高中數(shù)學必修2第2章2.3.1-3.2空間直角坐標系空間兩點間的距離作業(yè)

[學業(yè)水平訓練]1．在空間直角坐標系中，點P(3,1,5)關(guān)于平面yOz對稱的點的坐標為________．解析：由于點關(guān)于平面yOz對稱，故其縱坐標、豎坐標不變，橫坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，即對稱點坐標是(－3,1,5)．答案：(－3,1,5)2．在空間直角坐標系中，點P(1，eq\r(2)，eq\r(3))，過點P作平面xOy的垂線PQ，垂足為Q，則Q的坐標為________．解析：由題意知，點Q就是點P在平面xOy上的射影，所以橫坐標、縱坐標不變，豎坐標為0，故點Q的坐標為(1，eq\r(2)，0)答案：(1，eq\r(2)，0)3．點M(4，－3,5)到原點的距離d1＝________，到z軸的距離d2＝________.解析：利用兩點間距離公式可得d1＝eq\r(42＋－32＋52)＝5eq\r(2).過M作MN⊥平面xOy于N，則N(4，－3,0)，故d2＝ON＝eq\r(42＋－32)＝5.答案：5eq\r(2)54．設球心C(0，－1,0)，球面經(jīng)過一點M(－1,3,1)，則球的半徑為________．解析：r＝CM＝eq\r(－1－02＋3＋12＋1－02)＝3eq\r(2).答案：3eq\r(2)5．已知點A(x,1,2)和點B(2,3,4)，且AB＝2eq\r(6)，則實數(shù)x的值是________．解析：∵AB＝eq\r(x－22＋1－32＋2－42)＝eq\r(x－22＋8)＝2eq\r(6)，∴x＝6或－2.答案：6或－26．在空間直角坐標系中，一定點P到三個坐標軸的距離都是1，則該點到原點的距離是________．解析：分別以x軸、y軸、z軸上的單位長度為正方體的相鄰的棱作正方體，則點P在正方體與O相對的頂點上，所以OP＝eq\r(3).答案：eq\r(3)7．已知正四棱錐P－ABCD的底面邊長為a，側(cè)棱長為l，試建立適當?shù)目臻g直角坐標系，寫出各頂點的坐標．解：設正四棱錐底面中心點為O，∵OA⊥OB，點P在平面ABCD上的射影為O，∴以O為坐標原點，以直線OA，OB，OP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．則OA＝eq\f(\r(2),2)a，PA＝PB＝PC＝PD＝l，∴PO＝eq\r(PA2－OA2)＝eq\r(l2－\f(1,2)a2).故各頂點坐標依次為A(eq\f(\r(2),2)a,0,0)．B(0，eq\f(\r(2),2)a,0)，C(－eq\f(\r(2),2)a,0,0)，D(0，－eq\f(\r(2),2)a,0)，P(0,0,eq\r(l2－\f(1,2)a2))．8.三棱錐P－ABC中，側(cè)面PAC⊥底面ABC，△ABC是以角B為直角頂點的直角三角形，AB＝BC＝2eq\r(2)，又PA＝PB＝PC＝3，試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，在這個坐標系中：(1)求點A，B，C，P的坐標；(2)求AB，PC的中點之間的距離．解：(1)取AC的中點O，連結(jié)OB，OP.∵△ABC是直角三角形，且AB＝BC＝2eq\r(2).∴AC＝4，OB＝2.∵PA＝PB＝PC，∴點P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即點O.故PO⊥平面ABC.∵PA＝3，∴PO＝eq\r(PA2－AO2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5).以O為坐標原點OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．則P(0,0，eq\r(5))．A(0，－2,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)．(2)AB的中點坐標為(1，－1,0)，PC的中點坐標為(0,1，eq\f(\r(5),2))．這兩個中點之間的距離為d＝eq\r(12＋22＋\f(\r(5),2)2)＝eq\f(5,2).[高考水平訓練]1．已知點P(2,3，－1)關(guān)于坐標平面xOy的對稱點為P1，點P1關(guān)于坐標平面yOz的對稱點為P2，點P2關(guān)于z軸的對稱點為P3，則點P3的坐標為________．解析：點P(2,3，－1)關(guān)于坐標平面xOy的對稱點P1的坐標為(2,3,1)，點P1關(guān)于坐標平面yOz的對稱點P2的坐標為(－2,3,1)，點P2關(guān)于z軸的對稱點P3的坐標是(2，－3,1)．答案：(2，－3,1)2．對于任意實數(shù)x、y、z，則eq\r(x2＋y2＋z2)＋eq\r(x＋12＋y－22＋z－12)的最小值為________．解析：設P(x，y，z)，M(－1,2,1)則eq\r(x2＋y2＋z2)＋eq\r(x＋12＋y－22＋z－12)＝PO＋PM，由于x、y、z是任意實數(shù)，即點P是空間任意一點，則PO＋PM≥OM＝eq\r(1＋4＋1)＝eq\r(6)，則所求的最小值為eq\r(6).答案：eq\r(6)3.如圖，以正方體的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系O－xyz，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上．(1)當點Q為棱CD的中點，點P在對角線AB上運動時，探究PQ的最小值；(2)當點P在對角線AB上運動，點Q在棱CD上運動時，探究PQ的最小值．解：設正方體的棱長為a，連結(jié)OA，在平面AOB內(nèi)，作PH⊥OA于H.∵OB⊥平面xOy，∴PH⊥平面xOy.設P(x，x，z)，則eq\f(z,a)＝eq\f(\r(2)a－\r(2)x,\r(2)a)，∴z＝a－x.故P(x，x，a－x)．(1)由題意知Q(0，a，eq\f(a,2))，P(x，x，a－x)，PQ＝eq\r(x2＋x－a2＋x－\f(a,2)2)＝eq\r(3x2－3ax＋\f(5,4)a2)＝eq\r(3x－\f(a,2)2＋\f(a2,2)).故當x＝eq\f(a,2)，即P為AB中點時，PQmin＝eq\f(\r(2)a,2).(2)由題意知P(x，x，a－x)，設Q(0，a，t)．則PQ＝eq\r(x2＋x－a2＋x－a＋t2)＝eq\r(3x－\f(2a－t,3)2＋\f(2,3)t－\f(a,2)2＋\f(a2,2)).故當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2a－t,3)，,t＝\f(a,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a,2)，,t＝\f(a,2)，))時，PQmin＝eq\f(\r(2)a,2).此時，P、Q分別為AB，CD的中點．4.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，點M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且為D1C的中點，求M、N兩點間的距離．解：如圖，分別以AB、AD、AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．由題意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，∵|DD1|＝|CC1|＝2，∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)．∵N為CD1的中點，∴Neq\b\lc\(