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PAGE※PAGE5※09級-研-矩陣論試題及參考答案一（15分）設(shè)實數(shù)域上的多項式，，（1）求線性空間的一組基和維數(shù)；（2）求多項式在你所求基下的坐標(biāo)。解：（1）是的一組基，；（2），的坐標(biāo)為?；颍簒^3+1,x^2,x+1.這三個基形式是最簡單的。坐標(biāo)為（1，4，0）。二（15分）(1)設(shè),其中是矩陣變量，求；（2）設(shè)，是向量變量，，求.解（1），，；(2)，，。三（15分）已知微分方程組，，，（1）求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形和可逆矩陣使（2）求矩陣的的最小多項式（3）計算矩陣函數(shù)；（4）求該微分方程組的解。解：（1），，對應(yīng)兩個線性無關(guān)的特征向量的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，其中（不唯一）（2）由的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形知（3）（方法不限）如用代定系數(shù)法：由可求得（4）四（15分）已知矛盾方程組（1）求的滿秩分解（2）求的廣義逆；（3）求該方程組的最小二乘解。解（1）是列秩的，故，（不唯一）（2），；（3）五（10分）設(shè)，（1）寫出A的4個蓋爾圓；（2）應(yīng)用蓋爾圓定理證明矩陣A至少有兩個實特征值。解（1）（2）它們構(gòu)成兩個連通部分，且均關(guān)于實軸對稱，故中只有一個特征值且必為實數(shù)，中有三個特征值，故至少有一個實特征值。六（10分）設(shè)，用Schmidt正交方法求的QR分解。解：見教材P118例題七（10分）設(shè)矩陣的奇異值分解為,證明:（1）寫出的表達(dá)式；（2）證明解(1)（2）設(shè)，由即，這說明為的基礎(chǔ)解系，得證。八（10分）設(shè)n階矩陣滿足，證明：（1）列空間，；（2）矩陣秩不等式。(提示：用維數(shù)定理)證：（1）設(shè)，，則有所以，；因的列都是由的列的線性組合，又

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