專題10 數(shù)列不等式的放縮問題 （練習(xí)）（原卷版）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）

專題10數(shù)列不等式的放縮問題目錄01先求和后放縮 102裂項(xiàng)放縮 303等比放縮 404型不等式的證明 505型不等式的證明 706型不等式的證明 907型不等式的證明 1101先求和后放縮1．（2023·山東菏澤·高三菏澤一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且______請(qǐng)?jiān)谑枪顬榈牡炔顢?shù)列；是公比為的等比數(shù)列，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問題.(1)求的通項(xiàng)公式(2)在與之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：2．（2023·吉林白城·高三?？茧A段練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.3．（2023·天津·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列滿足：，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求(3)設(shè)數(shù)列滿足：．證明：．4．（2023·陜西西安·高三西安市第三中學(xué)校考期中）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明：對(duì)一切正整數(shù)，.02裂項(xiàng)放縮5．（2023·貴州黔東南·高三天柱民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.6．（2023·湖南常德·高三臨澧縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，，，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)求證：.7．（2023·福建廈門·高三廈門一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請(qǐng)說明理由；(2)若數(shù)列的前10項(xiàng)和為361，記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.8．（2023·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）已知和是公差相等的等差數(shù)列，且公差的首項(xiàng)，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求和；(2)若的前項(xiàng)和為，求證：．03等比放縮9．（2023·廣東梅州·高三梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是與的等差中項(xiàng)．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，求的取值范圍．(3)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求證：（）.11．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求證：.04型不等式的證明12．（2023·河南·方城第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（）.(1)證明：；(2)若正項(xiàng)數(shù)列滿足，且，記的前項(xiàng)和為，證明：（）.13．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，恒成立；(2)首項(xiàng)為的數(shù)列滿足：當(dāng)時(shí)，有，證明：.14．（2023·重慶·高三校聯(lián)考期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，滿足.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之和為，證明：.15．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列滿足，且.（函數(shù)求導(dǎo)次可用表示）(1)求的通項(xiàng)公式.(2)求證：對(duì)任意的，，都有.16．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且；（ⅰ）求；（ⅱ）求證：．17．（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(2)證明：.18．（2023·海南·?？谑协偵饺A僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．05型不等式的證明19．（2023·黑龍江大慶·高二大慶一中?？茧A段練習(xí)）已知曲線Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.從點(diǎn)P（﹣1，0）向曲線Cn引斜率為kn（kn>0）的切線ln，切點(diǎn)為Pn（xn，yn）.(1)求數(shù)列{xn}與{yn}的通項(xiàng)公式；(2)證明：.20．（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列，滿足，，且，.（1）求及；（2）猜想，的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；（3）證明：對(duì)所有的，.21．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期末）在各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列中，，點(diǎn)在曲線上；對(duì)于數(shù)列，點(diǎn)在過點(diǎn)，且以為方向向量的直線上．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，問是否存在，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)對(duì)任意正整數(shù)，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．06型不等式的證明22．（2023·山西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)證明：對(duì)恒成立；(2)是否存在，使得成立？請(qǐng)說明理由．23．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考三模）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知.(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{}滿足且，的前n項(xiàng)和為，證明:.24．（2023·四川成都·高一成都七中?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，（其中）(1)判斷并證明數(shù)列的單調(diào)性；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．25．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知當(dāng)時(shí)，，證明：.26．（2023·天津南開·高三南開中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，滿足，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若數(shù)列滿足，，記．是否存在整數(shù)，使得對(duì)任意的都有成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．27．（2023·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.(1)是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，求證：.28．（2023·江西宜春·高二奉新縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）若在處有極值，問是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式對(duì)任意及恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.；（2）若，設(shè).①求證：當(dāng)時(shí)，；②設(shè)，求證：07型不等式的證明29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，．令，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：．30．（2023·廣東廣州·高三廣