2022年6月成都市樹(shù)德中學(xué)高三數(shù)學(xué)（理）高考適應(yīng)性考試卷附答案解析

年6月成都市樹(shù)德中學(xué)高三數(shù)學(xué)（理）高考適應(yīng)性考試卷一、單選題1．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（－2，4），則（

）A．3 B．4 C． D．2．已知集合，則（

）A． B． C． D．3．已知命題﹔命題﹐，則下列命題中為真命題的是（

）A． B． C． D．4．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．按照“碳達(dá)峰”?“碳中和”的實(shí)現(xiàn)路徑，2030年為碳達(dá)峰時(shí)期，2060年實(shí)現(xiàn)碳中和，到2060年，純電動(dòng)汽車在整體汽車中的滲透率有望超過(guò)70%，新型動(dòng)力電池迎來(lái)了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口.Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：），放電時(shí)間t（單位：）與放電電流I（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：，其中n為Peukert常數(shù)，為了測(cè)算某蓄電池的Peukert常數(shù)n，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間；當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間.則該蓄電池的Peukert常數(shù)n大約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．26．若，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．7．函數(shù)在區(qū)間上的大致圖像為（

）A．B．C．D．8．設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，且，設(shè)，則（

）A． B． C．2 D．39．若，，，則的最小值等于（

）A．2 B． C．3 D．10．把座位編號(hào)為1，2，3，4，5，6的6張電影票分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少分一張，至多分兩張，且分得的兩張票必須是連號(hào)，那么不同分法種數(shù)為A．240 B．144 C．196 D．28811．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為①：如圖，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)．我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為，，為其左右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．12．已知函數(shù)的零點(diǎn)為a，函數(shù)的零點(diǎn)為b，則下列不等式中成立的是（

）A．B．C．D．二、填空題13．某班有42位同學(xué)，學(xué)號(hào)依次為01、02、…、42，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取了一個(gè)容量為6的樣本，且隨機(jī)抽得的第一個(gè)學(xué)號(hào)為03，則抽得的最大的學(xué)號(hào)是____________14．若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________．15．在直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)A，角的終邊交單位圓于點(diǎn)B且，．記，，若且，那么______．16．在三棱錐中，，PC=2，AB=1，BC=3，，過(guò)BC中點(diǎn)D作四面體外接球的截面，則過(guò)點(diǎn)D的最大截面與最小截面的面積和為_(kāi)_____．三、解答題17．已知的數(shù)．(1)求的單調(diào)增區(qū)間；(2)設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，求外接圓的面積．18．2022年2月4日，北京冬奧會(huì)盛大開(kāi)幕，這是讓全國(guó)人民普遍關(guān)注的體育盛事，因此每天有很多民眾通過(guò)手機(jī)、電視等方式觀看相關(guān)比賽．某機(jī)構(gòu)將每天收看相關(guān)比賽的時(shí)間在2小時(shí)以上的人稱為“冰雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”，否則稱為“非冰雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”，該機(jī)構(gòu)通過(guò)調(diào)查，并從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行分析，得到下表（單位：人）：冰雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者非冰雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者合計(jì)女性2050男性15合計(jì)100(1)將上表中的數(shù)據(jù)填寫完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為性別與是否為“冰雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”有關(guān)？(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從參與調(diào)查的女性人群中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“冰雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”的人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．附：，其中．0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82819．如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面是菱形，平面平面，，分別是棱，的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，且．(1)證明：平面；(2)從①三棱錐的體積為1；②與底面所成的角為60°；③異面直線與所成的角為30°這三個(gè)條件中選擇-一個(gè)作為已知，求二面角的余弦值．20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，橢圓的離心率為的．(1)求橢圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)原點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于點(diǎn)，直線與橢圓相交于點(diǎn)，設(shè)，，，的面積分別為，，，，試問(wèn)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．已知函數(shù)（其中a，b為實(shí)數(shù)）的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)證明：方程有且只有一個(gè)實(shí)根．22．在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)分別求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)已知，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為Q，求的值．23．已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)設(shè)的最小為m，若正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，求的最小值．參考答案：1．C先求得，然后求得.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（－2，4）．則，所以．所以．故選：C2．C根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域，結(jié)合解一元二次不等式的方法、集合并集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C3．A由正弦函數(shù)的有界性確定命題的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識(shí)確定命題的真假性，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由于，所以命題為真命題；由于在上為增函數(shù)，，所以，所以命題為真命題；所以為真命題，、、為假命題.故選：A．4．C畫出可行域，根據(jù)目標(biāo)式的幾何意義，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷求最值時(shí)所過(guò)的點(diǎn)，即可得范圍.【詳解】由題設(shè)可行域如下圖示，目標(biāo)式表示在在平移過(guò)程中，與可行域有交點(diǎn)情況下在x軸上的截距，由圖知：目標(biāo)函數(shù)過(guò)和的交點(diǎn)時(shí)有最小值，過(guò)和交點(diǎn)時(shí)有最大值，所以，故取值范圍為.故選：C．5．B根據(jù)題意可得，，兩式相比結(jié)合對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化及換底公式即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可得，，兩式相比得，即，所以.故選：B.6．A由條件可得，再利用向量夾角公式即得.【詳解】由得，∴即，設(shè)向量與的夾角為，則，又，∴，.故選：A.7．C根據(jù)奇偶性排除A，D，根據(jù)，函數(shù)值的正負(fù)可選出選項(xiàng).【詳解】由題可得是偶函數(shù)，排除A,D兩個(gè)選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)零點(diǎn).故選：C【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的奇偶性和零點(diǎn)問(wèn)題，解題時(shí)要善于觀察出函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，再分別討論，函數(shù)值的正負(fù)便可得出選項(xiàng).8．C利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由得，，即，由得，，即，解得，故選：C.9．D【解析】由余弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由，且，所以，又由，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以最小值等于.故選：D.10．B試題分析：由題4人分6張票，則有2人各得兩張，且具有連續(xù)的編號(hào)的票，另外2人各得1張票．2張具有連續(xù)的編號(hào)的票的情況有12和34；12和45；12和46；23和45；23和56；34和56共6種情況．所以不同的分法種數(shù)是．故選B11．B設(shè)，，根據(jù)題意可得，求得、，進(jìn)而求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出、的關(guān)系，求得離心率．【詳解】連接、，易知、、共線，、、共線，設(shè)，，，所以，，由勾股定理可得，由雙曲線的定義可得，即，解得，因?yàn)椋晒垂啥ɡ砜傻?，即，即?故選：B.12．C根據(jù)與關(guān)于直線對(duì)稱，畫出圖象，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由，得，，因?yàn)榕c關(guān)于直線對(duì)稱，在同一坐標(biāo)系下，畫出，，，的圖象，如圖所示：則，，，關(guān)于對(duì)稱.所以，，故B錯(cuò)誤.因?yàn)?，，，所以，故A錯(cuò)誤.因?yàn)?，，在上為增函?shù)，，，所以.又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，且，所以.，故C正確.因?yàn)?，所以，設(shè)，，在為增函數(shù).所以，即，，故D錯(cuò)誤.故選：C13．38利用系統(tǒng)抽樣直接求得.【詳解】從42位同學(xué)中采用系統(tǒng)抽樣方法抽取了一個(gè)容量為6的樣本，抽樣距為7，第一個(gè)學(xué)號(hào)為03，所以抽取的6個(gè)樣本的學(xué)號(hào)依次為03，10，17，24，31，38.故答案為：38.14．70根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，求出的值，寫出通項(xiàng)式，令的指數(shù)為，即可求得常數(shù)項(xiàng)．【詳解】根據(jù)題意可得，解得，則展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為：，故答案為：7015．根據(jù)可得，，再根據(jù)可得，再根據(jù)兩角和的正余弦公式求解再求和即可【詳解】由題，，故，又，故，.由題有，且，故，即，又，所以，故，，故故答案為：16．##由題意確定，故可構(gòu)造方長(zhǎng)體，將三棱錐置于其中，利用長(zhǎng)方體的外接球可求得過(guò)點(diǎn)D的最大截面與最小截面的面積，進(jìn)而求得答案.【詳解】由，AB=1，BC=3得，,由于,，則,故,由此可將三棱錐中置于長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體中，如圖示：則三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，外接球半徑為,過(guò)BC中點(diǎn)D作四面體外接球的截面，當(dāng)截面過(guò)球心O時(shí)，截面圓面積最大，最大值為；當(dāng)截面與OD垂直時(shí)，截面圓面積最小，而,故此時(shí)截面圓的半徑為，則截面面積最小值為，故過(guò)點(diǎn)D的最大截面與最小截面的面積和為，故答案為：17．(1)(2)（1）先由倍角公式化簡(jiǎn)解析式，由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出的單調(diào)增區(qū)間；（2）先得出，再由正弦定理得出的外接圓半徑，進(jìn)而得出外接圓的面積．(1)，令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．(2)由（1）可知，則，又，故．設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理可得，，∴，故的外接圓的面積為．18．(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析.（1）直接完成列聯(lián)表，套公式求出，對(duì)著參數(shù)下結(jié)論；（2）由題意分析出，求出對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望和方差．(1)由題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，可得列聯(lián)表如下：冰雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者非冰雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者合計(jì)女性203050男性351550合計(jì)5545100所以，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為性別與“冰雪運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”有關(guān).(2)由題意可得：，X的所有可能取值為：0，1，2，3.所以；；；.所以X的分布列為：X0123P從而，19．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，易證四邊形為平行四邊形，從而有，故而得證；（2）過(guò)點(diǎn)作于，連接，由平面平面，推出平面．選擇條件①：先求得，可證，故以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，依次得平面和平面的法向量與，再由，得解；選擇條件②：易知，從而得，接下來(lái)同①；選擇條件③：易知，從而有，接下來(lái)同②中．(1)證明：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋謩e是棱，的中點(diǎn)，則，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面．(2)解：在平面ACC1中過(guò)點(diǎn)作于，連接，平面平面，平面平面，平面，選擇條件①：三棱錐的體積，，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，故以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，平面平面，平面，平面，平面即平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，，，顯然二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為．選擇條件②：與底面所成的角為，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，故以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，平面平面，平面，平面，平面即平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，，，顯然二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為．選擇條件③：，即為異面直線與所成的角，即，，，，即，，故以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，平面平面，平面，平面，平面即平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，，，顯然二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為．20．(1)：，：(2)是定值，定值為（1）利用待定系數(shù)法，求橢圓方程；（2）首先設(shè)，，直線，的斜率分別為，，直線分別和橢圓聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并表示，并求的值，將面積比值表示為，即可求解.(1)因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，①因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即，②由①②可得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)設(shè)，，則，，即．由題意知，設(shè)直線，的斜率分別為，，則．（點(diǎn)撥：得到，的關(guān)系式，為下面消元做準(zhǔn)備）直線的方程為，則由，消去得，解得或，則．由，消去得，解得或，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以．（點(diǎn)撥：因?yàn)辄c(diǎn)在軸上，所以可以將線段之比轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值之比）同理．因?yàn)?，的高均為原點(diǎn)到直線的距離，所以．（將面積比轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)之比）因?yàn)?，的高均為原點(diǎn)到直線的距離，所以，所以．故為定值．【點(diǎn)睛】將三角形的面積比轉(zhuǎn)化為，，聯(lián)立直線與橢圓方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求出，，轉(zhuǎn)化為判斷關(guān)于的式子是否為定值是解題的關(guān)鍵21．(1)(2)證明見(jiàn)解析（1）求導(dǎo)，得，由題知，解方程得解.（2）令，分三種情況討論：當(dāng)，，時(shí)的零點(diǎn)情況；令，分兩種情況討論：當(dāng)，時(shí)，對(duì)求導(dǎo)，借助單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理，判斷的零點(diǎn)情況，進(jìn)而得證.(1)因?yàn)?，所以．因?yàn)榈膱D象在處的切線為，所以解得(2)令函數(shù)，定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，由知在上單調(diào)遞增，又且函數(shù)連續(xù)不間斷，所以，有．綜上所述，函數(shù)在有唯一的零點(diǎn)，且在上恒小于零，在上恒大于零．令函數(shù)，討論如下：①當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得．因?yàn)?，所以，即函?shù)在單調(diào)遞增．又因?yàn)?，，所以函?shù)在存在唯一的零點(diǎn)，