高二數(shù)學(xué)人教A版選修1-2作業(yè)2-2-2反證法

第二章2.2請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真完成練案[6]A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是(C)A．有兩個(gè)內(nèi)角是直角 B．有三個(gè)內(nèi)角是直角C．至少有兩個(gè)內(nèi)角是直角 D．沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角是直角[解析]“最多只有一個(gè)”的含義是“有且僅有一個(gè)或者沒(méi)有”，因此它的反面應(yīng)是“至少有兩個(gè)”．2．如果兩個(gè)數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)(D)A．一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù) B．都是正數(shù)C．不可能有負(fù)數(shù) D．至少有一個(gè)是正數(shù)[解析]兩個(gè)數(shù)的和為正數(shù)，可以是一正一負(fù)，也可以是一正一為0，還可以是兩正，但不可能是兩負(fù)．3．否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的正確反設(shè)為(D)A．自然數(shù)a、b、c都是奇數(shù)B．自然數(shù)a、b、c都是偶數(shù)C．自然數(shù)a、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D．自然數(shù)a、b、c中或都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)[解析]恰有一個(gè)偶數(shù)的否定有兩種情況，其一是無(wú)偶數(shù)(全為奇數(shù))，其二是至少有兩個(gè)偶數(shù)．4．若a、b、c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，則下列不等式成立的是(B)A．a(chǎn)2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(3) D．a(chǎn)bc(a＋b＋c)≤eq\f(1,3)[解析]∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2≥3．5．用反證法證明命題：“若正系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至多有兩個(gè)是奇數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)中正確的是(A)A．假設(shè)a，b，c都是奇數(shù)B．假設(shè)a，b，c至少有兩個(gè)是奇數(shù)C．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)是奇數(shù)D．假設(shè)a，b，c不都是奇數(shù)[解析]由于用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，應(yīng)先把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面，而命題：“a，b，c中至多有兩個(gè)是奇數(shù)”的否定為：“a，b，c中全是奇數(shù)”，故選A．6．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說(shuō)：“是乙或丙獲獎(jiǎng)．”乙說(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)．”丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了．”丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng)．”四位歌手的話只有兩名是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是(C)A．甲 B．乙C．丙 D．丁[解析]若甲獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丙、丁說(shuō)的都是錯(cuò)的，同理可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況，最后可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙．二、填空題7．設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足a＋b＋c＝1，則a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)不小于__eq\f(1,3)__．[解析]假設(shè)a、b、c都小于eq\f(1,3)，則a＋b＋c＜1，故a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)不小于eq\f(1,3)．8．和兩條異面直線AB、CD都相交的兩條直線AC、BD的位置關(guān)系是__異面__．[解析]假設(shè)AC與BD共面于平面α，則A、C、B、D都在平面α內(nèi)，∴AB?α，CD?α，這與AB、CD異面相矛盾，故AC與BD異面．三、解答題9．已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．[解析]假設(shè)eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數(shù)列，則eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b．而b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，則有a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac)．即(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0．所以eq\r(a)＝eq\r(c)，從而a＝b＝c，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．用反證法證明命題“設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是(A)A．方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根[解析]至少有一個(gè)實(shí)根的否定為：沒(méi)有實(shí)根．2．設(shè)a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR>0”是“P、Q、R同時(shí)大于零”的(C)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件[解析]若P>0，Q>0，R>0，則必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因?yàn)楫?dāng)PQR>0時(shí)，若P、Q、R不同時(shí)大于零，則P、Q、R中必有兩個(gè)負(fù)數(shù)，一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)P＜0，Q＜0，R>0，即a＋b＜c，b＋c＜a，兩式相加得b＜0，這與已知b∈R＋矛盾，因此必有P>0，Q>0，R>0．3．(多選題)下列命題適合用反證法證明的是(ABD)A．同一平面內(nèi)，分別與兩條相交直線垂直的兩條直線必相交B．兩個(gè)不相等的角不是對(duì)頂角C．平行四邊形的對(duì)角線互相平分D．已知x、y∈R，且x＋y>2，求證：x、y中至少有一個(gè)大于1[解析]A中命題條件較少，不易正面證明；B中命題是否定性命題，其反設(shè)是顯而易見(jiàn)的定理；D中命題是至少性命題，其結(jié)論包含兩種情況，而反設(shè)只有一種情況，適合用反證法證明，故選ABD．4．(多選題)“已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋a(a∈R)，求證：|f(1)|與|f(2)|中至少有一個(gè)不小于eq\f(1,2).”用反證法證明這個(gè)命題時(shí)，下列假設(shè)不正確的是(ACD)A．假設(shè)|f(1)|≥eq\f(1,2)且|f(2)|≥eq\f(1,2)B．假設(shè)|f(x)|＜eq\f(1,2)且|f(2)|＜eq\f(1,2)C．假設(shè)|f(1)|與|f(2)|中至多有一個(gè)不小于eq\f(1,2)D．假設(shè)|f(1)|與|f(2)|中至少有一個(gè)不大于eq\f(1,2)[解析]由于反證法是命題的否定的一個(gè)運(yùn)用，故用反證法證明命題時(shí)，可以設(shè)其否定成立進(jìn)行推證．假設(shè)|f(1)|＜eq\f(1,2)且|f(2)|＜eq\f(1,2)，故選ACD．二、填空題5．命題“x，y是實(shí)數(shù)，若(x－3)2＋eq\r(y－2)＝0，則x＝3且y＝2”用反證法證明時(shí)應(yīng)假設(shè)為_(kāi)_x≠3或y≠2__．[解析]“x＝3且y＝2”的否定為“x≠3或y≠2”．6．已知f(x)＝x2－mx＋3－m，若在區(qū)間[1,2]內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f(c)>0，則m的取值范圍為_(kāi)_(－∞，2)__．[解析]由f(1)≤0且f(2)≤0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－2m≤0,7－3m≤0))，∴m≥2，∴若在區(qū)間[1,2]內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f(c)>0，則m的取值范圍為m＜2．三、解答題7．已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1)．用反證法證明：方程f(x)＝0沒(méi)有負(fù)數(shù)根．[解析]假設(shè)x0為方程f(x)＝0的負(fù)根，則有ax0＋eq\f(x0－2,x0＋1)＝0，即ax0＝eq\f(2－x0,x0＋1)＝eq\f(3－1＋x0,x0＋1)＝－1＋eq\f(3,x0＋1)，顯然x0≠－1．1°當(dāng)0>x0>－1時(shí)，1>x0＋1>0，eq\f(3,1＋x0)>3，－1＋eq\f(3,1＋x0)>2．而eq\f(1,a)＜ax0＜1，這是不可能的，即不存在0>x0>－1的解．2°當(dāng)x0＜－1時(shí)，x0＋1＜0，eq\f(3,1＋x0)＜0，－1＋eq\f(3,1＋x0)＜－1．而ax0>0，矛盾，即不存在x0＜－1的解．綜上所述方程f(x)＝0沒(méi)有負(fù)數(shù)根．8．用反證法證明：已知a、b均為有理數(shù)，且eq\r(a)和eq\r(b)都是無(wú)理數(shù)，求證：eq\r(a)＋eq\r(b)是無(wú)理數(shù)．[解析]解法一：假設(shè)eq\r(a)＋eq\r(b)為有理數(shù)，令eq\r(a)＋eq\r(b)＝t，則eq\r(b)＝t－eq\r(a)，兩邊平方，得b＝t2－2teq\r(a)＋a，∴eq\r(a)＝eq\f(t2＋a－b,2t)．∵a、b、t均為有理數(shù)，∴eq\f(t2＋a－b,2t)也是有理數(shù)．即eq\r(a)為有理數(shù)，這與已知eq\r(a)為無(wú)理數(shù)矛盾．故假設(shè)不成立．∴eq\r(a)＋eq\r(b)一定是無(wú)理數(shù)．解法二：假設(shè)eq\r(a)＋eq\r(b)為有理數(shù)，則(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))＝a－b．由a>0，b>0，得eq\r(a)＋eq\r(b)>0．∴eq\r(a)－eq\r(b)＝eq\f(a－b,\r(a)＋\r(b))．