第05講函數(shù)的零點和函數(shù)的模型原卷版

第05講：:函數(shù)的零點和函數(shù)的模型【考點梳理】考點一：函數(shù)零點存在定理 考點二：用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值考點三：函數(shù)的零點所在區(qū)間求參數(shù)問題 考點四：零點的個數(shù)或根個數(shù)求參數(shù)范圍考點五：零點的分布問題 考點六：函數(shù)模型的應(yīng)用考點七：函數(shù)和方程的綜合問題【知識梳理】1．函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點．(2)幾個等價關(guān)系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法．3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關(guān)系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點零點個數(shù)210【題型歸納】題型一：函數(shù)零點存在定理1．（2024上·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．（2024上·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）已知，則的零點所處的區(qū)間是（

）A． B． C． D．3．（2023上·天津西青·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的零點所在的大致區(qū)間為（

）A． B． C． D．題型二：用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值4．（2023上·江蘇蘇州·高一張家港市沙洲中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，其參考數(shù)據(jù)如下：那么方程的一個近似根精確度為可以是（）A． B． C． D．5．（2023上·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在內(nèi)有一個零點，且求得的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下表所示：010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875110.3750.17180.13080.25950.012450.061130.02483要使零點的近似值精確到0.1，則對區(qū)間的最少等分次數(shù)和近似解分別為（

）A．6次0.7 B．6次0.6C．5次0.7 D．5次0.66．（2023上·上海浦東新·高一上海市實驗學(xué)校校考期末）在用二分法求函數(shù)零點的近似值時，若某一步將零點所在區(qū)間確定為，則下一步應(yīng)當(dāng)確定零點位于區(qū)間（

）A． B．C． D．題型三：函數(shù)的零點所在區(qū)間求參數(shù)問題7．（2023下·河南信陽·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（2023上·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2021上·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上存在零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型四：零點的個數(shù)或根個數(shù)求參數(shù)范圍10．（2024上·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若存在非零實數(shù)，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．（2023上·全國·高一期末）已知函數(shù)，若方程僅有兩個不同的根，則的取值范圍為

()A． B． C． D．12．（2024上·湖南郴州·高一安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）若函數(shù)有4個零點，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型五：零點的分布問題13．（2023上·北京石景山·高一?？计谥校┤絷P(guān)于的一元二次方程有兩個實根，且一個實根小于1，另一個實根大于2，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．14．（2023上·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若關(guān)于的方有個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．15．（2023上·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型六：函數(shù)模型的應(yīng)用16．（2024上·重慶九龍坡·高一統(tǒng)考期末）放射性核素鍶89會按某個衰減率衰減，設(shè)初始質(zhì)量為，質(zhì)量與時間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系式為（其中為常數(shù)），若鍶89的半衰期（質(zhì)量衰減一半所用時間）約為50天，那么質(zhì)量為的鍶89經(jīng)過30天衰減后質(zhì)量約變?yōu)椋?/p>

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B．C． D．17．（2024上·云南昆明·高一云南師大附中校考期末）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為，為了保障安全，根據(jù)國家規(guī)定，駕駛?cè)藛T每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克為飲酒后駕車；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克為醉酒駕車.某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止飲酒后，他的血液中的酒精會以每小時的速度減少，那么他想要駕車至少要經(jīng)過（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A． B． C． D．18．（2024上·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）2023年2月27日，學(xué)堂梁子遺址入圍2022年度全國十大考古新發(fā)現(xiàn)終評項目.該遺址先后發(fā)現(xiàn)石制品300多件，已知石制品化石樣本中碳14質(zhì)量隨時間（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳14原有的質(zhì)量）.經(jīng)過測定，學(xué)堂梁子遺址中某件石制品化石樣本中的碳14質(zhì)量約是原來的倍，據(jù)此推測該石制品生產(chǎn)的時間距今約（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．8370年 B．8330年 C．3850年 D．3820年題型七：函數(shù)和方程的綜合問題19．（2024上·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）綠水青山就是金山銀山，“兩山”的轉(zhuǎn)換不僅發(fā)生在青山綠水之間，在生產(chǎn)生活中更應(yīng)該注重對環(huán)境的保護(hù)．為了減少工廠廢氣排放的影響，工廠可以采用一些技術(shù)來減少廢氣排放，也可以改變生產(chǎn)工藝來減少廢氣排放，某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾，后排放、過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時間t（單位．h）間的關(guān)系為，其中，k是正的常數(shù)．如果在前5h消除了的污染物，那么(1)10h后還剩百分之幾的污染物？(2)污染物減少需要花多少時間（精確到）？(3)畫出P關(guān)于t變化的函數(shù)圖象．20．（2024上·上海寶山·高一上海交大附中校考期末）已知（），函數(shù)在區(qū)間上有最大值4和最小值1.(1)求的值；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.21．（2024上·吉林長春·高一東北師大附中?？计谀┮阎?1)當(dāng)時，解不等式；(2)若關(guān)于x的方程在區(qū)間內(nèi)恰有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．【強(qiáng)化精練】一、單選題22．（2024上·遼寧朝陽·高一建平縣第二高級中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．23．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的交點所在的一個區(qū)間是（

）A． B．C． D．24．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點的個數(shù)為（

）A． B． C． D．25．（2024上·上海·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谀┲袊?G技術(shù)領(lǐng)先世界，其數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（

）．A．20% B．23% C．28% D．50%26．（2023上·湖南長沙·高一校聯(lián)考期末）若函數(shù)有個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．27．（2024上·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．2 B．1或2 C．3 D．1或328．（2024上·上海嘉定·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的的方程有且僅有兩個不同的整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．29．（2023上·福建三明·高一校聯(lián)考期中）已知，定義：，設(shè).若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題30．（2024上·遼寧鐵嶺·高一?？计谀┠惩瑢W(xué)求函數(shù)的零點時,用計算器算得部分函數(shù)值如表所示:則方程的近似解(精確度)可取為（

）A． B． C． D．31．（2023上·河南安陽·高一安陽一中校考期中）已知是定義在上的偶函數(shù)，且對任意，有，當(dāng)時，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．C．函數(shù)有3個零點D．當(dāng)時，32．（2023上·廣東廣州·高一廣州市南武中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，函數(shù)有四個不同的零點，且，則（

）A．的取值范圍是 B．C． D．故選：BCD33．（2023上·四川綿陽·高一綿陽中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則有3個零點 D．若，則有5個零點三、填空題34．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期末）已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點，如果用二分法求這個零點（精確度為）的近似值，那么將區(qū)間等分的次數(shù)至少是.35．（2024上·上?！じ咭恍？计谀┮阎瘮?shù)兩個零點，一個大于2另一個小于2，則實數(shù)a的取值范圍為．36．（2023上·福建泉州·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，.則函數(shù)在上的解析式為；若與有3個交點，則實數(shù)的取值范圍是.37．（2023上·吉林白山·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，，若在上是增函數(shù)且在R上至少有3個零點，則a的取值范圍是．四、解答題38．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｖ袑W(xué)?？计谀┠车刂袑W(xué)生社會實踐小組為研究學(xué)校附近某路段交通擁堵情況，經(jīng)實地調(diào)查、數(shù)學(xué)建模，得該路段上平均行車速度v（單位：）與該路段上的行車數(shù)量n（單位：輛）的關(guān)系為：，其中常數(shù)．該路段上每日t時的行車數(shù)量．已知某日17時測得的平均行車速度為．(1)求實數(shù)k的值；(2)定義，求一天內(nèi)q的最大值（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）．39．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的零點；(2)當(dāng)時，求不等式的解集.40．（2023上·四川內(nèi)江·高一四川省隆昌市第一中學(xué)?？计谀﹪鴥?nèi)某大型機(jī)械加工企業(yè)在過去的一個月內(nèi)（共計30天，包括第30天），其主營產(chǎn)品在第天的指導(dǎo)價為每件（元），且滿足（），第天的日交易量（萬件）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：第天12510（萬件）141210.810.38(1)給出以下兩種函數(shù)模型：①，②，其中，為常數(shù).請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從①②中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來擬合該產(chǎn)品日交易量（萬件）的函數(shù)關(guān)系；并且從四組數(shù)據(jù)中選擇你認(rèn)為最簡潔合理的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的推理和運(yùn)算，求出的函數(shù)關(guān)系式；(2)若該企業(yè)在未來一個月（共計30天，包括第30天）的生產(chǎn)經(jīng)營水平維持上個月的水平基本不變，由（1）預(yù)測并求出該企業(yè)在未來一個月內(nèi)第天的日交易額的函數(shù)關(guān)系式，并確定取得最小值時對應(yīng)的.41．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｄ蠀R中學(xué)校考期末）已知函數(shù)的表達(dá)式為．(1)求函數(shù)的零點；(2)解不等式：；(3)若關(guān)于x的方程只有一個實根，求實數(shù)m的