高考數(shù)學一輪復習 專題2.9 函數(shù)模型及其應用（練）-人教版高三數(shù)學試題

專題2.9函數(shù)模型及其應用基礎鞏固題組一、填空題1．某種商品進價為4元/件，當日均零售價為6元/件，日均銷售100件，當單價每增加1元，日均銷量減少10件，試計算該商品在銷售過程中，若每天固定成本為20元，則預計單價為________元/件時，利潤最大．【答案】102．“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的．已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關(guān)系R＝aeq\r(A)(a為常數(shù))，廣告效應為D＝R－A.那么精明的商人為了取得最大廣告效應，投入廣告費應為________．(用常數(shù)a表示)【答案】eq\f(1,4)a2【解析】D＝R－A＝aeq\r(A)－A，令t＝eq\r(A)(t＞0)，則A＝t2，所以D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))2＋eq\f(1,4)a2.所以當t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2時，D取得最大值．3．某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3km(不超過3km按起步價付費)；超過3km但不超過8km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了________km.【答案】9【解析】設出租車行駛xkm時，付費y元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9，0＜x≤3，,8＋2.15x－3＋1，3＜x≤8，,8＋2.15×5＋2.85x－8＋1，x＞8，))由y＝22.6，解得x＝9.4．世界人口在過去40年內(nèi)翻了一番，則每年人口平均增長率是________．(參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)【答案】1.7%【解析】設每年人口平均增長率為x，則(1＋x)40＝2，兩邊取以10為底的對數(shù)，則40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝eq\f(lg2,40)≈0.0075，所以100.0075＝1＋x，得1＋x＝1.017，所以x＝1.7%.5．已知某矩形廣場的面積為4萬平方米，則其周長至少為________．【答案】800【解析】設這個廣場的長為x米，則寬為eq\f(40000,x)米．所以其周長為l＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(40000,x)))≥800，當且僅當x＝200時取等號．6．有一位商人，從北京向上海的家中打電話，通話m分鐘的電話費由函數(shù)f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)(元)決定，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整數(shù)．則從北京到上海通話時間為5.5分鐘的電話費為________元．【答案】4.24【解析】因為m＝5.5，所以[5.5]＝6.代入函數(shù)解析式，得f(5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.7．某企業(yè)投入100萬元購入一套設備，該設備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為________．【答案】108．某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)獎金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)獎金130萬元．在此基礎上，每年投入的研發(fā)獎金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)獎金開始超過200萬元的年份是________(參考數(shù)據(jù)：lg1.12＝0.05，lg1.3＝0.11，lg2＝0.30)．【答案】2019【解析】設第x年的研發(fā)獎金為200萬元，則由題意可得130×(1＋12%)x＝200，∴1.12x＝eq\f(20,13)，∴x＝log1.12eq\f(20,13)＝log1.1220－log1.1213＝eq\f(lg20,lg1.12)－eq\f(lg13,lg1.12)＝eq\f(lg2＋lg10－lg1.3＋lg10,lg1.12)＝eq\f(0.3＋1－0.11－1,0.05)＝3.8.即3年后不到200萬元，第4年超過200萬元，即2019年超過200萬元．二、解答題9．現(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部分的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱錐的高PO(1)若AB＝6m，PO1＝2m，則倉庫的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？10．某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸．(1)求年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？能力提升題組11．某市對城市路網(wǎng)進行改造，擬在原有a個標段(注：一個標段是指一定長度的機動車道)的基礎上，新建x個標段和n個道路交叉口，其中n與x滿足n＝ax＋5.已知新建一個標段的造價為m萬元，新建一個道路交叉口的造價是新建一個標段的造價的k倍．(1)寫出新建道路交叉口的總造價y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)設P是新建標段的總造價與新建道路交叉口的總造價之比．若新建的標段數(shù)是原有標段數(shù)的20%，且k≥3.問：P能否大于eq\f(1,20)，說明理由．解(1)依題意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.(2)法一依題意x＝0.2a所以P＝eq\f(mx,y)＝eq\f(x,kax＋5)＝eq\f(0.2a,k0.2a2＋5)＝eq\f(a,ka2＋25)≤eq\f(a,3a2＋25)＝eq\f(1,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(25,a))))≤eq\f(1,3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(a×\f(25,a)))))＝eq\f(1,30)<eq\f(1,20).P不可能大于eq\f(1,20).法二依題意x＝0.2a所以P＝eq\f(mx,y)＝eq\f(x,kax＋5)＝eq\f(0.2a,k0.2a2＋5)＝eq\f(a,ka2＋25).假設P>eq\f(1,20)，則ka2－20a＋25k<0.因為k≥3，所以Δ＝100(4－k2)<0，不等式ka2－20a＋25k<0無解，假設不成立．P不可能大于eq\f(1,20).12．某經(jīng)銷商計劃銷售一款新型的空氣凈化器，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當每臺凈化器的利潤為x(單位：元，x>0)時，銷售量q(x)(單位：百臺)與x的關(guān)系滿足：若x不超過20，則q(x)＝eq\f(1260,x＋1)；若x大于或等于180，則銷售量為零；當20≤x≤180時，q(x)＝a－beq\r(x)(a，b為實常數(shù))．(1)求函數(shù)q(x)的表達式；(2)當x為多少時，總利潤(單位：元)取得最大值，并求出該最大值．綜上，當x＝80元時，總利潤取得最大值240000元．13．如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD，其四條邊均為道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千