2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第五部分真題分類匯編第六章圓第2節(jié)與圓有關(guān)的位置關(guān)系

6.2與圓有關(guān)位置關(guān)系一.選擇題1.(2023·山東聊城)如圖，點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，點(diǎn)1是△ABC的內(nèi)心，連接OB,IA.若∠CAI=35°,則∠OBC的度數(shù)為()A.15°B.17.52.(2023·四川巴中)如圖，OO是△ABC的外接圓，若∠C=25°,A.25B.50°C.60°3.(2023·四川眉山)如圖，AB切OO于點(diǎn)B,連結(jié)OA交OO于點(diǎn)C,BD//OA交OO于點(diǎn)D,連結(jié)CD,A.25°B.35C.40°4.(2022·江蘇無錫)如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC,過點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E,∠EAD=25°,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.AELDEB.AE//ODC.DE=ODD.∠BOD=50°5.(2022·黑龍江哈爾濱)如圖，AD,BC是OO的直徑，點(diǎn)P在BC的延長線上，PA與OO相切于點(diǎn)A,連接BD,若∠P=40°,則∠ADB的度數(shù)為()A.65°B.60°為切點(diǎn)，CA=CD,則△ABC和△CDE面積之比為()A.1:3B.1:2C.√2:27.(2022·廣西梧州)如圖，OO是△ABC的外接圓，且AB=AC,∠BAC=36°,在AB上取點(diǎn)D(不與點(diǎn)A,B重合),連接BD,AD,則∠BAD+∠ABD的度數(shù)是()A.60B.62°C.72°二.填空題8.(2023·江蘇徐州)如圖，在OO中，直徑AB與弦CD交于點(diǎn)E.AC=2BD,連接AD,過點(diǎn)B的切線與9.(2023·湖北潛江)如圖，在△ABC中，∠ACB=70°,△ABC的內(nèi)切圓OO與AB,BC分別相切于點(diǎn)D,10.(2023·河南)如圖，PA與OO相切于點(diǎn)A,PO交OO于點(diǎn)B,點(diǎn)C在PA上，且CB=CA.若OA=5,11.(2023·湖南衡陽)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.12.(2022·山東泰安)如圖，在△ABC中，∠B=90°,OO過點(diǎn)A、C,與AB交于點(diǎn)D,與BC相切于點(diǎn)則AB的長為_cm.14.(2022·四川瀘州)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=2V3,半徑為1的OO在Rt△ABC內(nèi)平移(OO可以與該三角形的邊相切),則點(diǎn)A到QO上的點(diǎn)的距離的最大值為D,連接OD,若∠AOD=82°,則∠C=交AE的延長線于點(diǎn)D,延長DC交AB的延長線于點(diǎn)F.(2)若DE=1,DC=2,求OO的半徑長.線AF于點(diǎn)F,且AF//BC.(2)求證：AO平分∠BAC.19.(2023·浙江紹興)如圖，AB是OO的直徑，C是OO上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作OO的切線CD,交AB的延長線于點(diǎn)D,過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E.20.(2023·安徽)已知四邊形ABCD內(nèi)接于OO,對(duì)角線BD是OO的直徑.(2)如圖2,E為OO內(nèi)一點(diǎn)，滿足AE⊥BC,CE⊥AB.若BD=3V3,AE=3,求弦BC的長.21.(2023·浙江金華)如圖，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，OA與x軸相切于點(diǎn)B,與y軸相交于點(diǎn)C,D,連結(jié)AB,(1)求證：四邊形ABOH為矩形.(2)已知OA的半徑為4,OB=√7,求弦CD的長.22.(2023·天津)在OO中，半徑OC垂直于弦AB,垂足為D,∠AOC=60°,E為弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上一(1)如圖①,求∠AOB和∠CEB的大小；(2)如圖②,CE與AB相交于點(diǎn)F,EF=EB,過點(diǎn)E作OO的切線，與CO的延長線相交于點(diǎn)G,若作OO的切線交AB的延長線于點(diǎn)F,(1)求證：BC平分∠DCF;(2)G為AD上一點(diǎn)，連接CG交AB于點(diǎn)H,若CH=3GH,求BH的長.(Ⅱ)如圖②,若AC=2,OD為OO參考答案與解析一.選擇題1.(2023·山東聊城)如圖，點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，點(diǎn)1是△ABC的內(nèi)心，連接OB,IA.若∠CAI=35°,則∠OBC的度數(shù)為()A.15°B.17.5°C.20?【答案】C【分析】連接IC,IB,OC,依據(jù)點(diǎn)1是△ABC的內(nèi)心，得到Al平分∠BAC,依據(jù)角平分線的定義得到∠BAC=2∠CAI=70°,依據(jù)圓周角定理得到∠BOC=2∠BAC=140°,依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】解：連接OC,∵點(diǎn)1是△ABC的內(nèi)心，【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外2.(2023·四川巴中)如圖，OO是△ABC的外接圓，若∠C=25°,則∠BAO=()A.25°B.50°【分析】由圓周角定理求得∠AOB的度數(shù)，再得結(jié)論.【詳解】解：連接OB,【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半.解題時(shí)，借用了等腰三角3.(2023·四川眉山)如圖，AB切OO于點(diǎn)B,連結(jié)OA交OO于點(diǎn)C,BD//OA交OO于點(diǎn)D,連結(jié)CD,若∠OCD=25°,則∠A的度數(shù)為()A.25°B.35°C.40°【答案】C【分析】連接OB,由切線的性質(zhì)得到∠ABO=90°,由平行線的性質(zhì)得到∠D=∠OCD=25°,由圓周角定理得出∠O=2∠D=50°,因此∠A=90°-∠O=40°.【詳解】解：連接OB,∵BD//OA,【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，關(guān)鍵是由圓周角定理得到∠O=2∠D,由切線的性質(zhì)定理得到∠ABO=90°,由直角三角形的性質(zhì)即可求出∠A的度數(shù).4.(2022·江蘇無錫)如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC,過點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E,∠EAD=25°,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.AE⊥DEB.AE//ODC.DE=ODD【答案】C【分析】依據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE,證明OD//AC,由此推斷A、B選項(xiàng)；過點(diǎn)O作OF⊥AC于F,利用矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)推斷C選項(xiàng)；利用三角形外角性質(zhì)求得∠BOD的度數(shù)，從而判斷D選項(xiàng).【詳解】解：∵弦AD平分∠BAC,∠EAD=25°,故選項(xiàng)D不符合題意；∴OD//AC,即AE//OD,故選項(xiàng)B不符合題意；∴DE⊥AE.故選項(xiàng)A不符合題意；如圖，過點(diǎn)O作OF⊥AC于F,則四邊形OFED是矩形，故選項(xiàng)C符合題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和圓周角定理.切線的性質(zhì)：假如一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它肯定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直.連接BD,若∠P=40°,則∠ADB的度數(shù)為()A.65°B.60°【分析】依據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OAP=90°,進(jìn)而得出∠BOD的度數(shù)，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADB的度數(shù)即可.【詳解】解：∵PA與OO相切于點(diǎn)A,∠P=40°,【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)，嫻熟把握切線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.為切點(diǎn)，CA=CD,則△ABC和△CDE面積之比為()A.1:3B.1:2【分析】依據(jù)圓周角定理，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，可,進(jìn)而得出即△ABC和△CDE面積之比為1:2.【詳解】解：解法一：如圖，連接OC,即△ABC和△CDE面積之比為1:2;解法二：如圖，連接OC,過點(diǎn)B作BF⊥AC,即∠OCB=90°,=1:2.【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，理解切線的性質(zhì)，圓周角定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的前提.7.(2022·廣西梧州)如圖，OO是△ABC的外接圓，且AB=AC,∠BAC=36°,在AB上取點(diǎn)D(不與點(diǎn)A,B重合),連接BD,AD,則∠BAD+∠ABD的度數(shù)是()A.60°B.62*C.72°【答案】C【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠C=72°,從而利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求出∠D=108°,然后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可詳解.【詳解】解：∵AB=AC,∠BAC=36°,∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，嫻熟把握等腰三角形的性質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.二.填空題8.(2023·江蘇徐州)如圖，在OO中，直徑AB與弦CD交于點(diǎn)E.AC=2BD,連接AD,過點(diǎn)B的切線與AD的延長線交于點(diǎn)F,若∠AFB=68°,則∠DEB=。【答案】66【分析】先依據(jù)切線的性質(zhì)得出∠ABF=90°,結(jié)合∠AFB=68°可求出∠BAF的度數(shù)，再依據(jù)弧之間的關(guān)系得出它們所對(duì)的圓周角之間的關(guān)系，最終依據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠DEB的度數(shù).【詳解】解：如圖，連接OC,OD,故答案為：66.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，熟知：圓的9.(2023·湖北潛江)如圖，在△ABC中，∠ACB=70°,△ABC的內(nèi)切圓OO與AB,BC分別相切于點(diǎn)D,∠AFD的度數(shù).交ED于點(diǎn)G,故答案為：35°.10.(2023·河南)如圖，PA與OO相切于點(diǎn)A,PO交OO于點(diǎn)B,點(diǎn)C在PA上，且CB=CA.若OA=5,【分析】連接OC,依據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OAP=90°,然后利用SSS證明△OAC≌△OBC,從而可得∠OAP=∠OBC=90°再在Rt△OAP中，利用勾股定理求出OP=13,最終依據(jù)△OAC的面積+△OCP的面積=△OAP的面積，進(jìn)行計(jì)算即可詳解.【詳解】解：連接OC,∵PA與OO相切于點(diǎn)A,【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，依據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)膸椭€是解題的關(guān)鍵.11.(2023·湖南衡陽)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.圓，當(dāng)所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時(shí)，r的值為解得解得【分析】設(shè)OC與AB所在的直線相切，切點(diǎn)為點(diǎn)D,連接CD,依據(jù)切線的性質(zhì)得AB⊥CD,再由勾股于是得到問題的答案.【詳解】解：設(shè)OC與AB所在的直線相切，切點(diǎn)為點(diǎn)D,連接CD,,,【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)、勾股定理、依據(jù)面積等式求線段的長度等學(xué)問與方法，正確地作出所需要的幫助線是解題的關(guān)鍵.12.(2022·山東泰安)如圖，在△ABC中，∠B=90°,OO過點(diǎn)A、C,與AB交于點(diǎn)D,與BC相切于點(diǎn)【分析】連接OC,依據(jù)圓周角定理求出∠DOC,依據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥BC,證明AB//OC,依據(jù)平行線的性質(zhì)詳解即可.【詳解】解：連接OC,∴AB//OC,故答案為：64°,【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，把握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.則AB的長為cm.""【分析】連接OE、OF,依據(jù)正切的定義求出∠ABC,依據(jù)切線長定理得到∠OBF=30°,依據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算，得到答案.【詳解】解：當(dāng)OO與BC、BA都相切時(shí)，連接AO并延長交OO于點(diǎn)D,則AD為點(diǎn)A到OO上的點(diǎn)設(shè)OO與BC、BA的切點(diǎn)分別為E、F,連接OE、OF,【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、切線長定理，依據(jù)題意得出AD為點(diǎn)A到OOD,連接OD,若∠AOD=82°,則∠C=?！敬鸢浮?9【分析】依據(jù)AC是OO的切線，可以得到∠BAC=90°,再依據(jù)∠AOD=82°,可以得到∠ABD的度數(shù)，然后即可得到∠C的度數(shù).【詳解】解：∵AC是OO的切線，故答案為：49.【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理，詳解本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想詳解.16.(2022·浙江寧波)如圖，在△ABC中，AC=2,BC=4,點(diǎn)O在BC上，以O(shè)B為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)A.D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACD為直角三角形時(shí)，AD的長為【分析】依據(jù)切線的性質(zhì)定理，勾股定理，直角三角形的等面積法詳解即可.【詳解】解：連接OA,過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,∵圓與AC相切于點(diǎn)A.①當(dāng)∠CAD為90°時(shí)，此時(shí)D點(diǎn)與O點(diǎn)重合，設(shè)圓的半徑=r,在Rt△AOC中，依據(jù)勾股定理可得：2+4=(4-r)2,②當(dāng)∠ADC=90°,AC=2,【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和勾股定理，嫻熟把握這些性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵.三.解答題交AE的延長線于點(diǎn)D,延長DC交AB的延長線于點(diǎn)F.(1)求證：CD是OO的切線；(2)若DE=1,DC=2,求OO的半徑長.【答案】(1)證明見詳解(2)2.5【分析】(1)連接OC,由等弧所對(duì)的圓周角相等得出∠EAC=∠BAC,依據(jù)同圓的半徑相等得出∠BAC=∠OCA,于是有∠EAC=∠OCA,可得出AE//OC,再依據(jù)CD⊥AE,即可得出OC⊥DF,從而問(2)連接CE,BC,先依據(jù)切割線定理求出AD的長，然后由勾股定理求出AC、CE的長，再依據(jù)等弧所對(duì)的弦相等得出BC=CE,在Rt△ACB中依據(jù)勾股定理求出AB的長，即可求出OO的半徑.【詳解】(1)證明：連接OC,∵點(diǎn)C為EB的中點(diǎn)，∴AE//OC,(2)解：連接CE,BC,在Rt△DCE中，由勾股定理得CE=√CD2+DE2=√22+12=√5,∴OO的半徑長是2.5.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理的推論，勾股定理，弧、弦之間的關(guān)系定理，嫻熟把握這些定理是解題的關(guān)鍵.18.(2023·福建)如圖，已知△ABC內(nèi)接于OO,CO的延長線交AB于點(diǎn)D,交OO于點(diǎn)E,交OO的切(2)求證：AO平分∠BAC.【答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解【分析】(1)依據(jù)切線的性質(zhì)得到AF⊥OA,求得∠OAF=90°,得∠OAF=∠CBE,依據(jù)平行線的性質(zhì)依據(jù)圓周角定理得到∠CBE=90°,求于是得到∠OAB=∠ABE,依據(jù)平行線的判定定理即可得到AO//BE;(2)依據(jù)圓周角定理得到∠ABE=∠ACE,依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACE=∠OAC,等量代換得到∠ABE=∠OAC,由(1)知，∠OAB=∠ABE【詳解】證明：(1)∵AF是OO的切線，∴AO//BE;【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，角平分線的定義、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、嫻熟掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.19.(2023·浙江紹興)如圖，AB是OO的直徑，C是OO上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作OO的切線CD,交AB的延長線于點(diǎn)D,過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E.(1)若∠EAC=25°,求∠ACD的度數(shù)；【答案】(1)115°(2)【分析】(1)由垂直的定義得到∠AEC=90°,由三角形外角的性質(zhì)即可求出∠ACD的度數(shù)；(2)由勾股定理求出CD的長，由平行線分線段成比例定理得到代入有關(guān)數(shù)據(jù)，即可求出CE的長.【詳解】解：(1)∵AE⊥CD于點(diǎn)E,∴半徑OC⊥DE∴OC//AE,【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，垂線，平行線分線段成比例，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由三角形外角的性質(zhì)求出∠ACD的度數(shù)，由勾股定理求出CD的長，由平行線分線段成比例定理即可求出CE的長20.(2023·安徽)已知四邊形ABCD內(nèi)接于OO,對(duì)角線BD是OO的直徑.(1)如圖1,連接OA,CA,若OA⊥BD,求證：CA平分∠BCD;(2)如圖2,E為OO內(nèi)一點(diǎn)，滿足AE⊥BC,CE⊥AB.若BD=3√【答案】(1)證明見詳解(2)3√2【分析】(1)由垂徑定理證出∠ACB=∠ACD,則可得出結(jié)論；(2)延長AE交BC于M,延長CE交AB于N,證明四邊形AECD是平行四邊形，則AE=CD=3,根據(jù)勾股定理即可得出答案.【詳解】(1)證明：∵OA⊥BD,(2)延長AE交BC于M,延長CE交AB于N,:BC=√BD2-CD2=√(N3)2-3【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，平行四邊形三角形的判定與性質(zhì)，嫻熟掌21.(2023·浙江金華)如圖，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，OA與x軸相切于點(diǎn)B,與y軸相交于點(diǎn)C,D,連結(jié)AB,過點(diǎn)A作AH⊥CD于點(diǎn)H.(1)求證：四邊形ABOH為矩形.(2)已知OA的半徑為4,OB=√7,求弦CD的長.【答案】(1)證明見詳解(2)6依據(jù)【分析】(1)依據(jù)切線的性質(zhì)得到AB⊥x軸依據(jù)垂直的定義得到∠AHO=∠HOB=∠OBA=90°,依據(jù)矩形的判定定理得到四邊形AHOB是矩形；(2)連接AD,依據(jù)矩形的性質(zhì)得到AH=OB=√7,依據(jù)勾股定理得到DH=√AD2-AH2=42-(√7)2=3,依據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論.【詳解】(1)證明：∵OA與x軸相切于點(diǎn)B,(2)解：連接AD,【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，正確都作出幫助線是解題的關(guān)鍵.22.(2023·天津)在OO中，半徑OC垂直于弦AB,垂足為D,∠AOC=60°,E為弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上一(1)如圖①,求∠AOB和∠CEB的大?。?2)如圖②,CE與AB相交于點(diǎn)F,EF=EB,過點(diǎn)E作OO的切線，與CO的延長線相交于點(diǎn)G,若OA=3,求EG的長.圖①【答案】(1)∠AOB=120°,∠CEB=3