2022年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)（解析版）

熱點(diǎn)05二次函數(shù)

命題趨勢(shì)

在中考中，二次函數(shù)可以是以選擇、填空題的形式考察，也可以以解答題的形式考察,

題目的難度都在中上等，也常作為中考中難度較大的一類(lèi)壓軸題的問(wèn)題背景，占的分值也

較高。而考察的內(nèi)容主要有：二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、解析式的求法、幾何變化、以及函數(shù)

與幾何圖形相關(guān)的綜合應(yīng)用等。其中，二次函數(shù)與其他綜合相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，雖然不是壓

軸出題，但是一般計(jì)算量較大，需要考試特別注意自己的計(jì)算不要有失誤。

滿分技巧

1.二次函數(shù)y=G^+云+c(awO)的解析式：根據(jù)已知條件，選擇合適的表達(dá)式求

解；

一般情況下：①當(dāng)已知拋物線上的無(wú)規(guī)律的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，常用一般式y(tǒng)=ax2+bx+c

(a#0)求其表達(dá)式；②當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(或者是對(duì)稱(chēng)軸)時(shí)，常用頂點(diǎn)式y(tǒng)=a

(x-m)2+h(aWO)求其表達(dá)式；

③若(XI,0)(X2,0)是拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，故知道拋物線與X軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，

常用交點(diǎn)式y(tǒng)=a(X-X1)(X-X2)(aWO)求其表達(dá)式；

2.二次函數(shù),=改2+法+c(awO)圖象及其性質(zhì)：牢記頂點(diǎn)公式、注意識(shí)別圖象與

系數(shù)的關(guān)系、注意拋物線的對(duì)稱(chēng)性及其性質(zhì)的應(yīng)用；

其中：二次函數(shù)符號(hào)判斷類(lèi)問(wèn)題大致分為以下幾種基本情形：

①a、b、c單個(gè)字母的判斷，a由開(kāi)口判斷，b由對(duì)稱(chēng)軸判斷(左同右異)，c由圖象與

y軸交點(diǎn)判斷；

②含有a、b兩個(gè)字母時(shí)，考慮對(duì)稱(chēng)軸；

③含有a、b、c三個(gè)字母，且a和b系數(shù)是平方關(guān)系，給x取值，結(jié)合圖像判斷，

另：含有a、b、c三個(gè)字母，a和b系數(shù)不是平方關(guān)系，想辦法消掉一到兩個(gè)字母再

判斷：

④含有b2和4ac,考慮頂點(diǎn)坐標(biāo)，或考慮△.

⑤其他類(lèi)型，可考慮給x取特殊值，聯(lián)立方程進(jìn)行判斷;也可結(jié)合函數(shù)最值，圖像增減

性進(jìn)行判斷。

3.二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用：認(rèn)真審題、分清問(wèn)題類(lèi)型、注意計(jì)算；

利潤(rùn)最大化問(wèn)題與二次函數(shù)模型：

兩公式：①單位利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)；②總利潤(rùn)=單位利潤(rùn)X銷(xiāo)量；

兩轉(zhuǎn)化：①銷(xiāo)量轉(zhuǎn)化為售價(jià)的一次函數(shù)；②總利潤(rùn)轉(zhuǎn)化為售價(jià)的二次函數(shù)；

函數(shù)性質(zhì)：利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出在自變量取值范圍內(nèi)的函數(shù)最值；

與現(xiàn)實(shí)生活結(jié)合類(lèi)問(wèn)題，常需要自己先建立合適的平面直角坐標(biāo)系，之后再根據(jù)信息做題；

熱點(diǎn)話題

二次函數(shù)在中考中單獨(dú)出題和結(jié)合出題的形式都比較常見(jiàn)，和實(shí)際應(yīng)用結(jié)合時(shí)，多考

察現(xiàn)實(shí)生活中的“生意問(wèn)題”或者“省錢(qián)問(wèn)題”；數(shù)學(xué)模型考察熱點(diǎn)有：一次函數(shù)與二次

函數(shù)結(jié)合問(wèn)題、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合的面積最值問(wèn)題、二次

函數(shù)與其他幾何圖形結(jié)合的點(diǎn)在坐標(biāo)特征問(wèn)題等。

[F艮時(shí)檢測(cè)

A卷（建議用時(shí)：80分鐘）

1.（2021?廣州?中考真題）拋物線丫=以2+加什。經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,。）、（3,0）,且與y軸交于

點(diǎn)（0,-5）,則當(dāng)x=2時(shí)，y的值為（）

A.-5B.-3C.-1

【分析】根據(jù)拋物線與X軸兩交點(diǎn)，及與y軸交點(diǎn)可畫(huà)出大致圖象，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)

性可求y=-5.

【解答】解：如圖

???拋物線y=a?+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,0）、（3,0）,且與y軸交于點(diǎn)（0,（

fV

，可網(wǎng)出上圖，_1_1_1_L.

-2AO]1

V拋物線對(duì)稱(chēng)軸1,V[

...點(diǎn)（0,-5）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（2,-5）,W

.?.當(dāng)尤=2時(shí)，y的值為-5.

故選：A.”卜

2.（2021?包頭?中考真題）已知二次函數(shù)>=??_公+cQW0）的圖象經(jīng)過(guò)第一象限的點(diǎn)

（1,-b）,則一次函數(shù)y=Z?x-“c的圖象不經(jīng)過(guò)（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=a?-云+c（aWO）的圖象經(jīng)過(guò)第一象限的點(diǎn)（1,-b）,可以

判斷b<0和oc異號(hào).再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：???點(diǎn)（1,-b）在第一象限.

-b>0.

：.b<0.

:二次函數(shù)丁=47-歷;+。（々HO）的圖象經(jīng)過(guò)第一象限的點(diǎn)（1,-〃）.

-h=a-h+c.

.??a+c=O.

??"0?

acVO.

，一次函數(shù)y=/zr-ac的圖象經(jīng)過(guò)一、二、四象限，不經(jīng)過(guò)第三象限.

故選：C.

3.（2021?常州?中考真題）已知二次函數(shù)y=（a-1）x2,當(dāng)x>0時(shí)，y隨x增大而增大,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.a>0B.a>\C.D.a<\

【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)得a-l>0,即可求解.

【解答】解：???二次函數(shù)）,=（〃-1）/,當(dāng)尤>0時(shí)〈y隨x增大而增大，

：.a-1>0,

〃〉1,

故選：B.

4.（2021?阜新?中考真題）如圖，二次函數(shù)y=a（x+2）?+%的圖象與*軸交于A,8（-1,

0）兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.a<0

B.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,0）

C.當(dāng)xVO時(shí)，y隨x的增大而減小

D.圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2

【分析】因?yàn)閳D象開(kāi)口方向向上，所以a>0,故A錯(cuò)誤，因?yàn)?/p>

圖象對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2,且過(guò)8（-1,0）,所以4點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,0）,故8錯(cuò)誤,

。正確，當(dāng)x<0時(shí)，由圖象可知），隨x的增大先減小后增大，故C錯(cuò)誤，即選￡>.

【解答】解：???二次函數(shù)y=a（x+2）2+k的圖象開(kāi)口方向向上，

：.a>0,

故A錯(cuò)誤，

?.?圖象對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2,且過(guò)B（-1,0）,

.'.A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,0）,

故8錯(cuò)誤，力正確，

由圖象知，當(dāng)x<0時(shí)，由圖象可知y隨x的增大先減小后增大，

故C錯(cuò)誤，

故選：D.

5.（2021?紹興?中考真題）關(guān)于二次函數(shù)y=2（x-4）2+6的最大值或最小值，下列說(shuō)法

正確的是()

A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值6

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到該函數(shù)有最小值，最小

值為6,然后即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)是正確的.

【解答】解：?.?二次函數(shù)y=2(x-4)2+6,°=2>0,

,該函數(shù)圖象開(kāi)口向上，有最小值，當(dāng)x=4取得最小值6,

故選：D.

6.(2021?徐州?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=/的圖象向左平移2個(gè)

單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為()

A.y=(x-2)2+lB.y=(x+2)2+1C.y=(x+2)2-1D.y=(x-2)2-1

【分析】直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：將二次函數(shù)y=/的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到：y=(x+2)2,

再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到：y=(JC+2)2+l.

故選：B.

7.(2021?黔東南州?中考真題)如圖，拋物線Z.1：y=ax2+bx+c(a/0)與x軸只有一個(gè)公

共點(diǎn)4(1,0),與y軸交于點(diǎn)8(0,2),虛線為其對(duì)稱(chēng)軸，若將拋物線向下平移兩個(gè)單

位長(zhǎng)度得拋物線上，則圖中兩個(gè)陰影部分的面積和為()

【分析】根據(jù)題意可推出。8=2,OA=\,AD=OC=2,根據(jù)平移的性質(zhì)及拋物線的對(duì)

稱(chēng)性可知陰影部分的面積等于矩形OCDA的面積，利用矩形的面積公式進(jìn)行求解即可.

【解答】解：如圖所示,

過(guò)拋物線Li的頂點(diǎn)D作CDHK軸，與y軸交于點(diǎn)C,

則四邊形OCD4是矩形，

?.?拋物線Ll：y^ax^+bx+c(a^O)與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)A(1,0),與y

軸交于點(diǎn)B(0,2),

：.OB=2,OA=1,

將拋物線L\向下平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度得拋物線L1,則4O=OC=2,

根據(jù)平移的性質(zhì)及拋物線的對(duì)稱(chēng)性得到陰影部分的面積等于矩形0CD4的面積,

陰影部分=3矩形1X2=2.

故選：B.

8.（2021?深圳?中考真題）二次函數(shù)了=0?+云+1的圖象與一次函數(shù)y=2or+Z?在同一平面

直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）

【分析】由二次函數(shù)yua^+bx+c的圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)以及對(duì)稱(chēng)軸，與一次函數(shù)y

=2or+b的圖象得到的字母系數(shù)的正負(fù)以及與x軸的交點(diǎn)相比較看是否一致.

【解答】解：4、由拋物線可知，a>0,b<0,c-b對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-±-,由直線

2a

可知，a>0,b<0,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（--L,0）,故本選項(xiàng)符合題意；

2a

B、由拋物線可知，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-b-,直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一旦，0）,故本選項(xiàng)不符

2a2a

合題意：

C、由拋物線可知，對(duì)稱(chēng)軸為直線X=-b直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一2，0）,故本選項(xiàng)不符

2a2a

合題意；

D、由拋物線可知，對(duì)稱(chēng)軸為直線X=-b一,直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-巨，0）,故本選項(xiàng)不符

2a2a

合題意:

故選：A.

9.（2021?淄博?中考真題）對(duì)于任意實(shí)數(shù)”，拋物線y=x1+2ax+a+h與x軸都有公共點(diǎn)，

則b的取值范圍是.

【分析】根據(jù)題意得到4a2-4（a+匕）20,求得。的最小值，即可得到6的取值范

圍.

【解答】解：；對(duì)于任意實(shí)數(shù)。，拋物線)，=，+2ax+a+匕與x軸都有交點(diǎn)，

則(2a)2-4(a+b)》0,

整理得bWa1-a,

'."a2-a—(a-A.)2-A,

24

-a的最小值為-X,

4

:.bW-A,

4

故答案為

4

10.(2021?陜西?中考真題)某景點(diǎn)的“噴水巨龍”口中C處的水流呈拋物線形，該水流

噴出的高度y(m)與水平距離x(相)之間的關(guān)系如圖所示，。為該水流的最高點(diǎn)，DA

VOB,垂足為A.已知OC=OB=8m,OA=2利，則該水流距水平面的最大高度AO的

長(zhǎng)度為()

【分析】設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2)2+k,將點(diǎn)C(0,8)、B(8,0)代入求出“、

上的值即可.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2)2+k,

將點(diǎn)C(0,8)、B(8,0)代入，得：

(4a+k=8

I36a+k=0

解得<廣口,

k=9

.?.拋物線解析式為y=(x-2)2+9,

4

所以當(dāng)x=2時(shí)，y=9,即4￡>=9加，

故選：A.

11.(2021?北京?中考真題)如圖，用繩子圍成周長(zhǎng)為10根的矩形，記矩形的一邊長(zhǎng)為

它的鄰邊長(zhǎng)為ym,矩形的面積為當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，y和S都隨x的變化

而變化，則y與x,S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是()

A.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

B.反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

y

C.一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系

D.反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系.V

【分析】矩形的周長(zhǎng)為2(x+y)=10,可用x來(lái)表示y,代入S=xy中，化筒即可得到S

關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

【解答】解：由題意得，

2(jc+y)=10,

，x+y=5,

，y=5-x,

即y與X是一次函數(shù)關(guān)系.

9：S=xy

=x(5-x)

=-x-+5x,

...矩形面積滿足的函數(shù)關(guān)系為S=-7+5x,

即滿足二次函數(shù)關(guān)系，

故選：A.

12.(2021?沈陽(yáng)?中考真題)某超市購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為8元的生活用品，如果按每件9元出售，

那么每天可銷(xiāo)售20件.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種生活用品的銷(xiāo)售單價(jià)每提高1元，其銷(xiāo)售量相

應(yīng)減少4件，那么將銷(xiāo)售價(jià)定為元時(shí)，才能使每天所獲銷(xiāo)售利潤(rùn)最大.

【分析】根據(jù)題意列出二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù):次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)定為x元(x29),每天所獲利潤(rùn)為y元，

則y=[20-4(x-9)]?(尤-8)

=-4JT+88X-448

=-4(x-11)2+36,

所以將銷(xiāo)售定價(jià)定為11元時(shí)，才能使每天所獲銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，

故答案為11.

13.(2021?阿壩州?中考真題)二次函數(shù)尸〃/+法+c的圖象如圖所示，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是

()

A.a<0,b>0

B.b2-4ac>0

C.方程以2+法+。=0的解是用=5,X2=-I

D.不等式a^+bx+cX）的解集是0<x<5

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象確定對(duì)稱(chēng)軸、最大值、增減性、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

判斷即可.

【解答】解：由圖象可知，拋物線開(kāi)口向下，所以。<0；對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-旦=2,

2a

所以b=-4m所以b>0,故4正確.

因?yàn)閽佄锞€與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以y-4ac>0,故B正確.

由圖象和對(duì)稱(chēng)軸公式可知，拋物線與x軸交于點(diǎn)（5,0）和（-1,0）,所以方程

=0的解是X1=5,X2=-h故C正確.

由圖象可知，不等式af+b入.+c>。的解集是-1VxV5,故。錯(cuò)誤.

故選：D.

14.（2021?濱州?中考真題）對(duì)于二次函數(shù)）一12一6x+21,有以下結(jié)論：①當(dāng)x>5時(shí)，y

2

隨x的增大而增大；②當(dāng)x=6時(shí)，y有最小值3；③圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；④圖象是

由拋物線），="向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.其中結(jié)論正

-2

確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】將題目中的函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)

小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題.

【解答】解：..?二次函數(shù)y=L2-6x+21=』（x-6）2+3,

-22

.?.該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=6,函數(shù)圖象開(kāi)口向上，

當(dāng)5Vx<6時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)Q6時(shí)，y隨x的增大而增大，故①不符合題意；

當(dāng)x=6時(shí)，），有最小值3,故②符合題意；

當(dāng)y=0時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)根，即圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，故③不符合題意；

圖象是由拋物線￥=上』向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，故④

2

不符合題意；

故正確的是②，正確的個(gè)數(shù)是1,

故選：A.

15.（2021?巴中?中考真題）y與x之間的函數(shù)關(guān)系可記為y=/（x）.例如：函數(shù)）=/可

記為了（X）=?.若對(duì)于自變量取值范圍內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f（-x）=f（x）,則/（x）

是偶函數(shù)；若對(duì)于自變量取值范圍內(nèi)的任意一個(gè)x,都有/（-x）=-/（》），則/（x）

是奇函數(shù).例如：f(%)=x2是偶函數(shù)，f(x)=工是奇函數(shù).若/(x)=a/+(a-5)

x

X+1是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=.

［分析］由/'(x)=ox2+(a-5)x+\是偶函數(shù)，得a(-x)~+(a-5)*(-x)+1=ar2+

(a-5)x+1,解得a=5.

【解答】解：?.了(x)=癥+(a-5)x+1是偶函數(shù)，

,對(duì)于自變量取值范圍內(nèi)的任意一個(gè)x，都有/(-x)=f(x),即a(-x)2+(4-5)?(-

x)+1=/+(a-5)x+\>

(10-2a)x=0.可知10-2a=0,

??a=5,

故答案為:5.

16.(2021?日照?中考真題)拋物線〉=/+/?+,(a#0)的對(duì)稱(chēng)軸是直線》=-1,其圖象

如圖所示.下列結(jié)論：①abc<0；②(4a+c)2<(2b)2；③若(xi,yi)和(%2,y2)

是拋物線上的兩點(diǎn)，則當(dāng)田+1|>仇2+1|時(shí)，yi<y2；④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,m),

則關(guān)于x的方程a^+bx+c=m-1無(wú)實(shí)數(shù)根.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

【分析】①由圖象開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸位置，與)，軸交點(diǎn)位置判斷。，江c符號(hào).

②把x=±2分別代入函數(shù)解析式，結(jié)合圖象可得(4a+c)2-(2b)2的結(jié)果符號(hào)為負(fù).

③由拋物線開(kāi)口向上，距離對(duì)稱(chēng)軸距離越遠(yuǎn)的點(diǎn)y值越大.

④由拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為加可得af+灰+。2布,從而進(jìn)行判斷—+灰+。=m-1無(wú)實(shí)數(shù)根.

【解答】解：①：拋物線圖象開(kāi)口向上，

.'.a>0,

?.?對(duì)稱(chēng)軸在直線y軸左側(cè)，

:?a,〃同號(hào)，b>0,

???拋物線與y軸交點(diǎn)在無(wú)軸下方，

Ac<0,

.".abc<0,故①正確.

②(4a+c)2-(2b)2=(4a+c+2b)C4a+c-2b),

當(dāng)x—2時(shí)ajt2+bx+c—4a+c+2b,由圖象可得4a+c+2b>0,

由圖象知，當(dāng)x=-2時(shí)，ax^+bx+c—4a+c-2b,由圖象可得4“+c-2%<0,

(4(z+c)2-(26)2<0,即(4a+c)2<(2b)2,

故②正確.

③|X1+1|=|XI-(-1)I，|X2+1|=|X2-(-1)I，

V|X1+1|>|X2+1|.

...點(diǎn)(xi,yi)到對(duì)稱(chēng)軸的距離大于點(diǎn)(X2,”)到對(duì)稱(chēng)軸的距離，

故③錯(cuò)誤.

④；拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,加)，

?'?cv^+bx+c^m,

.\ax2+bx+c=m-1無(wú)實(shí)數(shù)根.

故④正確，

綜上所述，①②④正確，

故選：B.

17.(2021?湖州?中考真題)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(3,4),M是

拋物線y=o?+bx+2(a#0)對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)電的值確定時(shí)，

a

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上能使AAOM為直角三角形的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)也隨之確定，若拋物線y=

ajr+bx+2(”W0)的對(duì)稱(chēng)軸上存在3個(gè)不同的點(diǎn)M,使△AOM為直角三角形，則上的值

a

是.

【分析】由題意aAOM是直角三角形，當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸xWO或xW3時(shí)，可知一定存在兩個(gè)以

4,O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸x=0或x=3時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)例，當(dāng)

以04為直徑的圓與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=-互相切時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸上存在1個(gè)以點(diǎn)M為直角

2a

頂點(diǎn)的直角三角形，此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸上存在3個(gè)不同的點(diǎn)M,使△A0W為直角三角形，利用

圖象法求解即可.

【解答】解：是宜角三角形，

.??當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸x#0或xW3時(shí)，一定存在兩個(gè)以A,0為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且點(diǎn)M

在對(duì)稱(chēng)軸上的直角三角形，

當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸x=0或x=3時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M,

...當(dāng)以0A為直徑的圓與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸》=-互相切時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸上存在1個(gè)以M為直

2a

角頂點(diǎn)的直角三角形，此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸上存在3個(gè)不同的點(diǎn)何，使△AOM為直角三角形(如

圖所示).

18.(2021?北京?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)(1,,〃)和點(diǎn)(3,n)在拋物

線(a>0)上.

(1)若膽=3,"=15,求該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；

(2)已知點(diǎn)(-1,yi),(2,*),(4,y3)在該拋物線上.若修〃<0,比較yi,yi,ys

的大小，并說(shuō)明理由.

【分析】(1)將點(diǎn)(1,3),(3,15)代入解析式求解.

(2)分類(lèi)討論〃的正負(fù)情況，根據(jù)“〃<()可得對(duì)稱(chēng)軸在x=3與直線?之間，再根

22

據(jù)各點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離判斷y值大小.

【解答】解：(1):，*=3,〃=15,

...點(diǎn)(1,3),(3,15)在拋物線上，

將(1,3),(3,15)代入丫=0?+法得：

(3=a+b

I15=9a+3b，

解得卜=1,

lb=2

.'.y=x2+2x—(x+1)2-11

.??拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-I.

(2)y=axi+hx(a>0),

.?.拋物線開(kāi)口向上且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

當(dāng)b=0時(shí)，拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，x>0時(shí)y隨x增大而增大，〃>〃?>()不滿足題意，

當(dāng)人,0時(shí)，拋物線對(duì)稱(chēng)軸在)，軸左側(cè)，同理，”>m>0不滿足題意，

.,.b<0,拋物線對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，x=l時(shí)機(jī)<0,x=3時(shí)〃>0,

即拋物線和x軸的2個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)為(0,0),另外一個(gè)在1和3之間，

二拋物線對(duì)稱(chēng)軸在直線x=3與直線x=上之間，

22

即工<--L<_3,

22a2

二點(diǎn)(2,")與對(duì)稱(chēng)軸距離工<2-(一且)<2,

22a2

點(diǎn)(-1,yi)與對(duì)稱(chēng)軸距離與V-旦-(-1)〈立，

22a2

點(diǎn)（4,J3）與對(duì)稱(chēng)軸距離e＜4-（--）＜—

22a2

解法二；?.?點(diǎn)（1,m）和點(diǎn)（3,n）在拋物線），=取2+灰（.＞（））上,

a+b=m,9〃+3b=〃，

mn<0,

：.(〃+b)(9〃+3b)<0,

a+b與3a+b異號(hào)，

V?>0,

二.3a+b>a+b,

：.a+b<0,3〃+Q0,

-1,yi),(2,”)，(4,?)在該拋物線上，

*.y\=a-b,*=4〃+2/?,y3=16〃+4/?,

Vy3-yi=(16a+4〃)-(</-b)=5(3a+b)>0,

Vyi-y2=Ca-b)~(4々+2分)=-3(a+b)>0,

???》〉”，

Ay2<yi<>3.

觀察圖象可知，-旦=-1或4,

2a

.,.旦=2或-8,

a

故答案為：2或-8.

19.（2021?阿壩州?中考真題）某商家準(zhǔn)備銷(xiāo)售一種防護(hù)品，進(jìn)貨價(jià)格為每件50元，并且

每件的售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià).經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，每月的銷(xiāo)售量y（件）與每件的售價(jià)x（元）

之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系.

（1）求每月的銷(xiāo)售量y（件）與每件的售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫(xiě)出自變

量的取值范圍）

（2）物價(jià)部門(mén)規(guī)定，該防護(hù)品每件的利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的30%.設(shè)這種防護(hù)品每月

的總利潤(rùn)為w（元），那么售價(jià)定為多少元可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

每月銷(xiāo)量y（件）

【分析】（1）由圖象可知每月銷(xiāo)售量y（件）與售價(jià)x（元）之間為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)其

函數(shù)關(guān)系式為y=Ax+h（?W0,x250）,用待定系數(shù)法求解即可；

（2）由題意得w關(guān)于x的二次函數(shù)，將其寫(xiě)成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

【解答】解：（1）由圖象可知每月銷(xiāo)售量y（件）與售價(jià)x（元）之間為一次函數(shù)關(guān)系，

設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為y=fcc+b（kWO,x250）,

將（60,600）,（80,400）代入，得:

（60k+b=600

180k+b=400

解得：（k=-10,

lb=1200

???每月銷(xiāo)售y（件）與售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式為），=-10%+1200；

（2）由題意得:

卬=（-WA+1200）（x-50）

=-10/+1700x-60000

=-10（x-85）2+12250,

V-10<0,

...當(dāng)xW85時(shí)，卬隨x的增大而增大，

V該防護(hù)品的每件利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的30%,

；.xW50X（1+30%）,即xW65,

.,.當(dāng)x=65時(shí),w取得最大值：最大值=-10（65-85）2+12250=8250.

；?售價(jià)定為65元可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是8250元.

20.（2021?泰州?中考真題）二次函數(shù)），=-/+（67-1）x+a（a為常數(shù)）圖象的頂點(diǎn)在y

軸右側(cè).

（1）寫(xiě)出該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）該二次函數(shù)表達(dá)式可變形為y=-（x-p）（x-a）的形式，求p的值；

（3）若點(diǎn)A（/n,n）在該二次函數(shù)圖象上，且過(guò)點(diǎn)?！?3,0）作y軸的平行線，

與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)在x軸下方，求a的范圍.

【分析】（1）直接用頂點(diǎn)的坐標(biāo)公式，代值進(jìn)行計(jì)算；

（2）將二次函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行因式分解，即可求解；

（3）由（2）可得二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)兩交點(diǎn)分別為C,D,由于頂點(diǎn)在y

軸右側(cè)，所以頂點(diǎn)橫坐標(biāo)大于0,由此求得所以CO=〃+1,由題意可得，A在x

軸上方，過(guò)點(diǎn)（m+3,0）作），軸的平行線，與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)在x軸下方，所以

W3,否則，A點(diǎn)和交點(diǎn)不可能在x軸異側(cè)，由此得到“+IW3,即可求解.

【解答】解：（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，

頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：-號(hào)二=三工，

2X（-1）2

.?.該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為且二1；

2

（2）'."y--7+（a-1）x+a--[x2-（?-1）x-a]—-（x+1）（x-a）>

（3）..?二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)在y軸右側(cè),

?a-1

"~F

設(shè)二次函數(shù)圖象與X軸交點(diǎn)分別為C,D,C在。左側(cè),

令y=0,貝!|-(x+1)(x-a)=0,

；.x=-1或a,

C(-1,0)>D(a,0),

/.CD=a+\,

:點(diǎn)A(m,n)在該二次函數(shù)圖象上,且">0,

在CD上方，

:過(guò)點(diǎn)（"7+3,0）作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)在x軸下方，如圖,

：.CD^3,

；.a+lW3,

；.aW2,

1<aW2.

備注：。的范圍還可以詳述為：

由題意得：a>\,

由”>0得：

貝I」2<m+3<a+3,

:拋物線和x=〃?+3的交點(diǎn)在x軸的下方,

故〃?+3>a,

即當(dāng)/”+3>2時(shí)，都有布+3>a成立，

故”W2,

故1V“W2.

21.(2021?赤峰?中考真題)如圖，拋物線y=-f+fcv+c與x軸交于A(-3,0)、B(1,

0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱(chēng)軸/與x軸交于點(diǎn)尸，直線〃z〃AC,點(diǎn)E是直線AC上

方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作垂足為H,交AC于點(diǎn)G,連接AE、EC、CH、

AH.

(1)拋物線的解析式為:

(2)當(dāng)四邊形AHCE面積最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，連接EF,點(diǎn)尸是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使

得以RE、P、Q為頂點(diǎn)，以EF為一邊的四邊形是平行四邊形.若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出

點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

備用圖

【分析】(I)利用待定系數(shù)法構(gòu)建方程組求出6,c即可；

(2)如圖1中，連接OE.設(shè)E5,-渥-2〃?+3).由題意4c〃直線，小推出△ACH

的面積是定值，因?yàn)镾Bii?AECH—S^AEC+S^ACH,推出當(dāng)△AEC的面積最大時(shí)，四邊形

AEC”的面積最大，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；

(3)如圖2中，因?yàn)辄c(diǎn)。在拋物線上EF是平行四邊形的邊，觀察圖象可知，滿足條件

的點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為土生，構(gòu)建方程求解即可.

【解答】解：（1）??1=-/+fcr+c與x軸交于（-3,0）、B（1,0）,

.r-9-3b+c=0

I-l+b+c=0

解得52,

Ic=3

二拋物線的解析式為y=-7-2r+3.

故答案為：y=-7-Zr+3；

圖1

(2)如圖1中，連接0E.設(shè)ECm,-m2-2/n+3).

VA(-3,0),C(0,3),

：.OA=OC=3,AC=3證,

,.‘AC〃直線m,

...當(dāng)直線m的位置確定時(shí)，△ACH的面積是定值，

VS四邊形AEC”=SaA￡：C+Sz\AC”,

???當(dāng)△AEC的面積最大時(shí)，四邊形AECH的面積最大，

2

■:SAAEC=S&AEO+SAECO-SA^OC=—X3X(-m-2//1+3)+Ax3X(-m)-Ax3X3

222

="-(m+3)2+^L,

228

-3vo,

2

.?."?=-W時(shí)，ZvlEC的面積最大，

2

：.E(-3,匹)；

24

（3）存在.如圖2中，因?yàn)辄c(diǎn)。在拋物線上EF是平行四邊形的邊，

觀察圖象可知，滿足條件的點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為士生，

4

對(duì)于拋物線y=-x2-2%+3,當(dāng)y=_l且時(shí)，-x2-2x+3=Ja，解得x

44

=一旦（舍棄）或-工，

22

.?.0（-X生）.

24

當(dāng)y=-變時(shí)，-x2-2x+3=-2殳，解得x=；2±y^T.,

442

.?Q（士應(yīng)，-叵），Q3（&叵，-西.

2424

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)。坐標(biāo)為（-工，」反）或（-2-迎-15）或（士叵,

一*24242

B卷（建議用時(shí)：80分鐘）

1.（2021?蘭州?中考真題）二次函數(shù)），=/+4x+l的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是（)

A.x=2B.x=4C.x=-2D,x=-4

【分析】根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為直線X=--L求解.

2a

【解答】解：?.?二次函數(shù)y=f+4x+l,

???拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-=-2.

2X1

故選：C.

2.（2021?江西?中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a?與一次函數(shù)y=bx+c

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=a?與一次函數(shù)y=bx+c的圖象，即可得出。>0、6>0、c<0,

由此即可得出：二次函數(shù)丫=取-+法+c的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸x=-旦<0,與y軸

2a

的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，再對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)中的圖象即可得出結(jié)論.

【解答】解：觀察函數(shù)圖象可知：a>0,b>0,cVO,

...二次函數(shù)），=0?+法+,的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸x=-上<0,與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)

2a

半軸.

故選：D.

3.（2021?賀州?中考真題）如圖，已知拋物線y=a?+c與直線y=kr+〃?交于A（-3,）u）,

B（1,中）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式o?+c2-區(qū)+加的解集是（）

/tv

A.xW-3或B.或x23C.-3<xWlD.-K

【分析】y^kx+m與y=-kx+m的圖象關(guān)于），軸對(duì)稱(chēng)，利用數(shù)形結(jié)合思想，把不等式的

解集轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問(wèn)題求解.

【解答】解：??1=依+，”與y=-kx+m的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

...直線y=-依+，"與拋物線的交點(diǎn)A'、B'與點(diǎn)A、8也

關(guān)于），軸對(duì)稱(chēng)，

如圖所示：

VA（-3,yi）,B（1,y2）,

.".A'（3,yi）,B'（-1.y2）,

根據(jù)函數(shù)圖象得：不等式-kx+m的解集是-1WXW3,

故選：D.

4.（2021?黔西南州?中考真題）小華酷愛(ài)足球運(yùn)動(dòng).一次訓(xùn)練時(shí)，他將足球從地面向上踢

出，足球距地面的高度公，"）與足球被踢出后經(jīng)過(guò)的時(shí)間f（s）之間的關(guān)系為h=-5/2+12n

則足球距地面的最大高度是m.

【分析】a=-5開(kāi)口方向向下，最大值為頂點(diǎn)y值，由公式可得答案.

【解答】解：??,/1=-5及+⑵,

a=-5,b=12,c=0,

足球距地面的最大高度是：4義（-5）X0/22=72〃?,

4X（-5）

故答案為：7.2.

5.（2021?連云港?中考真題）某快餐店銷(xiāo)售A、B兩種快餐，每份利潤(rùn)分別為12元、8元，

每天賣(mài)出份數(shù)分別為40份、80份.該店為了增加利潤(rùn)，準(zhǔn)備降低每份A種快餐的利潤(rùn)，

同時(shí)提高每份B種快餐的利潤(rùn).售賣(mài)時(shí)發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每份4種快餐利潤(rùn)每降1

元可多賣(mài)2份，每份B種快餐利潤(rùn)每提高1元就少賣(mài)2份.如果這兩種快餐每天銷(xiāo)售總

份數(shù)不變，那么這兩種快餐一天的總利潤(rùn)最多是元.

【分析】設(shè)每份A種快餐降價(jià)4元，則每天賣(mài)出（40+2〃）份，每份8種快餐提高萬(wàn)元，

則每天賣(mài)出（80-2%）份，由于這兩種快餐每天銷(xiāo)售總份數(shù)不變，可得出等式，求得a

=b,用〃表達(dá)出w,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)每份A種快餐降價(jià)。元，則每天賣(mài)出（40+2”）份，每份8種快餐提高。

元，則每天賣(mài)出（80-23）份，

由題意可得，40+2〃+80-2b=40+80,

解得a=b,

總利潤(rùn)W=（12-?）（40+2。）+（8+。）（80-2a）

=-4a2+48。+1120

=-4（a-6）2+1264,

：-4<0,

...當(dāng)。=6時(shí),W取得最大值1264,

即兩種快餐一天的總利潤(rùn)最多為1264元.

故答案為：1264.

6.（2021?雅安?中考真題）定義：min{a,=（a4b）,若函數(shù)、=加"*+1,-/+2x+3},

[b（a>b）

則該函數(shù)的最大值為（）

A.0B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)圖象，通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解.

【解答】解：x+l=-/+2x+3,

解得x=-1或x=2.

'x+1x42）

??y=<-

-X2+2X+3（X<T或X>2）

把x=2代入y=x+l得y=3,

二函數(shù)最大值為y=3.

故選：C.

7.（2021?銅仁市?中考真題）己知直線y=fcr+2過(guò)一、二、三象限，則直線丫=丘+2與拋

物線>'=?-2x+3的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)或2個(gè)

【分析】先判斷k的正負(fù)性，再建立方程組，利用判別式即可判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù).

【解答】解：???直線y=&+2過(guò)一、二、三象限.

：.k>0.

聯(lián)立直線y=fcr+2與拋物線-2x+3組成方程組得：

y=kx+2

y=x"-2x+3

Ax2-2x+3=kx+2.

-（2+欠）x+1=0.

A=（-27）2-432+4*

'：k>0.

：.A>0.

，直線y=kx+2與拋物線y=f-2x+3的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).

故選：C.

8.（2021?蘇州?中考真題）已知拋物線y=f+區(qū)-嚴(yán)的對(duì)稱(chēng)軸在），軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線

先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線正好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原

點(diǎn)，則A的值是（）

A.-5或2B.-5C.2D.-2

【分析】根據(jù)拋物線平移規(guī)律寫(xiě)出新拋物線解析式，然后將（0,0）代入，求得女的值.

【解答】解：?.?拋物線）?=/+日-F的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，

;.x=-K>o,

2

：.k<0.

2

,:拋物線y=/+Ax-F=（x+K）2_&

24

...將該拋物線先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線的

2

表達(dá)式是：尸（x+區(qū)-3）2-2K-+I,

24

2

二將（0,0）代入，得0=（0+區(qū)-3）2-且￡_+[,

24

解得％=2（舍去），k2—-5.

故選：B.

9.（2021?岳陽(yáng)?中考真題）定義：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱(chēng)

為''互異二次函數(shù)”.如圖，在正方形。ABC中，點(diǎn)A（0,2）,點(diǎn)C（2,0）,則互異二

次函數(shù)y=與正方形O4BC有交點(diǎn)時(shí)m的最大值和最小值分別是（）

【分析】畫(huà)出圖象，從圖象可以看出，當(dāng)函數(shù)圖象從左上向右下運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)跟正方形有

交點(diǎn)時(shí)，先經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,再逐漸經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，點(diǎn)8,點(diǎn)C,最后再經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,且在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程

中，兩次經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,兩次經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，點(diǎn)B和點(diǎn)C,只需算出當(dāng)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A及點(diǎn)B時(shí)阻

的值，即可求出，〃的最大值及最小值.

【解答】解：如圖，由題意可得，互異二次函數(shù)y=2-加的頂點(diǎn)(,w>-m)在

在正方形。48c中，點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)C(2,0),

:.B(2,2),

從圖象可以看出，當(dāng)函數(shù)圖象從左上向右下運(yùn)動(dòng)時(shí)，若拋物線與正方形有交點(diǎn)，先經(jīng)過(guò)

點(diǎn)A,再逐漸經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,點(diǎn)8,點(diǎn)C,最后再經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,且在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，兩次經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A,兩次經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，點(diǎn)8和點(diǎn)C,

...只需算出當(dāng)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)4及點(diǎn)8時(shí)m的值，即可求出m的最大值及最小值.

當(dāng)互異二次函數(shù).y=(x-w)2-"z經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(0,2)時(shí)，"?=2或"?=-1；

當(dāng)互異二次函數(shù)y=(尤-，")2-經(jīng)過(guò)點(diǎn)2(2,2)時(shí)，或〃?=包4豆.

22

互異二次函數(shù).y=(x-"?)2-m與正方形OA8C有交點(diǎn)時(shí)m的最大值和最小值分別是

_L

2

故選：D.

10.(2