實變函數(shù)題庫

《實變函數(shù)》試題題庫一、計算題1、設(shè)，計算。2、設(shè)，計算。3、設(shè)，計算。4、設(shè)為Cantor集，，計算。5、設(shè)為Cantor集，，計算。6、設(shè)為Cantor集，，計算。7、求。8、求。9、求。10、求。11、求。12、求。二、簡答題1、構(gòu)造{自然數(shù)全體}到{偶數(shù)全體}的一一映射.2、構(gòu)造(0,1)到R的一一映射.3、構(gòu)造(0,1)到[0,]的一一映射.4、構(gòu)造{能被3整數(shù)整除的正整數(shù)}到{正整數(shù)全體}的一一映射.5、構(gòu)造(0,1)到(0,1)(2,3)的一一映射.6、構(gòu)造{奇數(shù)全體}到{偶數(shù)全體}的一一映射.7、（請說明：在上的函數(shù)列，，不測度收斂于8、請敘述L測度的可列可加性。9、若在可測集E上可測，則，在E上也可測。10、請指出L可測集和集的關(guān)系。11、用可測函數(shù)的定義說明狄里克雷函數(shù)在[0,1]可測。12、從基數(shù)的角度請舉出三種零測集的例子。三、填空題1、設(shè)A為一集合，B是A的所有子集構(gòu)成的集合；若=n,則=2、設(shè)A為一集合，B是A的所有子集構(gòu)成的集合；若A是一可數(shù)集,則=3、若,,則4、若,B是一可數(shù)集,則5、若,,則6、若是一集合列,且,7、若是任意集族,其中I是指標(biāo)集,則=8、若是任意集族,其中I是指標(biāo)集,則=9、若是任意集族,其中I是指標(biāo)集,S是一集合,則=10、若是任意集族,其中I是指標(biāo)集,S是一集合,則=11、若是任意一個集合列,則12、若是任意一個集合列,則13、歐氏空間中,任意兩點,的距離d(x,y)=14、C[a,b]空間中,任意兩元素x(t),y(t)的距離d(x,y)=15、空間中,任意兩元素,的距離d(x,y)=16、歐氏空間中,任意兩點,的距離d(x,y)=17、歐氏空間中,任意兩點,的距離d(x,y)=18、歐氏空間中,任意兩點,的距離d(x,y)=19、設(shè),,則=20、設(shè),,則=21、設(shè),,則=22、設(shè),,則＇=23、設(shè),,則=24、設(shè),,則＇=25、設(shè)A=[0,1],B=[3,4],則d(A,B)=26、設(shè)C是康托完備集,G=[0,1]－C,則d(C,G)=27、設(shè)C是康托完備集,則C的半徑=28、兩個非空集合A,B距離的定義為d(A,B)=29、一個非空集合A的直徑的定義為=30、設(shè)A=[0,1]Q,則=31、，對每一列覆蓋E的開區(qū)間，定義________。32、設(shè)是一列遞增的可測集合，則________。33、設(shè)是定義在可測集上的實函數(shù)，若，有_______，則稱在E上可測。34、的定義為_________________________。35、設(shè)A=“開集類”，B=“波雷爾集類”，C=“可測集類”，D=“型集類”。那么A，B，C，D的關(guān)系是__________。36、I是區(qū)間，則mI=________37、[a,b]上的連續(xù)函數(shù)及單調(diào)函數(shù)都是________。38、葉果洛夫定理反映了_______與________的關(guān)系。39、設(shè)，E有界，I為任一包含E的開區(qū)間，則____40、稱為測度的________41、可測集上的連續(xù)函數(shù)都是________。42、可測函數(shù)列的極限是_________。43、若，則，這稱為外測度的________。44、若集合G能表示成________則稱G為集。45、實變函數(shù)中的函數(shù)連續(xù)性是數(shù)學(xué)分析中函數(shù)連續(xù)性的______。46、幾乎處處是與_______有關(guān)的概念。47、設(shè)，若對都有________則稱E是L可測的。48、若集合F能表示成_______則稱F為集。49、E上的簡單函數(shù)，指的是對E進(jìn)行有限不變可測分解后，每一個可測子集上都取_______的函數(shù)。50、魯金定理反映了______與______的關(guān)系。51、設(shè)是一列遞減可測集合，且，，則_________。52、L可測集和波雷爾集相差一個________。53、兩個可測函數(shù)的四則運(yùn)算（假定它們都有意義）結(jié)果______。54、函數(shù)列在不一致收斂于1，且不______收斂于1。55、設(shè)在可測集上可積，則（）56、（敘述積分的絕對連續(xù)性）設(shè)在上可積，則對任何可測集，有（）57、設(shè)為Cantor集，則（）58、設(shè)為Cantor集，則（）59、設(shè)為有理數(shù)集，則（）60、設(shè)為自然數(shù)集，則（）四、選擇題下列對象不能構(gòu)成集合的是:（）A、全體自然數(shù)B、0,1之間的實數(shù)全體C、[0,1]上的實函數(shù)全體D、全體大個子2、下列對象不能構(gòu)成集合的是:（）A、{全體實數(shù)}B、{全體整數(shù)}C、{全體小個子}D、{x：x>1}3、下列對象不能構(gòu)成集合的是:（）A、{全體實數(shù)}B、{全體整數(shù)}C、{x：x>1}D、{全體胖子}4、下列對象不能構(gòu)成集合的是:（）A、{全體實數(shù)}B、{全體整數(shù)}C、{x：x>1}D、{全體瘦子}5、下列對象不能構(gòu)成集合的是:（）A、{全體小孩子}B、{全體整數(shù)}C、{x：x>1}D、{全體實數(shù)}6、下列對象不能構(gòu)成集合的是:（）A、{全體實數(shù)}B、{全體大人}C、{x：x>1}D、{全體整數(shù)}7、設(shè),I

為全體實數(shù),則=()A、(-1,1)B、(-1,0)C、(-,+)D、(1,+)8、設(shè),,則=()A、(-1,1)B、(-1,0)C、[0,1]D、[-1,1]9、設(shè),,則=()A、(0,1)B、[0,1]C、[0,1]D、(0,+)10、設(shè),,則=()A、[1,2]B、(1,2)C、(0,3)D、(1,2)11、設(shè),,則=()A、(-1,1)B、[0,1]C、ΦD、{0}12、設(shè),,則=()A、(-1,1)B、[0,1]C、ΦD、{0}13、設(shè),,,則()A、[0,2]B、[0,2]C、[0,1]D、[0,1]14、設(shè),,,則()A、[0,2]B、[0,2]C、[0,1]D、[0,1]15、設(shè),,則()A、ΦB、[0,n]C、RD、(0,)16、設(shè),,則()A、(0,1)B、(0,)C、{0}D、Φ17、設(shè),,,則()A、ΦB、(0,)C、(0,n)D、(0,)18、設(shè),,,則()A、ΦB、(0,)C、(0,n)D、(0,)19、設(shè)A、B、C是三個集合,則A-(A-B)=()A、BB、AC、ABD、AB20、設(shè)A、B、C是三個集合,則A-(BC)=()A、(A-B)(A-C)B、(A-B)(A-C)C、ABD、AC21、設(shè)A、B、C是三個集合,則A-(BC)=()A、(A-B)(A-C)B、(A-B)(A-C)C、ABD、AC22、設(shè)A、B、S是三個集合,且,,則=()A、B、C、D、23、設(shè)A、B、S是三個集合,且,,則=()A、B、C、D、24、設(shè)A、B、C是三個集合,則A-(B-C)=()A、AC-BB、A-B-CC、(A-B)(AC)D、C-(B-A)25、集合E的全體內(nèi)點所成的集合稱為E的()A、開核B、邊界C、導(dǎo)集D、閉包26、集合E的全體聚點所成的集合稱為E的()A、開核B、邊界C、導(dǎo)集D、閉包27、集合E的全體邊界點和內(nèi)點所成的集合是E的()A、開核B、邊界C、導(dǎo)集D、閉包28、E-E＇所成的集合是()A、開核B、邊界C、外點D、{E的全體孤立點}29、E的全體邊界點所成的集合稱為E的()A、開核B、邊界C、導(dǎo)集D、閉包30、設(shè)點P是集合E的邊界點,則()A、P是E的聚點B、P是E的孤立點C、P是E的內(nèi)點D、P是的邊界點31、設(shè),則下列那一個是G的構(gòu)成區(qū)間:()A、(0,1)B、(,1)C、[0,1]D、(0,2)32、設(shè),,則下列那一個是G的構(gòu)成區(qū)間:()A、(0,1)B、(0,2)C、(-1,)D、(-1,2)33、設(shè),,則下列那一個是G的構(gòu)成區(qū)間:()A、(0,1)B、(3,4)C、(0,4)D、(1,4)34、設(shè),,則下列那一個是G的構(gòu)成區(qū)間:()A、(0,1)B、(0,3)C、(0,4)D、(1,4)35、設(shè),,則下列那一個是G的構(gòu)成區(qū)間:()A、(0,1)B、(0,2)C、(1,2)D、(1,4)36、設(shè),,則下列那一個是G的構(gòu)成區(qū)間:()A、(,)B、(1,2)C、(0,1)D、(-1,0)37、若，則下列命題錯誤的是：()A、B、A＇B＇C、D、38、若,則下列命題正確的是：（）A、B、A＇B＇=C＇C、D、{A的孤立點}{B的孤立點}={C的孤立點}39、若,則下列命題錯誤的是：（）A、B、C＇A＇B＇C、D、{A的孤立點}{B的孤立點}={C的孤立點}40、設(shè)是A的余集，則下列命題正確的是：（）A、B、C、C(A＇)＝（CA）＇D、41、設(shè)A－B=C,則下列命題正確的是：（）A、B、C、A＇－B＇＝C＇D、{A的孤立點}－{B的孤立點}={C的孤立點}42、(2-4-1-2)下列命題錯誤的是：（）A、是閉集B、A＇是閉集C、是閉集D、是閉集43、若A是閉集，B是開集，則A－B是：（）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷44、若A是開集，B是閉集，則A－B是：（）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷45、若是一開集列，則是：（）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷46、若是一開集列，則是：（）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷47、若是一閉集列，則是：（）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷48、若是一閉集列，則是：（）A、開集B、閉集C、既非開集又非閉集D、無法判斷49、若，則（）A、0B、1C、2D、350、下述結(jié)論（）正確.A、B、C、D、51、下列說法正確的是（）A、在（0，1）有限B、在無界C、，在[0，1]有限D(zhuǎn)、，在[0，1]有界52、函數(shù)列在[0，1]上（）于0.A、a，e一致收斂B、收斂C、一致收斂D、基本上一致收斂53、設(shè)E是[0，1]中的不可測集，則下列函數(shù)在[0，1]上可測的是（）.A、B、C、D、54、若可測，則它必是（）.A、連續(xù)函數(shù)B、單調(diào)函數(shù)C、簡單函數(shù)D、簡單函數(shù)列的極限55、若，則（）A、0B、1C、2D、356、下列說法不正確的是（）A、E的測度有限，則E必有界B、E的測度無限，則E必?zé)o界C、有界點集的測度有限D(zhuǎn)、的測度無限57、（4-4-2-1）下述論斷正確的是（）A、在無界B、在有限C、在有界D、在有限58、函數(shù)列在[0,2]上（）于0.A、收斂B、一致收斂C、基本上一致收斂D、a.e.一致收斂59、設(shè)其中E是[0,1]的不可測集，則下列函數(shù)在[0,1]可測的是（）.A、B、C、D、60、一個函數(shù)在其定義域中的（）點處都是連續(xù)的.A、邊界點B、內(nèi)點C、聚點D、孤立點.61、是康托爾（cantor）集，則（）A、0B、1C、2D、362、設(shè)A是B的真子集，則（）A、B、C、D、63、下列說法正確的是（）A、在無界B、在有限C、在有界D、在有限64、函數(shù)列在上（）于0.A、收斂B、一致收斂、C、基本上一致收斂D、a.e.一致收斂65、設(shè)E是[0,1]上的不可測集，則下列函數(shù)在[0,1]可測的是（）.A、B、C、D、66、設(shè)E為可測集，則下列結(jié)論中正確的是（）A、若在E上a,e收斂于一個a,e有限的可測函數(shù)，則一致收斂于B、若在E上a,e收斂于一個a,e有限的可測函數(shù)，則基本上一致收斂于C、若在E上a,e收斂于一個a,e有限的可測函數(shù)，則D、若在E上基本上一致收斂于，則a,e收斂于67、G表示康托爾（cantor）集在[0,1]中的余集，則mG=（）A、0B、1C、2D、368、設(shè)都可測，則（）A、可測B、不可測C、可能可測也可能不可測D、以上都不對69、下列說法正確的是（）A、在上無界B、在上有限C、在上有限D(zhuǎn)、在上有界70、函數(shù)列在上（）于0A、收斂B、一致收斂C、基本上一致收斂D、a.e.一致收斂71、設(shè)，其中E是[0,1]上的不可測集，則（）在[0,1]可測.A、、B、C、D、72、關(guān)于連續(xù)函數(shù)與可測函數(shù)，下列論述中正確的是（）A、它們是同一概念B、a,e有限的可測函數(shù)是連續(xù)函數(shù)C、a,e有限的可測函數(shù)是基本上連續(xù)的函數(shù)D、a,e有限的可測函數(shù)是a,e連續(xù)的函數(shù)73、()A、1、B、2C、3D、474、A可測，B是A的真子集，則（）A、B、C、D、以上都不對75、下列說法正確的是（）A、在(0,1)有限、B、在無界C、在[0,1]有限D(zhuǎn)、在[0,1]有界76、函數(shù)列在上（）于0.A、收斂B、基本上一致收斂C、一致收斂D、a.e.一致收斂77、設(shè)其中E是[0,1]上的不可測集，則（）在[0,1]上是可測的.A、B、C、D、78、關(guān)于簡單函數(shù)與可測函數(shù)下述結(jié)論不正確的是（）A、簡單函數(shù)一定是可測函數(shù)B、簡單函數(shù)列的極限是可測函數(shù)C、簡單函數(shù)與可測函數(shù)是同一概念D、簡單函數(shù)列的極限與可測函數(shù)是同一概念79、（）A、1B、2C、3D、480、L可測集類，對運(yùn)算（）不封閉.A、可數(shù)和B、有限交C、單調(diào)集列的極限D(zhuǎn)、任意和.81、下列說法正確的是（）A、在無界B、在有限C、在[0,1]有限D(zhuǎn)、在[0,1]有界82、函數(shù)列在上（）于0.A、基本一致收斂B、收斂C、一致收斂D、a.e.一致收斂83、設(shè)E是中的不可測集，則下列函數(shù)在上可測的是（）.A、B、C、D、84、關(guān)于依測度收斂，下列說法中不正確的是（）A、依測度收斂不一定一致收斂B、依測度收斂不一定收斂C、若在E上a.e.收斂于a.e.有限的可測函數(shù)，則D、若，則存在子列a.e.收斂于85、設(shè)是可測集上的非負(fù)可測函數(shù)，則（）A、必可積B、必幾乎處處有限C、必積分確定D、不一定積分確定86、設(shè)在可測集上可積，則在上（）A、與只有一個可積B、與皆可積C、與不一定可積D、與至少有一個不可積87、設(shè)（），是上的實函數(shù)，則下面敘述正確的是（）A、在上不一定可測B、在上可測但不一定可積C、在上可積且積分值為0D、在上不可積88、在可測集上可積的必要條件是，為（）A、連續(xù)函數(shù)B、幾乎處處連續(xù)函數(shù)C、單調(diào)函數(shù)D、幾乎處處有限的可測函數(shù)89、設(shè)為狄立克雷函數(shù)，則（）A、0B、1C、1/2D、不存在90、設(shè)為Cantor集的特征函數(shù)，則（）A、0B、1/3C、2/3D、1判斷題1、{0,1}={1,0}(√)理由:集合具有無序性2、任意兩個集合A、B,都有,或(×)理由:舉一反例,比如:取A={1},B={2}3、任意集合都有子集。（√）理由:空集Φ是任意集合的子集.4、（×)理由:符號表示集合間的關(guān)系,不能表示元素和集合的關(guān)系.5、Φ={Φ}(×)理由:Φ表示沒有任何元素的集合,而{Φ}表示單元素集合,這個元素是Φ6、Φ={0}(×)理由:Φ表示沒有任何元素的集合,而{0}表示單元素集合,這個元素是07、若一個點不是E的聚點,則必然也不是E的內(nèi)點.(√)理由:根據(jù)內(nèi)點的定義,內(nèi)點一定是聚點8、{E的外點全體}和E的余集是相同的.(×)理由:舉一反例,比如:E=(0,1),元素1不是E的外點,但卻屬于E的余集分9、E的內(nèi)點必然屬于E.(√)理由:有內(nèi)點的定義可得.10、E的孤立點必然屬于E(√)理由:有內(nèi)點的定義可得.11、E的邊界點一定不屬于E(×)理由:舉例說明,比如:E=(0,1),元素1是E的邊界點,但屬于E.12、E的聚點必然屬于E(×)理由:舉一反例,比如:E=(0,1),元素1是E的內(nèi)點,但不屬于E13、若可測，則E和F都可測。（×）理由:因有若，E不可測，而可測14、若，a.e.于E，在可測集E上可測，則也在E上可測（√）理由:因兩可測集的并可測。兩個集合的基數(shù)相等，則它們的外測度相等。（×）理由:因，但若在可測集E上可測，則也可測。（√）理由:因17、若，且，a,e于E（×）理由:反例：，把是按n后按j的順序形成的函數(shù)列18、設(shè)都可測，則也可測，且。（×）理由:因的測度可能無限19、若在可測集E上可測，則在E的任意可測子集上也可測（√）理由:因若（可測），則20、無限集的外測度一定不為零。（×)理由:反例：自然數(shù)集外測度為零。21、若在可測集E上可測，則在E的任意子集上可測（×）理由:若是E的不可測集就不行。22、若可測集A是可測集B的子集，且，則（×）理由:反例：，若都可測，則f在可測集E上也可測（（√）理由:因，存在單調(diào)下降趨于c的有理數(shù)列，則有，故可測。若E可測，A可測，且，則。（√）理由:因六、證明題1、任意無窮集合包含一可數(shù)子集.2、若A是一個可數(shù)集合,B是一個有限集合,則是可數(shù)集.3、若A和B都是可數(shù)集合,則是可數(shù)集.4、有理數(shù)全體成一可數(shù)集。5、證明由直線上互不相交的開區(qū)間作為集A的元素，則A至多為可數(shù)集。6、空間中,{}是一個可數(shù)集合.7、證明：集合E可測的充要條件是對于任意，，總有8、設(shè)是上a.e.有限的可測函數(shù)，則對于任何及，存在連續(xù)函數(shù)，使9、證明：對，E可測的充要條件是可測。10、設(shè)函數(shù)列在E上依測度收斂于，且，a.e.于E，n=1,2,…，則在E上a.e.成立。11、證明：可數(shù)點集的外測度為零。12、（設(shè)函數(shù)列在有界集E上基本上一致收斂于，證明在E上a.e.收斂于13、設(shè)是n個互不相交的可測集合，，。證明：14、證明：若，，則在E上a.e.成立。15、若，則E可測。16、設(shè)，，，，試證。17、設(shè)A可測，B為任意集合，證明：18、設(shè)，證明：19、設(shè)是上的可積函數(shù)，則20、設(shè)，是上的有界可積函數(shù)，則對任何可測集，有21、設(shè)由中取出個可測子集，假定中任一點至少屬于這個集中的個，試證必有一集，它的測度大于或等于。22、試從，求證：。23、設(shè){}為上的可積函數(shù)列，a.e.于，且，為常數(shù)，則可積。24、設(shè)在上可積，且，則a.e.于?！秾嵶兒瘮?shù)》試題題庫參考答案一、選擇題1、D2、C3、D4、D5、A6、B7、C8、A9、B10、C11、C12、D13、C14、B15、C16、D17、A18、D19、C20、A21、B22、C23、B24、C25、A26、C27、D28、D29、B30、D31、A32、B33、C34、A35、B36、D37、C38、B39、C40、B41、B42、D43、B44、A45、A46、D47、D48、B49、A50、B51、A52、D53、C54、D55、B56、A57、D58、C59、A60、D61、A62、B63、D64、C65、C66、D67、B68、A69、B70、C71、D72、C73、C74、B75、A76、B77、A78、C79、C80、D81、B82、A83、B84、C85、C86、B87、C88、D89、A90、A二、填空題1、；2、c；3、c；4、c；5、c；6、c；7、{x:對于任意的,有}；8、{x:存在,使得}；9、；10、；11、；12、；13、；14、；15、；16、；17、；18、；19、；20、；21、；22、；23、；24、；25、2；26、0；27、1；28、；29、；30、1；31、；32、；33、可測；34、有；35、；36、；37、可測函數(shù)；38、點態(tài)收斂與一致收斂；39、；40、次可數(shù)可加性；41、可測函數(shù)；42、可測函數(shù)；43、單調(diào)性；44、（開）；45、推廣；46、測度；47、；48、，（閉集）；49、常數(shù)；50、可測函數(shù)，連續(xù)函數(shù)；51、；52、零測集；53、可測函數(shù)；54、依測度；55、0；56、0；57、0；58、0；59、0；60、0三、判斷題1、(√)理由:集合具有無序性2、(×)理由:舉一反例,比如:取A={1},B={2}3、（√）理由:空集Φ是任意集合的子集.4、（×）理由:符號表示集合間的關(guān)系,不能表示元素和集合的關(guān)系.5、(×)理由:Φ表示沒有任何元素的集合,而{Φ}表示單元素集合,這個元素是Φ6、(×)理由:Φ表示沒有任何元素的集合,而{0}表示單元素集合,這個元素是07、(√)理由:根據(jù)內(nèi)點的定義,內(nèi)點一定是聚點8、(×)理由:舉一反例,比如:E=(0,1),元素1不是E的外點,但卻屬于E的余集分9、(√)理由:有內(nèi)點的定義可得.10、(√)理由:有內(nèi)點的定義可得.11、(×)理由:舉例說明,比如:E=(0,1),元素1是E的邊界點,但屬于E.12、(×)理由:舉一反例,比如:E=(0,1),元素1是E的內(nèi)點,但不屬于E13、（×）理由:因有若，E不可測，而可測14、（√）理由:因兩可測集的并可測。15、（×）理由:因，但16、（√）理由:因分17、（×）理由:反例：，把是按n后按j的順序形成的函數(shù)列18、（×）理由:因的測度可能無限19、（√）理由:因若（可測），則20、（×）理由:反例：自然數(shù)集外測度為零。21、（×）理由:若是E的不可測集就不行。22、（×）理由:反例：，23、（√）理由:因，存在單調(diào)下降趨于c的有理數(shù)列，則有，故可測。24、（√）理由:因四、簡答題1、答:令f(2n)=2nf(2n－1)＝－2（n－１）其中n=1,2,下面驗證f是{自然數(shù)全體}到{偶數(shù)全體}的一一映射.設(shè)m{自然數(shù)全體},n{自然數(shù)全體}且f(m)=f(n)若f(m)=f(n)>0,則m、n為偶數(shù)，f(m)=f(n)=m=n若f(m)=f(n)0,則m、n為奇數(shù)，f(m)=f(n)=1－m=1－n即m=n,故而f是單射。對于任意的m{偶數(shù)全體}若m=0,則有f(1)=0;若m>0,則有f(m)=m;若m<0,則有f(1－m)=m故而f是滿射。有（1）（2）得f是一一映射。2、答：令f(x)=tg((x－))，下證f(x)是(0,1)到R的一一映射.由三角函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)是(0,1)上的嚴(yán)格單增連續(xù)函數(shù)，且f((0,1))=R所以f(x)是(0,1)到R的一一映射.3、答：令f(x)=tg((１－x))，下證f(x)是(0,1)到[0,]的一一映射.由三角函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)是(0,1)上的嚴(yán)格單減連續(xù)函數(shù)，且f((0,1))=[0,]所以f(x)是(0,1)到[0,]的一一映射.4、答：令f(3n)=nn=1,2,…下證f是{能被3整數(shù)整除的正整數(shù)}到{正整數(shù)全體}的一一映射對于任意的3m,3n{能被3整數(shù)整除的正整數(shù)}若f(3m)=f(3n)則有m=n,所以f是單射(2)對于任意的n{正整數(shù)全體}顯然有3n{能被3整數(shù)整除的正整數(shù)}且f(3n)=n即f是滿射由（1）（2）得f是{能被3整數(shù)整除的正整數(shù)}到{正整數(shù)全體}的一一映射.5、答:令f(x)=2x當(dāng)x(0,);f(x)=2x+1當(dāng)x(,1).由f(x)的單調(diào)性,易知f(x)是(0,1)到(0,1)(2,3)的一一映射.6、答:令f(x)=x+1,顯然，f(x)是{奇數(shù)全體}到{偶數(shù)全體}的一一映射.7、答：因?qū)?。有這樣，故。8、答：，可測9、答：因1°2°時3°時故cf在E上可測。10、答：設(shè)E是L可測的，F(xiàn)是集，則存在零測集N，使E=F+N11、答：因而[0,1]，，均可測，故可測。12、答：有限集，可列集，康脫爾集。分五、計算題1、解：因為有理數(shù)集的測度為0，故在上幾乎處處有這樣利用積分的性質(zhì)得：=。2、解：因為有理數(shù)集的測度為0，故在上幾乎處處有這樣利用積分的性質(zhì)得：=。3、解：因為有理數(shù)集的測度為0，故在上幾乎處處有。這樣利用積分的性質(zhì)得：=。4、解：因為，故在上幾乎處處有這樣利用積分的性質(zhì)得：=。5、解：因為，故在上幾乎處處有這樣利用積分的性質(zhì)得：=。6、解：因為，故在上幾乎處處有。這樣利用積分的性質(zhì)得：=。7、解：令，則。而。故由Lebesgue控制收斂定理得：。解：令，則。而，且函數(shù)在上可積。故由Lebesgue控制收斂定理得：。9、解：令，則。而。故由Lebesgue控制收斂定理得：。10、解：令，則。而，且函數(shù)在上可積。故由Lebesgue控制收斂定理得：。11、解：令，則。而。故由Lebesgue控制收斂定理得：。12、解：令，則。而。故由Lebesgue控制收斂定理得：。六、證明題1、證明:設(shè)A為一無窮集合,A不空,任意取一元素,因為A是無窮集合,所以不空,任意取一元素,同理不空,任意取一元素,…，依次取下去,得一個集合。