知識資料高等數(shù)學(十七)(新版)

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁（三）例題【例1-4-l】判別級數(shù)sin的收斂性?！窘狻考墧?shù)sin為正項級數(shù)，因為而級數(shù)發(fā)散（p-級數(shù)，p=1的情形，，按照比較審斂法的極限形式知此級數(shù)發(fā)散.【例1-4-2】判別級數(shù)的收斂性?！窘狻克o級數(shù)為正項級數(shù)，因為按照比值審斂法知所給級數(shù)發(fā)散?！纠?-4-3】判別級數(shù)的收斂性?！窘狻克o級數(shù)為正項級數(shù)，因為按照根值審斂法知所給級數(shù)收斂?！纠?-4–4】數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列有界是該級數(shù)收斂的（A）充足條件。（B）須要條件。（C）充足須要條件。（D）既非充足又非須要條件?！窘狻堪磾?shù)項級數(shù)收斂的定義，級數(shù)收斂即級數(shù)的部分和數(shù)列有極限，而部分和數(shù)列有界是部分和數(shù)列有極限的須要條件，故選（B）。注重對正項級數(shù)來說，部分和數(shù)列有界是級數(shù)收斂的充足須要條件，而對普通的非正項級數(shù)來說，部分和數(shù)列有界僅是級數(shù)收斂的須要條件，而不是充足條件?！纠?-4-5】級數(shù)的收斂性是（A）發(fā)散（B）條件收斂（C）絕對收斂（D）無法判定【解】按萊布尼茲判別法知，級數(shù)收斂；級數(shù)是p-級數(shù)的情形，p<1，故級數(shù)發(fā)散，因此應(yīng)選（B）?！纠?】判別級數(shù)的收斂性?！窘狻克o級數(shù)是隨意項級數(shù)，因為而級數(shù)是收斂的（p-級數(shù)，p=4）。按照比較審斂法知，級數(shù)收斂，即級數(shù)絕對收斂，從而級數(shù)收斂?！纠?-4-7】判別級數(shù)的收斂性?！窘狻克o級數(shù)為隨意項級數(shù)，因為按照隨意項級數(shù)審斂法（3）知，所給級數(shù)發(fā)散。［例1-4-8］下列各選項準確的是二、冪級數(shù)泰勒級數(shù)（一）冪級數(shù)的概念和性質(zhì)1．冪級數(shù)的概念稱為冪級數(shù)，令，可化為2．冪級數(shù)的收斂性若級數(shù)當時收斂，則對相宜的一切x，級數(shù)絕對收斂；若級數(shù)當時發(fā)散，則對相宜的一切x，級數(shù)發(fā)散。3．冪級數(shù)的收斂半徑及其求法若冪級數(shù)在某些點收斂，在某些點發(fā)散，則必存在唯一的正數(shù)R，使當時，級數(shù)絕對收斂，當時，級數(shù)發(fā)散。這個R稱為冪級數(shù)的收斂半徑；若冪級數(shù)只在x=0處收斂，則規(guī)定收斂半徑R=0；若冪級數(shù)對一切x都收斂，則規(guī)定收斂半徑對冪級數(shù)若則它的收斂半徑4．冪級數(shù)的性質(zhì)若冪級數(shù)的收斂半徑為R，則稱開區(qū)間（-R,R）為冪級數(shù)的收斂區(qū)間，"按照冪級數(shù)在x＝±R處的收斂情況，可以決定冪級數(shù)的收斂域（即收斂點的全體）是四個區(qū)間：（-R,R）、［-R,R）、（-R,R］、[-R,R］之一。冪級數(shù)具有以下性質(zhì)：（l）冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上延續(xù)；（2）冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可導，且有逐項求導、逐項積分公式逐項求導、逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑。（二）泰勒級數(shù)1．泰勒級數(shù)的概念若f（x）在點x0處具有各階導數(shù)，則冪級數(shù)稱為函數(shù)f（x）在點x0處的泰勒級數(shù)，異常當x0=0時，級數(shù)稱為函數(shù)f（a）的麥克勞林級數(shù)。2．函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的條件設(shè)函數(shù)f（x）在點x0的某鄰域U（x0）內(nèi)具有各階導數(shù)，則f（x）在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒