托馬斯微積分課件

托馬斯微積分課件2024-01-25CATALOGUE目錄微積分基本概念微分學(xué)基本原理積分學(xué)基本原理多元函數(shù)微積分學(xué)無窮級(jí)數(shù)與微分方程初步微積分在實(shí)際問題中應(yīng)用舉例01微積分基本概念123闡述函數(shù)的基本概念，包括定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系等，并介紹函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等。函數(shù)定義與性質(zhì)引入極限的概念，包括數(shù)列極限和函數(shù)極限，介紹極限的運(yùn)算法則和存在準(zhǔn)則，如夾逼定理、單調(diào)有界定理等。極限概念與運(yùn)算闡述函數(shù)連續(xù)性的概念，包括連續(xù)點(diǎn)、間斷點(diǎn)的定義和分類，介紹連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算。連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)與極限導(dǎo)數(shù)與微分介紹導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，如求最值、判斷函數(shù)單調(diào)性、求曲線的切線方程和法線方程等。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用引入導(dǎo)數(shù)的概念，闡述導(dǎo)數(shù)的物理意義和幾何意義，介紹導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法和公式，如基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則等。導(dǎo)數(shù)概念與計(jì)算闡述微分的概念，介紹微分的運(yùn)算法則和公式，如基本初等函數(shù)的微分公式、微分的四則運(yùn)算法則等。同時(shí)，介紹高階導(dǎo)數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)的方法。微分概念與運(yùn)算不定積分概念與計(jì)算引入不定積分的概念，闡述不定積分的性質(zhì)和運(yùn)算法則，介紹基本初等函數(shù)的不定積分公式和積分表的使用。定積分概念與計(jì)算闡述定積分的概念，介紹定積分的性質(zhì)和計(jì)算方法，包括牛頓-萊布尼茲公式、換元積分法、分部積分法等。同時(shí)，介紹廣義積分的概念和計(jì)算方法。積分的應(yīng)用介紹積分在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，如求面積、體積、弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體體積等。同時(shí)，介紹微分方程和差分方程的基本概念和解法。010203積分概念及性質(zhì)02微分學(xué)基本原理基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)法則掌握加法、減法、乘法及除法的導(dǎo)數(shù)計(jì)算規(guī)則。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)過程，掌握鏈?zhǔn)椒▌t。隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算通過對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，解出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則03參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)掌握參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法，理解參數(shù)方程中各變量之間的關(guān)系。01高階導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法。02隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)通過對(duì)方程兩邊多次求導(dǎo)，得到隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。高階導(dǎo)數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)微分中值定理洛必達(dá)法則泰勒公式函數(shù)單調(diào)性與極值微分中值定理及應(yīng)用理解羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的內(nèi)容和意義，掌握它們的證明方法和應(yīng)用技巧。理解泰勒公式的含義和作用，掌握常見函數(shù)的泰勒展開式及其應(yīng)用。掌握洛必達(dá)法則的使用條件和方法，能夠運(yùn)用洛必達(dá)法則求解未定式的極限問題。理解函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等概念，掌握判斷函數(shù)單調(diào)性和求極值的方法。03積分學(xué)基本原理基本積分公式熟練掌握基本初等函數(shù)的不定積分公式，如冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。積分法則掌握不定積分的線性性質(zhì)、乘積的積分、冪函數(shù)的積分等法則。換元法通過變量代換簡(jiǎn)化不定積分的計(jì)算，如三角代換、根式代換等。不定積分計(jì)算法則理解定積分的幾何意義，掌握定積分的定義及計(jì)算方法。定積分的定義了解定積分的線性性質(zhì)、區(qū)間可加性、保號(hào)性等基本性質(zhì)。定積分的性質(zhì)掌握微積分基本定理，理解原函數(shù)與定積分之間的關(guān)系。微積分基本定理定積分概念及性質(zhì)面積與體積的計(jì)算利用定積分計(jì)算平面圖形面積、立體體積等。物理應(yīng)用通過定積分求解變力做功、液體靜壓力等問題。經(jīng)濟(jì)應(yīng)用運(yùn)用定積分分析邊際與彈性等經(jīng)濟(jì)概念，解決相關(guān)經(jīng)濟(jì)問題。定積分應(yīng)用舉例04多元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù)定義多元函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)的圖像多元函數(shù)概念及性質(zhì)設(shè)D為一個(gè)非空的n元有序數(shù)組的集合，f為某一確定的對(duì)應(yīng)規(guī)則。若對(duì)于每一個(gè)有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)∈D，通過對(duì)應(yīng)規(guī)則f，都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，則稱對(duì)應(yīng)規(guī)則f為定義在D上的n元函數(shù)。包括有界性、單調(diào)性、周期性、連續(xù)性等。這些性質(zhì)在微積分學(xué)中有著重要的作用，它們決定了函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的行為。多元函數(shù)的圖像是一個(gè)超曲面，其形狀和性質(zhì)可以通過函數(shù)的表達(dá)式和定義域來確定。要點(diǎn)三偏導(dǎo)數(shù)定義偏導(dǎo)數(shù)反映的是多元函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向的變化率，其他坐標(biāo)固定。例如，對(duì)于二元函數(shù)z=f(x,y)，其偏導(dǎo)數(shù)有兩種，分別是關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)和關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)fy(x,y)。要點(diǎn)一要點(diǎn)二全微分定義全微分反映的是多元函數(shù)在各個(gè)方向上的變化率。如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全增量Δz可以表示為Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A和B不依賴于Δx和Δy，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，AΔx+BΔy稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分。偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)是全微分的特例，即當(dāng)其他變量保持不變時(shí)，全微分就變成了偏導(dǎo)數(shù)。同時(shí)，偏導(dǎo)數(shù)和全微分都是描述函數(shù)局部性質(zhì)的重要工具。要點(diǎn)三偏導(dǎo)數(shù)與全微分二重積分定義二重積分是二元函數(shù)在空間上的積分，其結(jié)果是一個(gè)數(shù)值。二重積分的計(jì)算通常是通過將積分區(qū)域劃分為若干個(gè)小矩形或三角形，然后對(duì)每個(gè)小區(qū)域進(jìn)行積分并求和得到的。三重積分定義三重積分是三元函數(shù)在空間上的積分，其結(jié)果也是一個(gè)數(shù)值。三重積分的計(jì)算通常是通過將積分區(qū)域劃分為若干個(gè)小長(zhǎng)方體或三棱錐，然后對(duì)每個(gè)小區(qū)域進(jìn)行積分并求和得到的。曲線積分與曲面積分曲線積分和曲面積分是沿著曲線或曲面進(jìn)行的積分。曲線積分的結(jié)果是一個(gè)向量或標(biāo)量，而曲面積分的結(jié)果通常是一個(gè)標(biāo)量。這些積分在物理學(xué)和工程學(xué)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。多元函數(shù)積分學(xué)05無窮級(jí)數(shù)與微分方程初步比較判別法利用級(jí)數(shù)相鄰兩項(xiàng)之比的極限值來判斷級(jí)數(shù)收斂性。比值判別法根值判別法積分判別法01020403將級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)的可積性判斷級(jí)數(shù)收斂性。通過比較級(jí)數(shù)與已知收斂或發(fā)散的級(jí)數(shù)，判斷其收斂性。通過求級(jí)數(shù)各項(xiàng)的n次方根的極限值來判斷級(jí)數(shù)收斂性。常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法冪級(jí)數(shù)展開通過泰勒公式或麥克勞林公式將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)形式。冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算在收斂域內(nèi)，冪級(jí)數(shù)可以進(jìn)行加減乘除等運(yùn)算，且保持收斂性。收斂域判斷根據(jù)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，通過比較系數(shù)或求極限等方式判斷其收斂域。冪級(jí)數(shù)展開與收斂域判斷形如y'+P(x)y=Q(x)的方程稱為一階線性微分方程。一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式通過構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)函數(shù)，將一階線性微分方程轉(zhuǎn)化為可求解的形式。常數(shù)變易法通過引入一個(gè)積分因子，將一階線性微分方程轉(zhuǎn)化為全微分方程進(jìn)行求解。積分因子法針對(duì)某些特殊形式的一階線性微分方程，如齊次方程、伯努利方程等，有特定的求解方法。特殊類型的一階線性微分方程一階線性微分方程解法06微積分在實(shí)際問題中應(yīng)用舉例通過計(jì)算函數(shù)的梯度，沿著負(fù)梯度方向逐步迭代，尋找函數(shù)的最小值點(diǎn)。梯度下降法利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)信息，構(gòu)造二次逼近函數(shù)，通過求解逼近函數(shù)的極值點(diǎn)來逼近原函數(shù)的極值點(diǎn)。牛頓法在約束條件下求多元函數(shù)的最值，通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，將約束條件融入目標(biāo)函數(shù)中，求解拉格朗日函數(shù)的極值點(diǎn)。拉格朗日乘數(shù)法最優(yōu)化問題求解方法經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析和彈性分析邊際分析研究自變量發(fā)生微小變化時(shí)，因變量隨之發(fā)生的變化量。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際分析常用于研究消費(fèi)者行為、生產(chǎn)者決策等問題。彈性分析研究因變量對(duì)自變量變化的敏感程度。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，彈性常用于分析價(jià)格變動(dòng)對(duì)需求量的影響、收