投影法,點、線的投影

第2章點、直線和平面的投影2.1投影法概述2.2點的投影2.3直線的投影2.4平面的投影下一頁返回目錄12.1投影法概述上一頁下一頁返回目錄

2.1.1中心投影法

2.1.2平行投影法

2.1.3正投影法的主要投影特性

2.1.4工程上常用的投影圖2投影法的概念投影面Pa

投影投射線bS

投射中心A

空間點AB

將光線通過物體向選定的平面投射，并在該平面上得到物體影子的方法稱為投影法。上一頁下一頁返回目錄3投影法的分類

1.中心投影法

投射線匯交于一點。

投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。度量性較差

2.平行投影法

投射線互相平行。

投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。度量性較好

（1）斜投影

投射線與投影面傾斜的平行投影。

（2）正投影

投射線與投影面垂直的平行投影。上一頁下一頁返回目錄42.1.1中心投影法中心投影法

:

投射線匯交一點的投影法投射中心投射線平面圖形投影面投影上一頁下一頁返回目錄5思考1中心投影法時，當物體沿投影面法線方向移動時其投影大小變不變？6思考2在中心投影下，投影能否反映物體的真實大?。?思考3由1、2引出第三個思考：中心投影能否滿足工程圖樣的要求？8中心投影法的應用9中心投影法的應用10

2.1.2平行投影法平行投影法:

投射線相互平行的投影法（投射中心位于無限遠處）平行投影法斜投影法正投影法

工程圖樣（零件圖和裝配圖）多面投影圖

單面投影圖

—

單面投影圖

輔助圖樣（正等軸測圖）

輔助圖樣（斜二軸測圖）上一頁下一頁返回目錄11正投影法與斜投影法正投影法斜投影法正投影法：投射線與投影面相垂直的平行投影法。斜投影法：投射線與投影面相傾斜的平行投影法。上一頁下一頁返回目錄12思考1正投影法時，沿投影方向移動物體其正投影的大小變不變？13思考2在正投影下，物體的投影有無可能反映其某一個面的實形？14思考3由1、2引出第三個思考：正投影能否滿足工程圖樣的繪制要求？15用正投影法繪制的圖形能真實表達空間物體的形狀和大小，作圖較方便，因此，國家標準“圖樣畫法”（GB/T4458.1-2002）中規(guī)定，工程圖樣采用正投影繪制。162.1.3正投影法的主要投影特性

1.

實形性

當線段或平面平行于投影面時，其投影反映實長或?qū)嵭巍?/p>

2.

積聚性

當線段或平面垂直于投影面時，其投影積聚為點或線段。

3.

類似性

當線段或平面傾斜于投影面時，其投影變短或變小。上一頁下一頁返回目錄171.實形性CDEBAPabedc當線段或平面平行于投影面時，其投影反映實長或?qū)嵭巍Ｉ弦豁撓乱豁摲祷啬夸?82.積聚性edca（b）CDEBAP當線段或平面垂直于投影面時，其投影積聚為點或線段。上一頁下一頁返回目錄193.類似性CDEedcBAabP當線段或平面傾斜于投影面時，其投影變短或變小。上一頁下一頁返回目錄202.1.4工程上常用的投影圖1.正投影圖（多面）

2.軸測圖（單面）

3.透視圖（單面）4.標高投影圖（單面）

上一頁下一頁返回目錄21工程上常用的投影圖圖樣名稱

特點應用正投影圖（多面）

優(yōu)點：

能準確表達物體形狀和大小，且作圖方便。

缺點：缺乏立體感，直觀性較差，要運用正投影法對照幾個投影才能想象出物體的形狀。

在工程上，正投影圖是最常用的圖樣。如：（1）零件圖（2）裝配圖軸測圖（單面）

優(yōu)點：

一個圖形能同時反映物體的正面、水平面和側(cè)面的形狀，而富有立體感。

缺點：不能反映物體各表面的實形，且作圖較復雜。

在工程上，常把軸測圖用作輔助圖樣，說明產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)和使用方法；在設(shè)計和測繪中，幫助進行空間構(gòu)思和想象物體形狀；空間機構(gòu)和管路布局。如：（1）正等測（2）斜二測透視圖（單面）

優(yōu)點：

透視投影符合人的視覺映象，看起來自然、逼真。

缺點：作圖復雜，度量性差。

主要用于建筑工業(yè)設(shè)計等工程中，如繪制效果圖或建筑物的外形。

標高投影圖（單面）

優(yōu)點：能解決物體高度方向的度量問題。

主要用于地圖以及土建工程圖中表示土木結(jié)構(gòu)或地形。上一頁下一頁返回目錄222.2點的投影

2.2.1點在三投影面體系中的投影

2.2.2

兩點之間的相對位置關(guān)系

上一頁下一頁返回目錄232.2.1點在三投影面體系中的投影上一頁下一頁返回目錄

1.三投影面體系的建立

2.點的投影

3.點的投影規(guī)律

4.點的投影與直角坐標的關(guān)系

5.特殊位置點的投影

6.點在其他分角中的投影

241.三投影面體系的建立HVXOZYW

三投影面體系由V、H、W三個投影面構(gòu)成。H、V、W面將空間分成八個分角，處在前、上、左側(cè)的那個分角稱為第一分角。我們通常把物體放在第一分角中來研究。上一頁下一頁返回目錄252.點的投影HVXZYWOA

點的三面投影圖是將空間點向三個投影面作正投影后，將三個投影面展開在同一個面后得到的。展開時，規(guī)定V面不動，H面向下旋轉(zhuǎn)90

，W面向右旋轉(zhuǎn)90

。aa

a

Ha

a

VWXOZYWYHaa

a

XOZYWYHa上一頁下一頁返回目錄263.點的投影規(guī)律XOZYWYH⑴點的正面投影與水平投影的連線垂直O(jiān)X軸，即a′a⊥OX

。HVXZYWa

Oaa

Aa

aa

yy⑵點的正面投影與側(cè)面投影的連線垂直O(jiān)Z軸，即a′a″⊥OZ

。⑶點的水平投影到OX軸的距離等于點的側(cè)面投影到OZ軸的距離。27例1

已知點A的正面與側(cè)面投影，求點A的水平投影。ZYHXYWOa

a

a28Haa

VWXOZYWYHaxayazay4.點的投影與直角坐標的關(guān)系

點的投影就反映了點的坐標值，其投影與坐標值之間存在著對應關(guān)系。yAxAzAHVXZYWOAayaxazxyza

aa

a

yA上一頁下一頁返回目錄29點的兩個投影能唯一確定該點的空間位置HVOXa

aA上一頁下一頁返回目錄30例2

已知點A的坐標為（25,20,35)，求作點A的三面投影。XYWYHZO(1)在OX軸上截取坐標長度25，得到aX

點。(2)過aX點作OX軸垂線，在XOZ面截取長度35得到投影a′。(3)在XOY面內(nèi)截取坐標長度20，得到投影a。a′a″a25aX3520(4)通過a和a′兩投影可得到投影a″。31a

aa

XOZYWaxayayb

c

cbb

c

5.特殊位置點的投影投影面上的點

一個投影與投影面重合，另兩個投影投影軸上。投影軸上的點

兩個投影與投影軸重合，另一個投影在原點上。與原點重合的點

點的三個坐標為零，三個投影都與原點重合。HVXZYWAaa

a

Bb

Cc

cc

Ob

上一頁下一頁返回目錄326.點在其他分角中的投影投影特點：

(1)第二分角中的B點,其V面投影b′和H面投影b都在X軸上方。

(2)第三分角中的C點,其V面投影c′在X軸下方,H面投影c在X軸的上方。

(3)第四分角中的D點,其V面投影d′和H面投影d都在X軸下方。

上一頁下一頁返回目錄332.2.2

兩點之間的相對位置關(guān)系兩點相對位置的確定

2.重影點

上一頁下一頁返回目錄34XOZY1.兩點相對位置的確定a

a

ab

b

bBA

兩點的相對位置是根據(jù)兩點相對于投影面的距離遠近（或坐標大?。﹣泶_定的。X坐標值大的點在左；Y坐標值大的點在前；Z坐標值大的點在上。XZYWYHOa

a

ab

bb

上一頁下一頁返回目錄352.重影點Dc

(d

)a(b)a

b

AB

若兩點位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點在該投影面上的投影重合，這兩點稱為該投影面的重影點。cdCOX上一頁下一頁返回目錄36重影點可見性判別XYHZYWOc

(d)

b

a(b)a

cda

b

c

d

判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。上一頁下一頁返回目錄37例3已知A點在B點的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A點的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

12106上一頁下一頁返回目錄382.3直線的投影2.3.2直線對投影面的相對位置及投影特性2.3.3直線上的點

2.3.1直線的三面投影2.3.4一般位置線段的實長及對投影面的傾角

2.3.5兩直線的相對位置

2.3.6直角投影定理

上一頁下一頁返回目錄39OXZY2.3.1直線的三面投影ABbb

a

b

aa

ZXa

a

aOYHYWb

bb

空間任何一直線可由直線上任意兩點所確定，直線在某一投影面的投影可由該直線上某兩點的同面投影所確定。上一頁下一頁返回目錄402.3.2直線對投影面的相對位置及投影特性1.一般位置直線

2.投影面平行線

平行于一個投影面，與其它兩個投影面傾斜的直線。

正平線:

∥V，對H、W面傾斜

水平線:

∥H，對V、W傾斜

側(cè)平線:

∥W．對H、V傾斜3.投影面垂直線

垂直于一個投影面，與其它兩個投影面平行的直線。

鉛垂線：⊥H面，∥V，∥W

正垂線：⊥V面，∥H，∥W

側(cè)垂線：⊥W面，∥H，∥V

與三投影面既不平行也不垂直，而是傾斜的直線。統(tǒng)稱特殊位置直線上一頁下一頁返回目錄41OXZY1.一般位置直線投影特性ABbb

a

b

aa

ZXa

b

aOYHYWa

bb

投影特性：1、ab、a

b

、a

b

均小于實長2、ab、a

b

、a

b

均傾斜于投影軸

3、不反映

、

、

實角上一頁下一頁返回目錄422.平行線投影特性43

水平線—

平行于水平投影面的直線XZYOaa

b

a

bb

Xa

b

a

b

OzYHYW

ba

AB投影特性：1、a

b

OX;a

b

OYW2、ab=AB3、反映

、

角的真實大小上一頁下一頁返回目錄44XZYO正平線—

平行于正面投影面的直線

Xa

b

a

b

baOZYHYWAB

投影特性：

1.ab

OX;a

b

OZ2.a

b

=AB3.反映

、

角的真實大小aa

b

a

b

b上一頁下一頁返回目錄45XZYO側(cè)平線—

平行于側(cè)面投影面的直線XZOYHYWa

b

bab

a

AB投影特性：

1、a

b

OZ;ab

OYH2、a

b

=AB3、反映

、

角的真實大小aa

b

a

b

b上一頁下一頁返回目錄462.投影面平行線的投影特性1.直線在所平行的投影面上的投影,反映其實長和與其它兩個投影面的傾角（具有實形性）。2.直線在其它兩個投影面上的投影分別平行于相應的投影軸,且小于實長（具有類似性）。

正平線

水平線

側(cè)平線上一頁下一頁返回目錄473.垂直線投影特性48OXZYZb

Xa

b

a(b)OYHYWa

投影特性：1、ab

積聚成一點2、a

b

OX;a

b

OY

3、a

b

=a

b

=AB鉛垂線—

垂直于水平投影面的直線ABb

a(b)a

a

b

上一頁下一頁返回目錄49正垂線—

垂直于正面投影面的直線OXZY投影特性：1、a

b

積聚成一點2、ab

OX;a

b

OZ

3、ab=a

b

=ABABzXa

b

b

aOYHYWa

bba

b

a

b

a上一頁下一頁返回目錄50側(cè)垂線—

垂直于側(cè)面投影面的直線OXZYAB投影特性：1、a

b

積聚成一點2、

ab

OYH;a

b

OZ

3、ab=a

b

=ABba

a

b

ab

ZXa

b

b

aOYHYWa

b上一頁下一頁返回目錄513.投影面垂直線的投影特性

正垂線鉛垂線側(cè)垂線1.直線在所垂直的投影面上的投影積聚成一點（具有積聚性）。2.直線在其它兩個投影面上的投影分別垂直于相應的投影軸,且反映其實長（具有實形性）。

上一頁下一頁返回目錄52直線上的點具有兩個特性：

1.從屬性若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。

2.定比性屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即AC:

CB=ac:

cb=a

c

:

c

b

=a

c

:

c

b

2.3.3直線上的點Cc上一頁下一頁返回目錄53b

Xa

abcc

例4已知線段AB的投影圖，試將AB分成1：2兩段，求分點C的投影。O上一頁下一頁返回目錄54例5已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。accbXOABbb

aa

c

CcHVOb

Xa

abcc

上一頁下一頁返回目錄553.直線的跡點m

mnn

XO

直線與投影面的交點稱為跡點。它是屬于直線上的特殊點，既是直線上的點又是投影面上的點。XAb

aa

m

Nn

bBMmnOVHa

b

ba上一頁下一頁返回目錄562.3.4一般位置線段的實長及對投影面的傾角

ABbb

aa

CXO

|zA-zB|

過A作AC∥ab得直角三角形ABC，其中AC=ab，BC=Bb-Aa=zB-zA，斜邊AB即為實長，AB與AC的夾角即為AB對H面的傾角α，這種方法稱為直角三角形法。

|zB-zA

|ABXa

ab

b

AB|zB-zA|abO上一頁下一頁返回目錄57作圖要領(lǐng)

用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再以線段的兩端點相對于該投影面的坐標差作為另一條直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實長，斜邊與投影長間的夾角即為線段與該投影面的夾角。

|zA-zB

|ABXa

ab

b

AB|zA-zB|abO上一頁下一頁返回目錄58直角三角形的四個要素

四個要素包括：實長、投影長、坐標差及直線對投影面的傾角。已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。

ABab|zA-zB|斜邊直角邊（投影）直角邊（坐標差）夾角