第05講函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)的模型

第05講：:函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)的模型【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)存在定理 考點(diǎn)二：用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值考點(diǎn)三：函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)問題 考點(diǎn)四：零點(diǎn)的個數(shù)或根個數(shù)求參數(shù)范圍考點(diǎn)五：零點(diǎn)的分布問題 考點(diǎn)六：函數(shù)模型的應(yīng)用考點(diǎn)七：函數(shù)和方程的綜合問題【知識梳理】1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)．(2)幾個等價關(guān)系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點(diǎn)零點(diǎn)個數(shù)210【題型歸納】題型一：函數(shù)零點(diǎn)存在定理1．（2024上·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理求得正確答案.【詳解】在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，所以，則在上無零點(diǎn).因為，所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，在上有零點(diǎn).故選：C2．（2024上·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）已知，則的零點(diǎn)所處的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理可得.【詳解】，且是上的減函數(shù).由，，根據(jù)區(qū)間上零點(diǎn)存在性定理，有且只有一個零點(diǎn)，且在區(qū)間上.故選：B.3．（2023上·天津西青·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理判斷即可.【詳解】因為函數(shù)與在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，由，所以在上存在唯一零點(diǎn).故選：C.題型二：用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值4．（2023上·江蘇蘇州·高一張家港市沙洲中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)的一個正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計算，其參考數(shù)據(jù)如下：那么方程的一個近似根精確度為可以是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零點(diǎn)存在性定理及二分法，結(jié)合表格計算即可.【詳解】因為，，所以，所以函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因為，所以不滿足精確度為因為，所以，所以函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因為，所以不滿足精確度為因為，所以，所以函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因為，所以不滿足精確度為因為，所以，所以函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因為，所以不滿足精確度為因為，所以，所以函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因為，滿足精確度為，所以方程的一個近似根精確度為可以是區(qū)間內(nèi)任意一個值包括端點(diǎn)值.故選：C.5．（2023上·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在內(nèi)有一個零點(diǎn)，且求得的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下表所示：010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875110.3750.17180.13080.25950.012450.061130.02483要使零點(diǎn)的近似值精確到0.1，則對區(qū)間的最少等分次數(shù)和近似解分別為（

）A．6次0.7 B．6次0.6C．5次0.7 D．5次0.6【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二分法代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，對區(qū)間內(nèi)，需要求解的值，然后達(dá)到零點(diǎn)的近似值精確到，所以零點(diǎn)的近似解為，共計算次.故選：C6．（2023上·上海浦東新·高一上海市實驗學(xué)校?？计谀┰谟枚址ㄇ蠛瘮?shù)零點(diǎn)的近似值時，若某一步將零點(diǎn)所在區(qū)間確定為，則下一步應(yīng)當(dāng)確定零點(diǎn)位于區(qū)間（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用二分法及零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間【詳解】設(shè)，由二分法知當(dāng)零點(diǎn)在時，取區(qū)間的中點(diǎn)1.6625，計算得由知，下一步應(yīng)當(dāng)確定零點(diǎn)位于區(qū)間，故選：A題型三：函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)問題7．（2023下·河南信陽·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得.【詳解】若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，由函數(shù)在的圖象連續(xù)不斷，且為增函數(shù)，則根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，只需滿足，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.8．（2023上·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的一個零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷出在上是增函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理列不等式可求a的范圍.【詳解】和在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，只需即可，即，解得．故選：B.9．（2021上·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由在上單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)在上存在零點(diǎn)，需，求解即可.【詳解】函數(shù)在上遞增，則函數(shù)在上存在零點(diǎn)，需，解得.故選：B.題型四：零點(diǎn)的個數(shù)或根個數(shù)求參數(shù)范圍10．（2024上·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若存在非零實數(shù)，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用賦值和排除法可得結(jié)果【詳解】取，則，若，則，由，得，解得，符合條件，排除選項A、C,取，則，若時，，由，得，解得，或，都不符合條件，若，即，由，得，即，不符合條件，若，即，由，得，解得，或，都不符合條件，綜上，，排除B，選D故選：D.11．（2023上·全國·高一期末）已知函數(shù)，若方程僅有兩個不同的根，則的取值范圍為

()A． B． C． D．【答案】A【分析】探討給定函數(shù)的性質(zhì)，并畫出函數(shù)的圖象，借助圖象求出的取值范圍，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求出值域得解.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，當(dāng)時，單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，方程的根，即為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，觀察圖象知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有且只有兩個交點(diǎn)，即當(dāng)時，方程僅有兩個不同的根，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以的取值范圍為.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給定函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以通過分離參數(shù)，等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.12．（2024上·湖南郴州·高一安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）若函數(shù)有4個零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象，得到時，函數(shù)只有一個零點(diǎn)，結(jié)合題意，得到時，方程有三個零點(diǎn)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，得出不等式，即可求解.【詳解】當(dāng)時，令，即，即，因為函數(shù)與的圖象僅有一個公共點(diǎn)，如圖所示，所以時，函數(shù)只有一個零點(diǎn)，又由函數(shù)有4個零點(diǎn)，所以時，方程有三個零點(diǎn)，如圖所示，因為，可得，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：B.題型五：零點(diǎn)的分布問題13．（2023上·北京石景山·高一?？计谥校┤絷P(guān)于的一元二次方程有兩個實根，且一個實根小于1，另一個實根大于2，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布，結(jié)合已知作出對應(yīng)二次函數(shù)圖象，列出不等式，求解即可得出答案.【詳解】設(shè)，根據(jù)已知結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，作圖則有，解得.故選：C.14．（2023上·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，作出函數(shù)的圖象，分析可知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不等的實根，令，利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于的不等式組，解之即可.【詳解】令，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：因為關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)根，則關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不等的實根，設(shè)，則函數(shù)在內(nèi)有兩個不等的零點(diǎn)，所以，，解得.故選：A.15．（2023上·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,再由確定范圍,即可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】已知,,函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則又因為,這兩函數(shù)均單調(diào)遞增，當(dāng)時，,解得.故選:D.題型六：函數(shù)模型的應(yīng)用16．（2024上·重慶九龍坡·高一統(tǒng)考期末）放射性核素鍶89會按某個衰減率衰減，設(shè)初始質(zhì)量為，質(zhì)量與時間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系式為（其中為常數(shù)），若鍶89的半衰期（質(zhì)量衰減一半所用時間）約為50天，那么質(zhì)量為的鍶89經(jīng)過30天衰減后質(zhì)量約變?yōu)椋?/p>

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)時，代入函數(shù)關(guān)系式中，可得的值，進(jìn)而代入求解即可.【詳解】由題意，鍶89半衰期（質(zhì)量衰減一半所用的時間）所用時間為50天，即，則，所以質(zhì)量為的鍶89經(jīng)過30天衰減后，質(zhì)量大約為．故選：D．17．（2024上·云南昆明·高一云南師大附中?？计谀┚岂{是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為，為了保障安全，根據(jù)國家規(guī)定，駕駛?cè)藛T每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克為飲酒后駕車；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克為醉酒駕車.某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止飲酒后，他的血液中的酒精會以每小時的速度減少，那么他想要駕車至少要經(jīng)過（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意表示出經(jīng)過小時后，該駕駛員體內(nèi)的酒精含量；再列出不等式求解即可.【詳解】經(jīng)過小時后，該駕駛員體內(nèi)的酒精含量為：.只需，即，.因為函數(shù)在R上為減函數(shù)，所以，故他至少要經(jīng)過5個小時后才能駕車.故選：C.18．（2024上·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）2023年2月27日，學(xué)堂梁子遺址入圍2022年度全國十大考古新發(fā)現(xiàn)終評項目.該遺址先后發(fā)現(xiàn)石制品300多件，已知石制品化石樣本中碳14質(zhì)量隨時間（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳14原有的質(zhì)量）.經(jīng)過測定，學(xué)堂梁子遺址中某件石制品化石樣本中的碳14質(zhì)量約是原來的倍，據(jù)此推測該石制品生產(chǎn)的時間距今約（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．8370年 B．8330年 C．3850年 D．3820年【答案】D【分析】根據(jù)碳14質(zhì)量隨時間的衰變公式代入條件，對指數(shù)式兩邊取對數(shù)，代入近似值即得.【詳解】依題意得：，等式兩邊取以為底的對數(shù)并整理得：，解得：，代入即得：.故選：D.題型七：函數(shù)和方程的綜合問題19．（2024上·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）綠水青山就是金山銀山，“兩山”的轉(zhuǎn)換不僅發(fā)生在青山綠水之間，在生產(chǎn)生活中更應(yīng)該注重對環(huán)境的保護(hù)．為了減少工廠廢氣排放的影響，工廠可以采用一些技術(shù)來減少廢氣排放，也可以改變生產(chǎn)工藝來減少廢氣排放，某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾，后排放、過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時間t（單位．h）間的關(guān)系為，其中，k是正的常數(shù)．如果在前5h消除了的污染物，那么(1)10h后還剩百分之幾的污染物？(2)污染物減少需要花多少時間（精確到）？(3)畫出P關(guān)于t變化的函數(shù)圖象．【答案】(1)(2)33h(3)圖象見解析【分析】（1）根據(jù)條件可計算，從而可得的值，進(jìn)而得出答案；（2）令，根據(jù)指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求出的值；（3）根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性作出大致圖象．【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，可得，當(dāng)時，，即10h后，還剩的污染物.（2）設(shè)污染物減少需要花th，則有，兩邊取以為底的對數(shù)，得，可得，即污染物減少大約需要花33h.（3）由（1）可得：，圖象大致如圖所示.20．（2024上·上海寶山·高一上海交大附中校考期末）已知（），函數(shù)在區(qū)間上有最大值4和最小值1.(1)求的值；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取值情況列方程求解即可得的值；（2）將不等式，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用函數(shù)取值即可求得實數(shù)k的取值范圍；（3）原方程化為，令，得到方程，通過二次方程實根分布，可得的不等式組，即可求得的范圍．【詳解】（1）函數(shù)，因為，對稱軸為，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即，解得.故.（2）由（1）得，則不等式為在上恒成立，即在上恒成立，又時，，則，所以，則.故實數(shù)k的取值范圍.（3）方程，代入，得，，化簡整理得，令，則，則方程有兩個不相等的實數(shù)根等價于關(guān)于的一元二次方程有兩個大于且不相等的實數(shù)根，所以，即或，解得或.所以的取值范圍是．21．（2024上·吉林長春·高一東北師大附中?？计谀┮阎?1)當(dāng)時，解不等式；(2)若關(guān)于x的方程在區(qū)間內(nèi)恰有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)直接解不等式即可；（2）先轉(zhuǎn)化方程為，利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布計算即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，∵在上單調(diào)遞增，∴，解之得，∴不等式的解集為．（2）關(guān)于的方程在區(qū)間恰有一個實數(shù)解，化簡方程得，即方程在區(qū)間恰有一個實數(shù)解，即方程在區(qū)間恰有一個實數(shù)解，且，即方程區(qū)間恰有一個實數(shù)解，且，故有，解得．【強(qiáng)化精練】一、單選題22．（2024上·遼寧朝陽·高一建平縣第二高級中學(xué)校考期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷選項即可.【詳解】因為在上為增函數(shù)，且，，因為，所以，所以的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C.23．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的交點(diǎn)所在的一個區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可得解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因為函數(shù)都是增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，又，所以函數(shù)的零點(diǎn)在內(nèi)，即函數(shù)的交點(diǎn)所在的一個區(qū)間是.故選：B．24．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】時，可以直接求出零點(diǎn)，時，通過圖象即可得出零點(diǎn)個數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，令，解得或（舍），所以時，有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，令，得，作和圖象如下，所以時，有兩個零點(diǎn).綜上，共有3個零點(diǎn).故選：C25．（2024上·上海·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谀┲袊?G技術(shù)領(lǐng)先世界，其數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（

）．A．20% B．23% C．28% D．50%【答案】B【分析】由已知公式，將信噪比看作整體，分別取求出相應(yīng)的值，再利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)與換底公式變形求解增加率即可.【詳解】由題意，將信噪比從1000提升至5000，則最大信息傳遞速率從增加至，所以.故選：B.26．（2023上·湖南長沙·高一校聯(lián)考期末）若函數(shù)有個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分析可知，函數(shù)在上有一個零點(diǎn)，在上有兩個零點(diǎn)，求出這三個零點(diǎn)，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)在上至多一個零點(diǎn)，當(dāng)時，函數(shù)至多兩個零點(diǎn)，因為函數(shù)有三個零點(diǎn)，則函數(shù)在上有一個零點(diǎn)，在上有兩個零點(diǎn)，當(dāng)時，令，可得，必有，解得，所以，，解得；當(dāng)時，由，可得或，所以，，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故選：C.27．（2024上·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（

）A．2 B．1或2 C．3 D．1或3【答案】A【分析】分段分析函數(shù)的取值集合，再分段確定的零點(diǎn)個數(shù)即可.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，顯然，而，即恒有，函數(shù)在上無零點(diǎn)；當(dāng)時，，函數(shù)取值集合為，由，，得，解得或，在上有2個零點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為2.故選：A28．（2024上·上海嘉定·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的的方程有且僅有兩個不同的整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)絕對值的應(yīng)用尋找方程成立的條件，再利用數(shù)形結(jié)合求解參數(shù)即可.【詳解】若關(guān)于的的方程有且僅有兩個不同的整數(shù)解，則必有且同時成立，即圖象夾在和之間，易知，函數(shù)的圖象大致如圖，結(jié)合圖形可知的整數(shù)解只有兩個，則其中一個為，另一個為，所以，且，解得，故選：B29．（2023上·福建三明·高一校聯(lián)考期中）已知，定義：，設(shè).若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用分段函數(shù)表示出函數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)的意義變形，構(gòu)造函數(shù)并畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出的范圍.【詳解】令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，于是函數(shù)，則，令函數(shù)，由，得，因此函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)，恒有，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，當(dāng)，即時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點(diǎn)，如圖，直線過點(diǎn)，它與的圖象交于兩點(diǎn)，當(dāng)時，，當(dāng)，即時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點(diǎn)，當(dāng)，即時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個零點(diǎn)，實數(shù)的取值范圍是.故選：A二、多選題30．（2024上·遼寧鐵嶺·高一?？计谀┠惩瑢W(xué)求函數(shù)的零點(diǎn)時,用計算器算得部分函數(shù)值如表所示:則方程的近似解(精確度)可取為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及零點(diǎn)存在定理,利用二分法求解即可得到答案.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，要使得精確度為，結(jié)合表格可知：，，此時，所以方程的近似解在區(qū)間內(nèi).故選：AB.31．（2023上·河南安陽·高一安陽一中?？计谥校┮阎嵌x在上的偶函數(shù)，且對任意，有，當(dāng)時，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．C．函數(shù)有3個零點(diǎn)D．當(dāng)時，【答案】AB【分析】根據(jù)函數(shù)對稱性和奇偶性，可得的周期，即可判斷A的正誤，根據(jù)解析式及周期，代入數(shù)據(jù)，可判斷B的正誤；分別作出和的圖像，即可判斷C的正誤；根據(jù)函數(shù)周期及奇偶性，化簡整理，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】因為當(dāng)時，，則，因為，所以，則，所以不成立，故A錯誤；又函數(shù)為偶函數(shù)，所以，故的周期為4，由函數(shù)的周期為4，則，，所以，故選項B錯誤；令可得，作出函數(shù)和的圖像如下圖所示，由圖可知，兩個函數(shù)圖像有3個交點(diǎn)，故選項C正確；當(dāng)時，，則，故選項D正確，故選：AB.32．（2023上·廣東廣州·高一廣州市南武中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，函數(shù)有四個不同的零點(diǎn)，且，則（

）A．的取值范圍是 B．C． D．【答案】BCD【分析】利用分段函數(shù)性質(zhì)畫出函數(shù)的圖象，再結(jié)合函數(shù)與方程的思想可知函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個不同的交點(diǎn)，可得，即A錯誤；利用可得BC正確，再由基本不等式可得D正確.【詳解】畫出函數(shù)的圖象如下圖（實線部分）所示：函數(shù)有四個不同的零點(diǎn)，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，可得A錯誤；又，根據(jù)圖象可知，即滿足，因此，即，所以，可得，即B正確；由圖易知是關(guān)于對稱，所以，即C正確；結(jié)合BC選項可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，但，故等號不成立，即D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問題要充分利用函數(shù)與方程的基本思想，并充分利用數(shù)形結(jié)合畫出函數(shù)圖象，利用圖象即可求得參數(shù)范圍以及零點(diǎn)問題.33．（2023上·四川綿陽·高一綿陽中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則有3個零點(diǎn) D．若，則有5個零點(diǎn)【答案】ACD【分析】對A：直接計算即可；對B：先求得或，再求值；對CD：先由求得，，再依次求的解.【詳解】對A：，，故A正確；圖1對B：若，則或，當(dāng)時，或，當(dāng)時，由圖1可知或，故B錯誤；對C：若，由圖1可知則或，當(dāng)時，由知只有一解，當(dāng)時，由圖可知有兩解，故有3個零點(diǎn)，故C正確；對D：若，，由圖2知或或，當(dāng)時，只有一根，當(dāng)時，只有兩根，當(dāng)時，只有兩根，所以共有5根，故D正確.

圖2故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解個數(shù)方法：先得，再進(jìn)一步由分別求出的個數(shù)，所有x的個數(shù)總和為方程解個數(shù).三、填空題34．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期末）已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，如果用二分法求這個零點(diǎn)（精確度為）的近似值，那么將區(qū)間等分的次數(shù)至少是.【答案】【分析】根據(jù)計算精確度與區(qū)間長度和計算次數(shù)的關(guān)系滿足（精確度）確定即可.【詳解】設(shè)需要計算次，則滿足，即，由于，，所以將區(qū)間等分的次數(shù)至少是次.故答案為：.35．（2024上·上?！じ咭恍？计谀┮阎瘮?shù)兩個零點(diǎn)，一個大于2另一個小于2，則實數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】由題意可得關(guān)于的不等式組，求解得答案.【詳解】由函數(shù)兩個零點(diǎn)，一個大于2另一個小于2，所以有兩個不同的根，且一個根大于2另一個根小于2，所以，因為，當(dāng)時，只需，即，解得，當(dāng)時，只需，即，無解，綜上所述實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.36．（2023上·福建泉州·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，.則函數(shù)在上的解析式為；若與有3個交點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式即可，與圖象交點(diǎn)有3個，畫出圖象并進(jìn)行觀察，求得實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）①由于函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，則；②當(dāng)時，，因為是奇函數(shù)，所以.所以.綜上：.（2）圖象如下圖所示：由圖象可知，要使方程與有三個交點(diǎn)，只需，即.故答案為：；.37．（2023上·吉林白山·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，，若在上是增函數(shù)且在R上至少有3個零點(diǎn)，則a的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)給定單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性，可得，再探討函數(shù)的最小值，并由所在范圍求出的根即可推理得解.【詳解】由在上是增函數(shù)，得，解得，顯然，，且當(dāng)時，，令，由，得，解得或，而，由于在R上至少有3個零點(diǎn)，只需，又，解得；當(dāng)時，，符合題意，因此．所以a的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于分段函數(shù)的單調(diào)性，有兩種基本的判斷方法：一保證各段上同增(減)時，要注意上、下段間端點(diǎn)值間的大小關(guān)系；二是畫出這個分段函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象、性質(zhì)進(jìn)行直觀的判斷．四、解答題38．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｖ袑W(xué)?？计谀┠车刂袑W(xué)生社會實踐小組為研究學(xué)校附近某路段交通擁堵情況，經(jīng)實地調(diào)查、數(shù)學(xué)建模，得該路段上平均行車速度v（單位：）與該路段上的行車數(shù)量n（單位：輛）的關(guān)系為：，其中常數(shù)．該路段上每日t時的行車數(shù)量．已知某日17時測得的平均行車速度為．(1)求實數(shù)k的值；(2)定義，求一天內(nèi)q的最大值（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）．【答案】(1)(2)522．【分析】（1）根據(jù)題意把17時測得的平均行車速度為代入函數(shù)解析式即可求出；（2）根據(jù)分段函數(shù)求最值的方法，分別利用函數(shù)單調(diào)性求每段的最值，即可得出函數(shù)的最大值．【詳解】（1）由17時測得的平均行車速度為，則，故代入，可得，解得．（2）①當(dāng)時，為增函數(shù)，所以；②當(dāng)時，，由函數(shù)在上遞減，在,上遞增，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故．綜上可知，一天內(nèi)車流量的最大值為522.39．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)當(dāng)時，求不等式的解集.【答案】(1)或(2)答案見解析【分析】（1）直接解二次方程即可得解；（2）分類討論的取值范圍，解二次不等式即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，令，得，解得或，故的零點(diǎn)為或.（2）因為，當(dāng)時，不等式可化為，解得；當(dāng)時，不等式可化為，又，故解得或；綜上，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.40．（2023上·四川內(nèi)江·高一四川省隆昌市第一中學(xué)校考期末）國內(nèi)某大型機(jī)械加工企業(yè)在過去的一個月內(nèi)（共計30天，包括第30天），其主營產(chǎn)品在第天的指導(dǎo)價為每件（元），且滿足（），第天的日交易量（萬件）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：第天12510（萬件）141210.810.38(1)給出以下兩種函數(shù)模型：①，②，其中，為常數(shù).請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從①②中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來擬合該產(chǎn)品日交易量（萬件）的函數(shù)關(guān)系；并且從四組數(shù)據(jù)中選擇你認(rèn)為最簡潔合理的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的推理和運(yùn)算，求出的函數(shù)關(guān)系式；(2)若該企業(yè)在未來一個月（共計30天，包括第30天）的生產(chǎn)經(jīng)營水平維持上個月的水平基本不變，由（1）預(yù)測并求出該企業(yè)在未來一個月內(nèi)第天的日交易額的函數(shù)關(guān)系式，并確定取得最小值時對應(yīng)的.【答案】(1)選擇模型②，(2)當(dāng)時函數(shù)取得最小值萬元【分析】（1）分別代入點(diǎn)，求出模型對應(yīng)解析式，再結(jié)合點(diǎn)，判斷擬合效果即可；（2）先根據(jù)題意得到，分別利用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求最值即可.【詳解】（1）若選擇函數(shù)模型①，代入點(diǎn)，得，得，無解，故函數(shù)模型①不符合題意；若選擇函數(shù)模型②，代入點(diǎn)，得，解得，此時，，，故點(diǎn)在函數(shù)上，點(diǎn)近似在函數(shù)上，故擬合效果較好，符合題意，故函數(shù)模型②最為適合，，，（2）由題意可知（單位：萬元），當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，當(dāng)時，，可判斷此時函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時取得最小值，綜上可知，當(dāng)時函數(shù)取得最小值萬元41．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｄ蠀R中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)的表達(dá)式為．(1)求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)解不等式：；(3)若關(guān)于x的方程只有一個實根，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用單調(diào)函數(shù)至多一個零點(diǎn)這個知識點(diǎn)即可得出答案；（2）利用對數(shù)運(yùn)算法則計算即可；（3）利用二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系以及判別式即可解題.【詳解】（1）設(shè)……①……②①代入②有：；在定義域內(nèi)單增至多一個零點(diǎn)；且注意到，綜上可知有唯一零點(diǎn).（2）……①①式兩