2019-2021全國高考數(shù)學(xué)真題匯編：空間幾何體（教師版）

2019-2021全國高考數(shù)學(xué)真題匯編：空間幾何體

選擇題（共7小題）

1.（2021?新高考I）已知圓錐的底面半徑為圾，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.2圾C.4D.4圾

2.（2021?甲卷）在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG后,

正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

正視圖

3.（2019?上海）一個直角三角形的兩條直角邊長分別為1和2,將該三角形分別繞其兩個直角邊旋轉(zhuǎn)得到的兩個圓

錐的體積之比為（）

A.1B.2C.4D.8

4.（2020?新課標H）如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對應(yīng)的點為M,在俯視

圖中對應(yīng)的點為"（）

A.EB.FC.GD.H

5.（2020?新課標I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐.以該四棱錐的高為

邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比

值為（）

AV5-1RV5-1cf+1D娓+1

4242

6.（2021?甲卷）已知4,B,C是半徑為1的球。的球面上的三個點，且ACLBC,則三棱錐O-ABC的體積為

（）

A.返B.3C.返D.近

121244

7.（2021?新高考II）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則其體積為（）

A.20+125/3B.2872C.學(xué)D.28^

33

二.多選題（共1小題）

點尸滿足而=入前而；其中入C[0,1],1],則

8.(2021?新高考I)在正三棱柱ABC-4BC中，AB=AAI=1,

()

A.當(dāng)入=1時，△A3P的周長為定值

B.當(dāng)卜=1時，三棱錐P-MBC的體積為定值

C.當(dāng)入=工時，有且僅有一個點P,使得AiPLBP

2

D.當(dāng)^=_1?時，有且僅有一個點P,使得平面4B|P

三.填空題（共11小題）

9.（2021?上海）已知圓柱的底面半徑為1,高為2,則圓柱的側(cè)面積為.

10.（2021?甲卷）已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30兀，則該圓錐的側(cè)面積為.

11.（2020?江蘇）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為

2cm,高為2cm則此六角螺帽毛坯的體積是c加.

12.（2021?乙卷）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖

（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖①圖②圖③

圖④圖⑤

13.（2020?浙江）已知圓錐的側(cè)面積（單位：。蘇）為2兀，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑

（單位：aw）是

14.（2020?海南）已知正方體A8CD-A1BCQ1的棱長為2,M、N分別為班卜A8的中點，則三棱錐A-NMA的

體積為.

15.（2019?天津）已知四棱錐的底面是邊長為&的正方形，側(cè)棱長均為、而，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中

心，則該圓柱的體積為.

16.（2019?江蘇）如圖,長方體4BC￡）-A出|C。|的體積是120,E為CG的中點,則三棱錐E-8C。的體積是.

17.（2019?新課標HD學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3。打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體ABCD-AIBIGS

挖去四棱錐O-EFG”后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E,F,G,H分別為所在棱的中點，A4i=

4cm.3。打印所用原料密度為0.9g/c".不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

G

18.（2020?新課標I）如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，4c=1?,ABLAC,AB1.AD,則cosNFCB

19.（2021?上海）己知圓柱的底面圓半徑為1,高為2,AB為上底面圓的一條直徑，則ABC的面積的取值范圍

為.

四.解答題（共4小題）

20.（2020?上海）已知四棱錐P-ABC。，底面ABC。為正方形，邊長為3

（1）若PC=5,求四棱錐P-ABCZ）的體積；

（2）若直線A。與8P的夾角為60。，求PO的長.

21.（2019?新課標H）如圖，長方體ABC。-4B1GA的底面ABCD是正方形，點E在棱A4i上，BELEC\.

（1）證明：BE_L平面EBCi；

(2)若AE=AiE,A8=3,求四棱錐E-BBCC的體積.

22.(2020?新課標II)如圖，已知三棱柱A8C-4BiG的底面是正三角形，側(cè)面BBGC是矩形，M,N分別為8C,

BiG的中點，P為AM上一點.過81G和尸的平面交AB于E,交AC于F.

(1)證明：AAt//MN,且平面A|AMN_L平面EBiGF；

TT

(2)設(shè)。為△A|B1G的中心.若4O=A8=6,AO〃平面EBiGF,且求四棱錐8-E5GF的體

3

積.

23.(2021?甲卷)已知直三棱柱ABC-AIBIG中，側(cè)面4488為正方形，AB=BC=2,E,尸分別為AC和CG的

中點,BF±AiBi.

(1)求三棱錐F-EBC的體積；

(2)已知￡＞為棱A山?上的點，證明：BFA.DE.

C

2019-2021全國高考數(shù)學(xué)真題匯編：空間幾何體

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

1.（2021?新高考I）已知圓錐的底面半徑為如，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.2&C.4D.472

【分析】設(shè)母線長為/，利用圓錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半

徑，列出方程，求解即可.

【解答】解：由題意，設(shè)母線長為/,

因為圓錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半徑，

則有2兀?6=兀?1,解得1=班，

所以該圓錐的母線長為2泥.

故選：B.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)體的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握圓錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的

母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半徑，考查了邏輯推理能力與運算能力和空間思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2021?甲卷）在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG后，

正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

【分析】作出正方體，截去三棱錐A-EFG,根據(jù)正視圖，擺放好正方體，即可求解側(cè)視圖.

【解答】解：由題意，作出正方體，根據(jù)正視圖，

可得A-EFG在正方體左側(cè)面，如圖，

可得相應(yīng)的側(cè)視圖是。圖形,

故選：D.

【點評】本題考查簡單空間圖形的三視圖，屬基礎(chǔ)題.

3.（2019?上海）一個直角三角形的兩條直角邊長分別為1和2,將該三角形分別繞其兩個直角邊旋轉(zhuǎn)得到的兩個圓

錐的體積之比為（）

A.1B.2C.4D.8

【分析】直接利用圓錐的體積公式求得兩個圓錐的體積，作比得答案.

【解答】解：如圖,

則兀X22X：B4兀，X62X2=1-n.

兩個圓錐的體積之比為V—=2.

故選:B.

【點評】本題考查圓錐的定義，考查圓錐體積的求法，是基礎(chǔ)題.

4.（2020?新課標H）如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對應(yīng)的點為M,在俯視

圖中對應(yīng)的點為可（）

A.EB.FC.GD.H

【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖，進一步求出圖形中的對應(yīng)點.

【解答】解：根據(jù)三視圖和幾何體的對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用，這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對應(yīng)的點為M，

所以在側(cè)視圖中與點E對應(yīng).

故選：A.

【點評】本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換、主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思

維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

5.（2020?新課標I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐.以該四棱錐的高為

邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比

值為（）

、娓TR_D

---V5D.l---------rV5+1---------fU+1.---------

4242

【分析】先根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)列出等量關(guān)系，進而求解結(jié)論.

【解答】解：設(shè)正四棱錐的高為從底面邊長為”,

h2=^-ah/

則依題意有：1,

h2=h'2-(1)2

因此有序-(且)2=工成，=4(匕)2-7(L)…『等個舍去）;

58aa

故選：C.

【點評】本題主要考查棱錐的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

6.（2021?甲卷）已知A,B,C是半徑為1的球。的球面上的三個點，KACLBC,則三棱錐。-ABC的體積為

（）

A.返B.返C.返D.返

121244

【分析】先確定△A8C所在的截面圓的圓心。|為斜邊AB的中點，然后在RtZXABC和Rt^AOOl中，利用勾股

定理求出OOi，再利用錐體的體積公式求解即可.

【解答】解：因為4C_LBC,AC=BC=\,

所以底面ABC為等腰直角三角形，

所以△ABC所在的截面圓的圓心01為斜邊AB的中點，

所以。。3,平面ABC,

在RtZ\ABC中，4B=〃C2+BC2s貝率，

在RtzMOOi中，oo[巾/_卜。:坐,

故三棱錐°-ABC的體積為?SAABC-OOj-yXyX3XlX卓關(guān)?

故選：A.

【點評】本題考查了錐體外接球和錐體體積公式，解題的關(guān)鍵是確定△A8C所在圓的圓心的位置，考查了邏輯推

理能力、化簡運算能力、空間想象能力，屬于中檔題.

7.（2021?新高考H）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則其體積為（）

A.20+1273B.28加56D.2872

T3

【分析】過A作AELArBi，得4￡=等=1,AE={AA]2_A[E2=F.連接AC,AiG，過A作AG，4G，

求出4G=J5,從而AG=JAA[2_A]G2=&，由此能求出正四棱臺的體積.

【解答】解：如圖ABC。-48iG￡>i為正四棱臺，AB=2,A2Bt=4,AA3=2.

在等腰梯形A山3班中，過A作AELA山可得人歸=生2=1，

5

AE=《Ah：-A臼反仁如.

連接AC,4G，

AC=V^=2點,A3czi6+16=4促,

過A作AGLAiG，A2=回之叵=C

2

AG=由12-A6G2=g=Vi

，正四棱臺的體積為：

s上+sp+{s上?S下

丫=-------------------Xh

0

_62+42地2*§2

X

3亞

-28V2

3

故選：D.

【點評】本題考查四棱臺的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解

能力、推理論證能力，是中檔題.

二.多選題（共1小題）

8.（2021?新高考I）在正三棱柱ABC-4BC中，AB=A4i=1,點P滿足而=入前而；其中?iC[0,1],1],則

（）

A.當(dāng)入=1時，△ABP的周長為定值

B.當(dāng)p=l時，三棱錐P-4BC的體積為定值

C.當(dāng)入=工時，有且僅有一個點P,使得APLBP

2

D.當(dāng)^1=>1?時，有且僅有一個點尸，使得48J_平面ABP

【分析】判斷當(dāng)入=1時，點尸在線段CG上，分別計算點戶為兩個特殊點時的周長，即可判斷選項A；當(dāng)^=

1時，點尸在線段8G上，利用線面平行的性質(zhì)以及錐體的體積公式，即可判斷選項8；當(dāng)入=工時，取線段

2

BC,5G的中點分別為M,Mi，連結(jié)MM,則點P在線段上，分別取點尸在M”M處，得到均滿足AjP

IBP,即可判斷選項C；當(dāng)|1=/時，取CG的中點A，8B|的中點。，則點P在線的陽上，證明當(dāng)點P在

點2處時，AiB,平面A8Q1，利用過定點A與定直線4B垂直的平面有且只有一個，即可判斷選項D

【解答】解：對于4，當(dāng)A.=1時，BP=BCBBJ即而=(1BB；，所以而口BB1

故點P在線段CG上，此時AAB3P的周長為AS+B1P+AP,

當(dāng)點尸為CC4的中點時，△ASP的周長為遙啦，

當(dāng)點P在點Ci處時，△ABiP的周長為蚯+1,

故周長不為定值，故選項A錯誤；

對于B，當(dāng)四=7時，BP=XBC+BB]-即用=入麗帝”前，

故點P在線段81cl上，

因為&G〃平面ABC,

所以直線B3cl上的點到平面A}BC的距離相等，

又△4BC的面積為定值，

所以三棱錐P-A|8C的體積為定值，故選項8正確;

山|￡

B

對于C,當(dāng)入=1時，囪G的中點分別為M,%,連結(jié)MiM,

3

因為而q正+|1而;即而=|1可，所以而I可，

則點P在線段MM上，

當(dāng)點P在Mi處時,AMJ_BC4,A\M\LBZB,

又BICCB7B=BI，所以A1M2,平面BBIGC,

又BM3U平面BBIGC,所以A5M_LBM，即A6P，BP,

同理，當(dāng)點P在M處，MPLBP,故選項C錯誤；

對于。，當(dāng)?時?的中點出，的中點。，

因為市二入立,前^即而二人近，所以而〃同，

則點P在線的。。|上，

當(dāng)點P在點。1處時，取AC的中點E4E,BE,

因為BEJ_平面ACG4，又4。6<=平面4CG4，所以ACU-LBE,

在正方形ACGAi中，AD21AI￡,

XBEC}AiE=E,BE,46氏平面A18E,

故AdJL平面4BE,又4Bu平面48E,所以AgBLAOi,

在正方體形ABB1A4中，A\BY.AB\,

又AD8nABi=A,ADi，A&u平面ABQi，所以A/_L平面ABQi，

因為過定點A與定直線A3B垂直的平面有且只有一個，

故有且僅有一個點P,使得AiB,平面ABiP,故選項。正確.

故選：BD.

【點評】本題考查了動點軌跡，線面平行與線面垂直的判定，錐體的體積問題等，綜合性強，考查了邏輯推理能

力與空間想象能力，屬于難題.

三.填空題（共11小題）

9.（2021?上海）已知圓柱的底面半徑為I,高為2,則圓柱的側(cè)面積為4兀.

【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式計算即可.

【解答】解：圓柱的底面半徑為r=l,高為〃=2,

所以圓柱的側(cè)面積為S?）=5兀歷=2"卜3=4兀.

故答案為：4兀.

【點評】本題考查了圓柱的側(cè)面積公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

10.（2021?甲卷）已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30兀，則該圓錐的側(cè)面積為39兀.

【分析】由題意，設(shè)圓錐的高為人根據(jù)圓錐的底面半徑為6,其體積為30兀求出〃，再求得母線的長度，然后

確定圓錐的側(cè)面積即可.

【解答】解：由圓錐的底面半徑為6,其體積為30兀，

設(shè)圓錐的高為人,則-"X（兀X62）Xh=30兀，解得h^，

所以圓鏈的母線長H（_1）2+66喏，

所以圓錐的側(cè)面積S=7Trl=兀X6X—=39^：.

4

故答案為：397r.

【點評】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式和圓錐的體積公式，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2020?江蘇）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為

2cm,高為257,則此六角螺帽毛坯的體積是」2y號TT

【分析】通過棱柱的體積減去圓柱的體積，即可推出結(jié)果.

【解答】解：六棱柱的體積為：6X-1-X2X2Xsin600X4=12/3'

TT

圓柱的體積為：兀x（0.5）2x2=——,

4

所以此六角螺帽毛坯的體積是：（12愿g）C7/3

故答案為：

【點評】本題考查柱體體積公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基本知識的考查.

12.（2021?乙卷）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖上

⑤或③④（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖①圖②圖③

圖④圖⑤

【分析】通過觀察已知條件正視圖，確定該正視圖的長和高，結(jié)合長、高、以及側(cè)視圖視圖中的實線、虛線來確

定俯視圖圖形.

【解答】解：觀察正視圖，推出正視圖的長為2和高1,即可能為該三棱錐的側(cè)視圖,

④⑤圖形的長為3,即可能為該三棱錐的俯視圖,

當(dāng)②為側(cè)視圖時，結(jié)合側(cè)視圖中的直線,

當(dāng)③為側(cè)視圖時，結(jié)合側(cè)視圖虛線，可以確定該三棱錐的俯視圖為④.

故答案為：②⑤或③④.

【點評】該題考查了三棱錐的三視圖，需要學(xué)生掌握三視圖中各個圖形邊長的等量關(guān)系，以及對于三視圖中特殊

線條能夠還原到原立體圖形中，需要較強空間想象，屬于中等題.

13.（2020?浙江）已知圓錐的側(cè)面積（單位：cm?）為2兀，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑

（單位：cwt）是1cm.

【分析】利用圓錐的側(cè)面積，求出母線長，求解底面圓的周長，然后求解底面半徑.

【解答】解：；圓錐側(cè)面展開圖是半圓，面積為2兀a",

設(shè)圓錐的母線長為則gX"2兀=3兀，；.a=2c/n,

2

.?.側(cè)面展開扇形的弧長為2兀?！?

設(shè)圓錐的底面半徑。C=rc/n,則771r=2幾.

故答案為：1。".

【點評】本題考查圓錐的母線長的求法，注意利用圓錐的弧長等于底面周長這個知識點.

14.（2020?海南）己知正方體的棱長為2,M、N分別為8囪、AB的中點，則三棱錐A-MW。1的

體積為工.

-3-

【分析】由題意畫出圖形，再由等體積法求三棱錐A的體積.

【解答】解：如圖，

?.?正方體ABCO-ABCA的棱長為2,M、N分別為887、AB的中點，

???SAANM4X5X1=T

711

?■-VA-NMD1=VDrAO^-X-X2T

故答案為：1.

3

【點評】本題考查利用等體積法求多面體的體積，是基礎(chǔ)的計算題.

15.（2019?天津）已知四棱錐的底面是邊長為&的正方形，側(cè)棱長均為泥，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中

心，則該圓柱的體積為—.

一4一

【分析】求出正四棱錐的底面對角線長度和正四棱錐的高度，根據(jù)題意得圓柱上底面的直徑就在相對中點連線,

有線段成比例求圓柱的直徑和高，求出答案即可.

【解答】解：由題作圖可知，四棱錐底面正方形的對角線長為2,

由勾股定理得：正四棱錐的高為2,

由于圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，

有圓柱的上底面直徑為底面正方形對角線的一半等于7,即半徑等于工；

2

由相似比可得圓柱的高為正四棱錐高的一半7,

則該圓柱的體積為：V=sh=K（1）4x1=三；

24

故答案為：—

5

【點評】本題考查正四棱錐與圓柱內(nèi)接的情況，考查立體幾何的體積公式，屬基礎(chǔ)題.

16.（2019?江蘇）如圖，長方體ABCD-A\BxC\D\的體積是120,E為CG的中點，則三棱錐E-BCD的體積是

10

【分析】推導(dǎo)出如廿ABCD=ABXBCX￡)G=120,三棱錐E-BCD的體積：V￡-Bco=^-XSABCDXCE=

1111o

■yX^XBCXDCXCE=*xA8x8Cxr>Oi，由此能求出結(jié)果?

【解答】解：；長方體A8CD-4SC3。的體積是120,E為CC的中點,

=ABXSCXZ)Z)=120

??W-A7B1C1D4''

三棱錐E-BCQ的體積：

V￡-?CD-|XSABCDXCE

=^1-Xy4XBCXDCXCE

=-xABxBCxDDs

12

=10.

故答案為：10.

【點評】本題考查三棱錐的體積的求法，考查長方體的結(jié)構(gòu)特征、三棱錐的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力,

考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

17.（2019?新課標III）學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3。打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體

挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中。為長方體的中心，E,F,G,，分別為所在棱的中點，A4|=

4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為118.8'

G

【分析】該模型體積為VRKD-ABCD'-^GW=6x6x4-yX(4X6-4XyX3X2)X3=132(c/n3),再

由30打印所用原料密度為O.9g/C7?3,不考慮打印損耗，能求出制作該模型所需原料的質(zhì)量.

【解答】解：該模型為長方體挖去四棱錐0-EFGH后所得的幾何體，其中。為長方體的中

心，

E,F,G,H,分別為所在棱的中點，A4i=4c〃?，

.?.該模型體積為：

VABCD-AIB/ZDI

=6x5x4--i-x(4X6-7XyX5X2)X3

=144-12=132(cm4),

,：3D打印所用原料密度為0.8g/c”，不考慮打印損耗，

.?.制作該模型所需原料的質(zhì)量為：132x0.4=118.8(g).

故答案為：118.8.

【點評】本題考查制作該模型所需原料的質(zhì)量的求法，考查長方體、四棱錐的體積等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與

計算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

18.(2020?新課標I)如圖，在三棱錐P-A8C的平面展開圖中，AC=l、/§,ABLAC,ABLAD,則cosNFC8=

.1

【分析】根據(jù)條件可知。、E、尸三點重合，分別求得BC、CF、8尸即可.

【解答】解：由已知得五AB=近，

因為。、E、尸三點重合J7，BF=BD=y[^[i，

則在△人（；￡中，由余弦定理可得CE3^AC2+AE2-7Aa4E?cos/CAE=1+3-6折返=1,

8

所以CE=CF=\,

則在△BCF中，由余弦定理得cosNfCB=§￡3二三__L,

6BC-CF2X1X44

故答案為：一3.

4

【點評】本題考查三棱錐展開圖，涉及余弦定理的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

19.（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為1,高為2,AB為上底面圓的一條直徑，則A8C的面積的取值范圍為

[2,巡

【分析】上頂面圓心記為0,下底面圓心記為0',連接0C,過點C作CM_LA8,垂足為點M,由于A8為定值,

則SAMC的大小隨著CM的長短變化而變化，

分別求解CM的最大值和最小值，即可得到答案.

【解答】解：如圖1,上底面圓心記為0,

圖1圖2圖3

連接OC,過點C作CMA-AB,

則S/kABcIxABXCH，

根據(jù)題意，AB為定值的大小隨著CM的長短變化而變化，

如圖2所示，當(dāng)點M與點0重合時6^7^=粕，

此時SAABC取得最大值為"X2X

如圖3所示，當(dāng)點M與點B重合，

此時SAABC取得最小值為工X2X2=2-

6

綜上所述，SMBC的取值范圍為［2,V51.

故答案為：［4,VBL

【點評】本題考查了空間中的最值問題，將三角形面積的最值問題轉(zhuǎn)化為求解線段CM的最值問題進行求解是解

題的關(guān)鍵，考查了空間想象能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.

四.解答題(共4小題)

20.(2020?上海)已知四棱錐P-A8CD,底面ABC。為正方形，邊長為3

(1)若尸C=5,求四棱錐P-ABC。的體積；

(2)若直線A。與BP的夾角為60。，求PO的長.

【分析】(1)利用已知條件求出，棱錐的高，然后求解棱錐的體積即可.

(2)由已知中四棱錐P-ABCD的底面是邊長為3的正方形，平面ABCD.異面直線AD與P3所成角為

60°,可得△PBC為直角三角形，且/P8C=60。，BC=3,代入求出尸C后，解直角△「￡)(?可得答案.

【解答】解：(1)：/＞。_1平面48?！?,；.「￡)_1。仁

；CZ)=3,：.PC=5,

3

-'-VP-ABCD=^-X3X4二⑵

3

所以四棱錐P-ABCD的體積為12.

(2)是正方形，PD_L平面A8CD,

：.BC±PD,BCLCD

又：PDCiCD=D

；.8C_L平面PCD

：.BC±PC

???異面直線A。與PB所成角為60。，BC//AD

.?.在RtZ\PBC中，ZPBC=60°

故PC=3代

在Rtz^PDC中，CD=3

：.PD=3y/3

【點評】本題考查兒何體的體積，空間點線面的距離的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力計算能力，是中檔

題.

21.(2019?新課標II)如圖，長方體ABC。-AIBCIA的底面ABCD是正方形，點E在棱A4i上，BEYECi.

(1)證明：BE工平面EBiCi；

(2)若AE=Ai￡AB=3,求四棱錐E-BBCC的體積.

【分析】(1)由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)合BELEG利用線面垂直的判定定理可證明平面EBC；

(2)由條件可得AE=A8=3,然后得到E到平面B8CC的距離d=3,在求四棱錐的體積即可.

【解答】解：(1)證明：由長方體4BCO-4BC7A，可知

81c2_L平面A88|Ai，BEu平面ABBMi，

??B\C^A-BEy

VBE±ECHBiC3nECi=Ci，

???8E_L平面EBiC\；

(2)由(1)知NBEBi=9()。，由題設(shè)可知"△45EZRtAA8BiE,

AZAEB=ZA\EB3=45°,，AE=AB=3I=2AE=6,

?.?在長方體ABC。-A山8。。|中，448〃平面BBiCC,E^AA(,,4BJ_平面881clC,

到平面BB2cle的距離d=AB=3,

...四棱錐E-BBoCiC的體積V=JLX3X6X4=18.

6

【點評】本題考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)，考查了四棱錐體積的求法，屬中檔題.

22.(2020?新課標H)如圖，已知三棱柱4BC-48iG的底面是正三角形，側(cè)面B8GC是矩形，M,N分別為BC,

?Ci的中點，P為AM上一點.過81cl和P的平面交AB于E,交4c于凡

(1)證明：AAi//MN,且平面AiAMNJ_平面EBiC/；

TT

(2)設(shè)。為△ABiG的中心.若AO=AB=6,AO〃平面EBC/,且NMPN=—,求四棱錐B-EBiG尸的體

3

積.

【分析】(1)先求出線線平行，可得線線垂直，即可求線面垂直，最后可得面面垂直；

(2)利用體積轉(zhuǎn)化法，可得V。s四邊形再分別求MH,S四邊形EB|C|F即可求結(jié)論.

"B-EB[C]F31111

【解答】證明：(1)由題意知A4〃BB|〃CC8，

又：側(cè)面8B1GC是矩形且M,N分別為BC,B8cl的中點，

；.MN〃BBi，BB4LBC,

：.MN//AAx，MNLBCs，又底面是正三角形,

：.AM±BC,A1MLBC2,

又；MNCAM=M,平面4狀MM

TSCiU平面EB2C\F,

平面AiAMNJ_平面EB2C1F；

解：（2）；4。〃平面EBC2凡AOu平面AAMN,

平面AiAMNCl平面EB?CiF=NP,：.AO//NP,

'JNO//AP,:.AO=NP=6,

為△A5B1G的中心,