5.1 垂線 人教版七年級(jí)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)講與練

專(zhuān)題5.4垂線（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質(zhì)；理解并運(yùn)用“垂線段最短”解決實(shí)際問(wèn)題；3.理解點(diǎn)到直線的距離的概念，并會(huì)度量點(diǎn)到直線的距離；4.能依據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角及垂直的概念與性質(zhì)，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.【知識(shí)要點(diǎn)】1．垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足．特別說(shuō)明：(1)記法：直線a與b垂直，記作：；直線AB和CD垂直于點(diǎn)O，記作：AB⊥CD于點(diǎn)O.(2)垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：CD⊥AB．2．垂線的畫(huà)法：過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線，可通過(guò)直角三角板來(lái)畫(huà)，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，沿此直角邊畫(huà)直線，則所畫(huà)直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．特別說(shuō)明：(1)如果過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長(zhǎng)線上，也可能在線段的延長(zhǎng)線上．(2)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段．3．垂線的性質(zhì)：（1）在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短．特別說(shuō)明：（1）性質(zhì)（1）成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說(shuō)明了垂線的存在性和唯一性．（2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．”實(shí)際上，連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無(wú)數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短．在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問(wèn)題．4．點(diǎn)到直線的距離：定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．特別說(shuō)明：點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)數(shù)量，不能說(shuō)垂線段是距離；（2）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要從已知條件中找出垂線段或畫(huà)出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的長(zhǎng)度．【典型例題】類(lèi)型一、垂線??定義的理解??垂直??直角 1．如圖，直線，相交于點(diǎn)，下列條件：；；，其中能說(shuō)明的有（）A． B．或 C．或 D．或或【答案】B【分析】根據(jù)垂直定義“當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直”進(jìn)行判定即可．解：，可以得出，故符合題意；，，故符合題意，，可以得出；，不能得到，故不符合題意；故能說(shuō)明的有．故選：B．【點(diǎn)撥】此題主要考查了垂直定義，關(guān)鍵是通過(guò)條件計(jì)算出其中一個(gè)角為．舉一反三：【變式1】如圖，同一平面內(nèi)的三條直線交于點(diǎn)O，，，AB與CD的關(guān)系是（

）A．平行 B．垂直 C．重合 D．以上均有可能【答案】B【分析】由圖知，∠1+∠2+∠AOC=180°，再由已知可得∠AOC=90°，從而可得AB與CD的位置關(guān)系．∵∠1+∠2+∠AOC=180°，且，，∴∠AOC=90°，∴AB⊥CD，∴AB與CD的位置關(guān)系是垂直．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了垂直的定義，結(jié)合圖形得到∠1+∠2+∠AOC=180°是本題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖象可得：∠1+∠2=90°，代入求解即可得出結(jié)果．解：∵∠1+∠2+90°=180°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=20°，∴∠2=70°，故選：C．【點(diǎn)撥】題目主要考查角度計(jì)算，從圖中得出∠1+∠2=90°是解題關(guān)鍵．類(lèi)型二、垂線??垂線的畫(huà)法 2．如圖，在紙片上有一直線l，點(diǎn)A在直線l上，過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線、嘉嘉使用了量角器，過(guò)90°刻度線的直線a即為所求；淇淇過(guò)點(diǎn)A將紙片折疊，使得以A為端點(diǎn)的兩條射線重合，折痕a即為所求，下列判斷正確的是（

）A．只有嘉嘉對(duì) B．只有淇淇對(duì)C．兩人都對(duì) D．兩人都不對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)垂直的定義即可解答．解：嘉嘉利用量角器畫(huà)90°角，可以畫(huà)垂線，方法正確；淇淇過(guò)點(diǎn)A將紙片折疊，使得以A為端點(diǎn)的兩條射線重合，折痕a垂直直線l，方法正確，故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了作圖、垂線的定義，掌握垂直的定義是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】下列用三角板過(guò)點(diǎn)P畫(huà)AB的垂線CD，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)垂線的作法，用直角三角板的一條直角邊與重合，另一條直角邊過(guò)點(diǎn)后沿直角邊畫(huà)直線即可．解：根據(jù)分析可得，用直角三角板的一條直角邊與重合，另一條直角邊過(guò)點(diǎn)后沿直角邊畫(huà)直線，選項(xiàng)的畫(huà)法正確，故選：．【點(diǎn)撥】此題主要考查了垂線的畫(huà)法，在平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．【變式2】過(guò)一條線段外一點(diǎn)，作這條線段的垂線，垂足在(

)A．這條線段上 B．這條線段的端點(diǎn)處C．這條線段的延長(zhǎng)線上 D．以上都可以【答案】D【分析】畫(huà)一條線段的垂線就是畫(huà)線段所在直線的垂線，進(jìn)而得出答案.解答：由垂線的定義知，畫(huà)一條線段的垂線，垂足可以在線段上，可以是線段的端點(diǎn)，也可以在線段的延長(zhǎng)線上.故選D.【點(diǎn)撥】本題主要考查線段垂線的畫(huà)法，正確把握垂線的定義是關(guān)鍵.類(lèi)型三、垂線??點(diǎn)到直線的距離??垂線段畫(huà)法3．如圖，，P是OB上的一點(diǎn)，用刻度尺分別度量點(diǎn)P到直線OA和到直線OC的距離．【答案】點(diǎn)P到直線OA的距離約為2cm，點(diǎn)P到直線OC的距離約為1.1cm【分析】過(guò)點(diǎn)P作，用刻度尺分別度量PO和PD的長(zhǎng)度，即可得到點(diǎn)P到直線OA和到直線OC的距離．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作，用刻度尺分別度量，可得點(diǎn)P到直線OA的距離約為2cm，點(diǎn)P到直線OC的距離約為1.1cm．【點(diǎn)撥】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是清楚點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度．舉一反三：【變式1】如圖，、、相交于點(diǎn)，平分，，．(1)線段______的長(zhǎng)度表示點(diǎn)到的距離；(2)比較與的大小（用“＜”號(hào)連接）：____________，并說(shuō)明理由：____________；(3)求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)，是因?yàn)榇咕€段最短；(3)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求解即可；（2）根據(jù)垂線段最短求解即可；（3）根據(jù)垂直的定義和角之間的關(guān)系求解即可．（1）解：線段的長(zhǎng)度表示點(diǎn)到的距離，故答案為：；（2）解：比較與的大小為：，是因?yàn)榇咕€段最短，故答案為：，是因?yàn)榇咕€段最短；（3）解：，平分，，．【點(diǎn)撥】本題考查了點(diǎn)到直線的距離、角平分線、垂線段最短，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)到直線的距離．【變式2】已知：點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，點(diǎn)、、是直線上三點(diǎn)，分別連接、、．（1）通過(guò)測(cè)量的方法，比較、、的大小，直接用“”連接；（2）在直線上能否找到一點(diǎn)，使的長(zhǎng)度最短？如果有，請(qǐng)?jiān)趫D中作出線段，并說(shuō)明它的理論依據(jù)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析，垂線段最短【分析】(1)直接測(cè)量，比較大小即可；(2)作MN的垂線，垂足為D，PD即所求．解：（1）通過(guò)測(cè)量可知，cm，cm，cm，故；（2）過(guò)點(diǎn)作，則最短．理由：垂線段最短【點(diǎn)撥】本題考查了垂線段最短的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是能熟練的測(cè)量線段的長(zhǎng)度，知道垂線段最短．類(lèi)型四、垂線??點(diǎn)到直線的距離??垂線段的長(zhǎng)4．如圖，在中，，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以的速度運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)、停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）當(dāng)______時(shí)，；（2）當(dāng)______時(shí)，；（3）畫(huà)于點(diǎn)，并求出的值；（4）當(dāng)______時(shí)，有．【答案】（1）

（2）4或

（3）畫(huà)圖見(jiàn)解析；

（4）【分析】利用列方程得到，然后解方程即可；利用列方程得到或，然后解方程即可；先根據(jù)三角形高的定義畫(huà)圖，然后利用面積法求的長(zhǎng)；根據(jù)三角形面積公式得到，然后解方程即可．解：根據(jù)題意得，解得；故答案為：；根據(jù)題意得或，解得或；故答案為：或；如圖，，；；，，解得．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積以及求解一元一次方程，三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，能結(jié)合條件列出方程是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線l上兩點(diǎn)，AB＝10，點(diǎn)M在直線l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP，則線段MP的最小值是____．【答案】4.8【分析】根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)MP⊥AB時(shí)，MP有最小值，利用三角形的面積可列式計(jì)算求解MP的最小值．解：當(dāng)MP⊥AB時(shí)，MP有最小值，∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，∴AB?MP＝AM?BM，即10MP＝6×8，解得MP＝4.8．故答案為：4.8．【點(diǎn)撥】本題主要考查垂線段最短，三角形的面積，找到MP最小時(shí)的P點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在三角形ABC中，AC＝5，BC＝6，BC邊上的高AD＝4，若點(diǎn)P在邊AC上（不與點(diǎn)A，C重合）移動(dòng)，則線段BP最短時(shí)的長(zhǎng)為_(kāi)________________．【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短，得到當(dāng)BP垂直于AC時(shí)，BP的長(zhǎng)最小，利用面積法即可求出此時(shí)BP的長(zhǎng)．解：根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP最短，∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BP，∴6×4＝5BP，∴PB＝，即BP最短時(shí)的值為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂線段最短，三角形的面積，熟練掌握線段的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．中考真題專(zhuān)練4．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過(guò)馬路．小麗覺(jué)得行人沿垂直馬路的方向走過(guò)斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（

）A．垂線段最短B．兩點(diǎn)確定一條直線C．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直D．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行【答案】A【分析】根據(jù)垂線段最短解答即可．解：行人沿垂直馬路的方向走過(guò)斑馬線，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查垂線段最短，熟知垂線段最短是解答的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2022·河南·中考真題）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD，垂足為O．若∠1＝54°，則∠2的度數(shù)為（

）A．26° B．36° C．44° D．54°【答案】B【分析】根據(jù)垂直的定義可得，根據(jù)平角的定義即可求解．解：EO⊥CD，，，．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了垂線的定義，平角的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2021·北京·中考真題）如圖，點(diǎn)在直線上，．若，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意易得，，進(jìn)而問(wèn)題可求解．解：∵點(diǎn)在直線上，，∴，，∵，∴，∴；故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查垂直的定義及鄰補(bǔ)角的定