N+‘由上表知i是1-3—5，…,所以i=i+2.

故選B.

8.（2018?全國II卷，理8）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可

以表示為兩個素數(shù)的和"，如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（C）

_1_1_1_1

（A嚴*（C嚴（D嚴

解析:不超過30的所有素數(shù)為2,3,5,7,11,13,17,19,23,29洪10個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有^昨45種情況，而和為30的有

7+23,11+19,13+17這3種情況，

所以所求概率為";15故選C.

9.（2018?全國II卷，理9）在長方體ABCD-AiBiCiDi中,AB=BC=1,AAI=B,則異面直線ADi與DBi所成角的余弦值為（C）

(A)5(B)6(C)5(D)2

解析:法一

如圖，連接BDi,交DBi于。，取AB的中點M,連接DMQM,易知O為BDi的中點,

所以ADilQM,則/MOD或其補角為異面直線ADi與DBi所成角.

片曲+叫

因為在長方體ABCD-AiBiCiDi中,AB=BC=l,AAi=g,ADi=、=2,

DM=W+(眄堡

御+W+D4

DBi=

11四

所以0M="ADI=1,0D=NDBI=2,

于是在ADMO中，由余弦定理，得

124^)24^)2

2X1博

coszMOD==',

四

即異面直線ADi與DBi所成角的余弦值為5，故選C.

法二

如圖,分別以DA,DC,DDi所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系.

由題意，得AQ,0Q),D(0,0,0),

DKO.O.^,Bifl.l.V5),

所以4^=(-1,0,逐)

所以401MliRl+Oxl+向2=2,

產(chǎn)曰嚴格

.二81msi2Vs

所以cos<F,1>=MBiH0Bd=2V5=5.故選C.

10.(2018?全國H卷,理10)若f(x)=cosx-sinx在［-a,a］是減函數(shù)，則a的最大值是(A

■"3w

(A)4(B)2(C)4(D)TT

解析:f(x)=cosx-sinx

日正，

二-線'sinx-2cosx-

■'

=-&sinx-4?,

.■a?■(■■-二、■,

當XGL*,V.，即x-Z.時,y=sinx-*單調(diào)遞增,y=-線sinx-*單調(diào)遞減.

因為函數(shù)f(x)在[a,a]是減函數(shù)，

所以0<a54

所以a的最大值為“故選A.

11.(2018?全國II卷，理11)已知f(x)是定義域為(*,+g的奇函數(shù)，滿足f(l-x)=f(l+x).若")=2,則f⑴+f(2)+f⑶+...+f(50)等于(C

(A)-50(B)0(C)2(D)50

解析:因為f(x)是奇函數(shù)，且f(l-x)=f(l+x),

則f(x)=f(2-x)=-f(x-2)

=-[-f(x-4)]

=f(x-4),

所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).

由f(x)為奇函數(shù)得f(0)=0.

又因為f(l-x)=f(l+x),

所以f(x)的圖象關于直線x=l對稱，

所以f(2)=f(0)=0,

所以f(-2)=0.

又f(l)=2,所以f(-l)=-2,

所以fQ)+f(2)+f(3)+f(4)=f(l)+f(2)+f(-l)+f(0)=2+0-2+0=0,

所以f(l)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50)

=0xl2+f(49)+f(50)

斗(l)+f(2)

=2+0

=2.

故選C.

〃經(jīng)

12.(2018?全國II卷，理12)已知FI,F2是橢圓C:?+iZ=l(a>b>0)e5￡,右焦點,A是C的左頂點，點P在過A且斜率為6的直線上,

△PFF2為等腰三角形/FF2P=120°,則C的離心率為(D)

2111

(A)3(B)2(C)3(D)4

解析：

由題意可得橢圓的焦點在x軸上，如圖所示，

iS|FiF2|=2c,

因為APF1F2為等腰三角形，且/F1F2P=120°,

所以|PF2|=|FIF2|=2C,

因為|OF2|=C,

所以點P坐標為(c+2ccos60°,2csin600),

即點P(2c,氣)，

逅

因為點P在過點A,且斜率為6的直線上，

岳逅

所以

解得叱4

所以e=1故選D.

二、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.(2018?全國II卷，理13)曲線y=2ln(x+l)在點(0,0)處的切線方程為.

2

_x+i

解析:因為y=2ln(x+l),所以9：

令x=0,得y'=2,

由切線的幾何意義得切線斜率為2,

又切點（0,0）,

所以切線方程為y=2x.

答案:y=2x

fr+2y-5>0.

|x-2y+3>0.

14.(2018?全國II卷，理14)若x,y滿足約束條件,X-S-則z=x+y的最大值為

解析:

由不等式組畫出可行域，如圖（陰影部分）.

x+y取得最大值o斜率為-1的直線x+y=z（z看作常數(shù)）在y軸上的截距最大,

由圖可得直線x+y=z過點C時z取得最大值.

fr=5r

由卜力+3=0得點C(54)

所以Zmax=5+4=9.

答案：9

15.(2018?全國II卷，理15)已知sina+cosp=l,cosa+sinB=0,則sin(a+p)=.

解析:因為sina+cosB=l,①

cosa+sinB=0,②

所以①2+②2得l+2(sinacosp+cosasinp)+l=l,

所以sinacosp+cosasinp=-2,

1

所以sin(a+p)=-2.

1

答案,

16.（2018?全國II卷，理16）已知圓錐的頂點為S,母線SA.SB所成角的余弦值為?,SA與圓錐底面所成角為45°,若&SAB的面積為

5a弓,則該圓錐的側(cè)面積為.

解析：

如圖，因為SA與底面成45°角，

所以^SAO為等腰直角三角形.

設OA=i?，則SO=r,SA=SB=^r.

7

在&SAB中,cos/ASB/，

包

所以sin/ASB二■,

所以S.SAB=SASBsinzASB

1加

:5用，

解得廠2回，

所以SA=6r=4書,

即母線長1:4召，

所以SE?fli=nrl=rrx2Vl0x4V5=40^n.

答案:40&n

三、解答題洪70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23為

選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題洪60分

17.(2018?全國II卷，理17)記Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項和，已知ai=-7,S3=-15.

(1)求｛an｝的通項公式；

(2)求Sn,并求Sn的最小值.

解:(1)設｛an｝的公差為d,

由題意得3ai+3d=-15.

由ai=-7得d=2.

所以｛an｝的通項公式為an=ai+(n-l)d=2n-9.

(2)由(1)得Sn=2-n=n2-8n=(n-4)2-16.

所以當n=4時,Sn取得最小值，最小值為-16.

18.(2018?全國II卷，理18)如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y(單位:億元)的折線圖.

為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額,建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時

間變量t的值依次為1,2，…,17)建立模型①:V=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…,7)建

A

立模型②：Z=99+17.5t.

(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；

(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.

解:(1)利用模型①，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為幾=-30.4+13.5'19=226.1(億元).

利用模型②，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為'=99+17.5x9=256.5(億元).

(2)利用模型②得到的預測值更可靠.

理由如下:

①從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y=-30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2016

年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯

增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增

長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型Z=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化

趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠.

②從計算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模

型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠.

19.(2018?全國II卷，理19)設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線I與C交于A,B兩點,|AB|=8.

(1)求I的方程；

(2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.

解:(1)由題意得F(l,0),l的方程為y=k(x-l)(k>0).

設A(xi,yi),B(X2,y2),

p=*(*-1).

由(/=4x

得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

△=16k2+16>0,?[xi+X2=:

所以|AB|=|AF|+|BF|=（X1+1）+（X2+1）=~.

由題設知

解得k=-l(舍去)或k=l.

因此I的方程為y=x-l.

(2)由Q)得AB的中點坐標為(3,2),

所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),

即y=-x+5.

設所求圓的圓心坐標為(xo,yo),則

yo=-ro+S,

&+1尸=+16.

2

仔o=3.仔°=1L

解得尻=2或尻=6

因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x?ll)2+(y+6)2=144.

20.

(2018?全國II卷，理20)如圖，在三棱錐P-ABC,AB=BC=2^,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點.

(1)證明:PO_L平面ABC;

(2)若點M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.

⑴證明:因為PA=PC=AC=4,0為AC的中點，

所以OP1AC,且OP=2百.

如圖，連接OB.

立

因為AB=BC=2AC,

所以AABC為等腰直角三角形，

1

且OB±AC,OB=NAC=2.

由OP2+OB2=PB2知PO±OB.

由OP_LOB,OP±ACQBnAC=O,

得PO_L平面ABC.

OB

(2)解:如圖，以0為坐標原點，的方向為x軸正方向,建立空間直角坐標系O-xyz.

由已知得0(0,0,0),B(2,0,0),A(0,20),C(020),P(OQ2b),=(0.2,2^).

OB

取平面PAC的一個法向量=(2,0,0).

AM

設M(a,2-a,0)(0*〈2),則=(a,4-a,0).

設平面PAM的法向量為n=(x,y,z).

APAM

由xO,n=0得

(2y+2-V5Z=0,

(ar+=0,

可取y二逐a,得平面PAM的一個法向量為n=(^(a-4)t^a,-a),

一響T

所以85<°〈>=由"汽….

由已知可得|cos<,n>|=cos30°=2,

所以于口

解得a=?4(舍去)或a=3

所以n=3,3.3..

又P'=(0,2,-2V3),

元?

所以cos<,n>=,

立

所以PC與平面PAM所成角的正弦值為4

21.(2018全國11卷,理21)已知函數(shù)心尸呼七乂2.

⑴若a=l,證明:當XNO時,f(x)Nl;

(2)若f(x)在(0,+動只有一個零點，求a.

(1)證明:當a=l時,f(x)Nl等價于(x2+l)e"-10O.

設函數(shù)g(x)=(x2+l)ex-l,

則g'(x)=-(x2-2x+l)ex=-(x-l)2e-x.

當x*l時g(x)〈O,

所以g(x)在(0,+向上單調(diào)遞減.

而g(0)=0,故當x>0時,g(x)MO,

即f(x)>l.

(2)解:設函數(shù)h(x)=l-ax2ex.

f(x)在(0,+8)上只有一個零點等價于h(x)在(0,+8)上只有一個零點.

(i)當a<0時,h(x)>0,h(x)沒有零點;

(ii)當a>004,h,(x)=ax(x-2)e-x.

當xe(0,2)時,h'(x)<0;

當xw(2,+s)時,h'(x)>0.

所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+動上單調(diào)遞增.

4a

故h(2)=l?？是h(x)在(0,+s)上的最小值.

①若h(2)>0,即a<4,h(x)在(0,+動上沒有零點.

苗

②若h(2)=0,即a=%h(x)在(0,+動上只有一個零點.

③若h(2)<0,即a>4,

因為h(0)=l,

所以h(x)在(0,2)上有一個零點;

由(1)知,當x>0時e>x2,

1“1上X它1

所以h(4a)=l-薩=1-西2>1-耐=1-">0,

故h(x)在(2,4a)上有一個零點.

因此h(x)在(0,+句上有兩個零點.

綜上，當f(x)在(0,+s)上只有一個零點時,a='

(二)選考題洪10分.請考生在第22,23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計分.

0=2cosft

22.(2018?全國II卷，理22)［選修4-4:坐標系與參數(shù)方程］在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為17=4疝而(0為參數(shù))，直線?

fr=1+tcosa

的參數(shù)方程為17=2+tsina。為參數(shù))

(1)求C和I的直角坐標方程；

(2)若曲線C截直線I所得線段的中點坐標為Q,2),求I的斜率.

解乂1)曲線C的直角坐標方程為4+M=l

當cosa*0時,1的直角坐標方程為y=tanax+2-tana,

當cosa=0時,1的直角坐標方程為x=l.

(2)將I的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程(l+3cos2a)t2+4(2cosa+sina)t-8=0.(D

因為曲線C截直線I所得線段的中點(1,2)在C內(nèi)，

所以①有兩個解，

設為燈上,則ti+t2=0.

4(2c0sr4-^BS)

1+3BOS-

又由①得tl+t2=-,

故2cosa+sina=0,

于是直線I的斜率k=tana=-2.

23.(2018逢國II卷，理23)［選修牛5:不等式選講］設函數(shù)f(x)=5-|x+a|-|x-2|.

⑴當a=l時，求不等式f(x)>0的解集；

(2)若f(x)vl,求a的取值范圍.

+4,4-L

-1<r<2r

t+6jc>2.

解:⑴當a=l時,f（x）S

可得f(x)aO的解集為{x卜2gxs3}.

(2)f(x)<l等價于|x+a|+|x-2|24.

而|x+a|+|x-2|訓a+2|,且當x=2時等號成立.

故f(x)<l等價于|a+2|M.

由|a+2|“可得a<-6或a>2.

所以a的取值范圍是(-R,-6]U[2,+S).

2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

全III理科數(shù)學

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分洪60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.(2018?全國川卷，理1)已知集合人二僅卜-120}5二{0,1,2},則慶旭等于(C)

(A){0}(B){1}(C){1,2}(D){0,l,2}

解析:因為A={X|X-1N0}={X|XN1},所以AnB={l,2}.故選C.

2.(2018?全國川卷，理2)(l+i)(2?i)等于(D)

(A)-3-i(B)-3+i(C)3-i(D)3+i

解析:(l+i)(2-i)=2+2i-i-i2=3+i.故選D.

3.(2018?全國川卷，理3)

中國古建筑借助榨卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫棒頭，凹進部分叫卯眼,圖中木構件右邊的小長方體是棒頭.若如圖擺放

的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是(A)

解析:

由題意可知帶卯眼的木構件的直觀圖如圖所示,由直觀圖可知其俯視圖應選A.

4.（2018?全國III卷，理4）若sina='則cos2a等于（B）

(A)5(B)5(C)-a(D)-a

1？

解析:因為sina=3所以cos2a=l-2sin2a=l-2x2n故選B.

2

5.(2018?全國III卷,理5)5的展開式中x4的系數(shù)為(C)

(A)10(B)20(C)40(D)80

2、?

解析：J+*.5的展開式的通項公式為T“I=Q-(X2)5，』，式[2v1。電令10-3r=4,得r=2.故展開式中X，的系數(shù)為啜22=40.故選C.

6.(2018?全國川卷，理6)直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于A,B兩點，點P在圓(x-2)2+y?=2上，則-ABP面積的取值范圍是

(A)

(A)[2,6](B)[4,8]

(C)第3蜴(D)[2銀,3蜴

解析:設圓(x-2)2+y2