專題16 妙解離心率問題（12大題型）（練習(xí)）（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）

【淘寶店鋪：向陽百分百】【淘寶店鋪：向陽百分百】專題16妙解離心率問題目錄01頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題 202焦點三角形頂角范圍與離心率 503共焦點的橢圓與雙曲線問題 804橢圓與雙曲線的4a通徑體 1105橢圓與雙曲線的4a直角體 1406橢圓與雙曲線的等腰三角形問題 1907雙曲線的4a底邊等腰三角形 2108焦點到漸近線距離為b 2509焦點到漸近線垂線構(gòu)造的直角三角形 2810以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題 3211漸近線平行線與面積問題 3512數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化長度角度 3701頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題1．（2024·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓上一點關(guān)于原點的對稱點為點，為其右焦點，若，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意設(shè)橢圓的左焦點為N，連接AN，BN，因為AF⊥BF，所以四邊形AFBN為長方形，再根據(jù)橢圓的定義化簡得，得到離心率關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，再利用輔助角公式和三角函數(shù)的單調(diào)性求得離心率的范圍.由題意橢圓上一點A關(guān)于原點的對稱點為點B，F(xiàn)為其右焦點，設(shè)左焦點為N，連接AN，BN，因為AF⊥BF，所以四邊形AFBN為長方形．根據(jù)橢圓的定義：，由題∠ABF＝α，則∠ANF＝α，所以，利用，∵，∴，，即橢圓離心率的取值范圍是，故選B.2．（2024·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓上一點關(guān)于原點的對稱點為點，為其右焦點，若，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)橢圓的左焦點為：,根據(jù)，得到四邊形為為矩形，再由，結(jié)合橢圓的定義得到，然后由求解.設(shè)橢圓的左焦點為：,因為，所以四邊形為為矩形，所以因為，所以由橢圓的定義得：，所以，因為，所以，所以，所以，所以，故選：B3．（2024·江西南昌·高三南昌十中校考期末）已知橢圓上一點關(guān)于原點的對稱點為點，為其右焦點，若，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】和關(guān)于原點對稱，也在橢圓上，設(shè)左焦點為，根據(jù)橢圓的定義：，又，

（1）又原點是的斜邊中點，，又

（2）

（3）將（2）（3）代入（1），，即，所以，所以，即，所以，所以橢圓的離心率的取值范圍為，故選：A4．（2024·黑龍江大慶·高三鐵人中學(xué)?？计谀┮阎p曲線：（，）右支上非頂點的一點關(guān)于原點的對稱點為，為其右焦點，若，設(shè)，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，．，四邊形為矩形．所以．則，．．．即，則，，，則，,，則，即，故雙曲線離心率的取值范圍是，故選：D．02焦點三角形頂角范圍與離心率5．（2024·河南南陽·高三鄭州一中階段練習(xí)）已知，是橢圓的左右兩個焦點，P為橢圓上的一點，且，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)點，則，由得：，而，即，因此有，即，因，于是得，即，解得，所以橢圓的離心率的取值范圍為.故選：D6．（2024·黑龍江·校聯(lián)考）已知，，，是雙曲線的兩個焦點，若點Р為橢圓上的動點，當(dāng)P為橢圓的短軸端點時，取最小值，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】假設(shè)點在軸上方，設(shè)，則，由已知得，，設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，∴，，∴考慮對勾函數(shù)，由于為橢圓的短軸端點時，，取最小值，即取最小值，也取最小值，此時，∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即，解得.即橢圓離心率的取值范圍為.故選：.7．（2024·貴州·高三凱里一中?？计谀┮阎獧E圓，，分別為橢圓的左右焦點，若橢圓上存在點使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，若橢圓上存在點使得，，，即，，即，.故選D8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，，分別為橢圓的左右焦點，若橢圓C上存在點（）使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意作圖如下：由圖可得：當(dāng)點P在橢圓的上（下）頂點處時，最大，要滿足橢圓C上存在點（）使得，則，∴，即：，整理得：，又，∴得到：，∴，∴橢圓離心率的取值范圍為，故選:B．03共焦點的橢圓與雙曲線問題9．（2024·安徽·校聯(lián)考）已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左右焦點分別為、，且兩條曲線在第一象限的交點為，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則與滿足的關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由橢圓與雙曲線定義得，所以，選B.10．（多選題）（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓：與雙曲線：（，）有公共焦點，，且兩條曲線在第一象限的交點為，若是以為底邊的等腰三角形，，的離心率分別為和，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】設(shè)，的焦距為，由，共焦點知，故正確；△是以為底邊的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故，錯；由，得，又，得，所以，從而，故正確．故選：．11．（2024·湖北孝感·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點、，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則的最大值為．【答案】/【解析】不妨設(shè)為第一象限的點，為左焦點，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可得，，所以，，，在△中，，由余弦定理得，化簡得，即．所以，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時等號成立．故答案為：12．（2024·江蘇蘇州·高三江蘇省蘇州第十中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點分別是它們在第一象限和第三象限的交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則等于．【答案】【解析】設(shè)橢圓長半軸長為，雙曲線實半軸長為，，，為兩曲線在第一象限的交點，為兩曲線在第三象限的交點.由橢圓和雙曲線定義知：，，，，由橢圓和雙曲線對稱性可知：四邊形為平行四邊形，，，，即，.故答案為：.13．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考期末）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點、，是它們的一個交點，，記橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則的最小值是.【答案】【解析】不妨設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為，，設(shè)兩曲線的焦距為，設(shè)，，則，，所以，，，化為，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，則的最小值是.故答案為：.04橢圓與雙曲線的4a通徑體14．（2024·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為、，過的直線與橢圓交于、兩點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，橢圓的焦距為，由題意得出，橢圓的離心率為，.由橢圓的定義可得，由余弦定理得，設(shè)，由橢圓的定義可得，由余弦定理得，即，解得.所以，，，因此，.故選D.15．（2024·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓：的左?右焦點分別為，(如圖)，過的直線交于，兩點，且軸，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，將代入橢圓方程知，解得：，即過點作軸，則，又，得，所以點的坐標(biāo)為，即又點在橢圓上，，即又，，，即故選：D16．（2024·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓：的左、右焦點分別為，（如圖），過的直線交于，兩點，且軸，，則的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得：，則，因為，則，解得，即，且點在橢圓上，則，整理得，解得，即.故選：A.17．（2024·山西太原·高三山西大附中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓E:的左，右焦點分別為，（如圖），過的直線交E于P，Q兩點，且軸，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意設(shè)，則，所以；由于，所以由得，化為，所以，得故選：A05橢圓與雙曲線的4a直角體18．（2024·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點為，，過的直線交于，兩點，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】運用特殊值法進(jìn)行求解.不妨設(shè)，利用勾股定理、余弦定理，結(jié)合橢圓的定義和離心率公式進(jìn)行求解即可.不妨設(shè)，則，，∴，，∴由得或（舍），∴，∴，又由得，∴.故選：C19．（2024·重慶·校聯(lián)考）已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線交雙曲線C的左支于P，Q兩點，若，且的周長為，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由雙曲線定義知，則，，所以，∴的周長為，∴，，由，所以，故，∴，∴，，∴，在中，，故.故選：A.20．（2024·廣西桂林·高三統(tǒng)考期末）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線交橢圓于，兩點，，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，∴，，∵，在中，由余弦定理，得：，∴，化簡可得，而，故，∴，，，∴，∴，且，∴是等腰直角三角形，，∴，∴橢圓的離心率.故選：D.21．（2024·湖南·校聯(lián)考）已知，，是雙曲線上的三個點，直線經(jīng)過原點，經(jīng)過右焦，若，且，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，因為，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，又，所以，，所以，得，所以，又因為，即，所以得離心率，選擇A22．（2024·湖北·高三開學(xué)考試）已知是雙曲線上的三個點，經(jīng)過原點，經(jīng)過右焦點，若且，則該雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)左焦點為，

，連接則，，，因為，且經(jīng)過原點所以四邊形為矩形在Rt△中，，代入化簡得所以在Rt△中，，代入化簡得，即所以選B23．（2024·山東聊城·統(tǒng)考）已知A，B，C是雙曲線上的三點，直線AB經(jīng)過原點O，AC經(jīng)過右焦點F，若，且，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接由題意知∴四邊形為矩形，令∵，∴在中，將帶入可得∴∴在中，即可得故選：D06橢圓與雙曲線的等腰三角形問題24．（2024·江西上饒·高三階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支相交于兩點，若，且，則雙曲線的離心率A． B． C． D．【答案】A【解析】因為且，所以為等腰直角三角形，所以,由雙曲線定義可得，，兩式相加得，所以，又，在中，由余弦定理，可得，解得.故選：A.25．（2024·北京海淀·?？寄M預(yù)測）雙曲線：的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線與雙曲線C的右支在第一象限的交點為A，與y軸的交點為B，且△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】為等邊三角形，則，設(shè)為原點，中，，故，故.故選：B26．（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知，分別為雙曲線：的左右焦點，過的直線與雙曲線的左支交于、兩點，連接，，在中，，，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，由雙曲線的定義可得，由，可得，即有，因為為等腰三角形，所以，解得，在△中，，化為，即有．故選：．07雙曲線的4a底邊等腰三角形27．（2024·四川成都·石室中學(xué)?？迹┮阎?，是雙曲線的左，右焦點，過點作斜率為的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于，兩點，以為圓心的圓過，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】取MN中點A，連AF2，由已知令，則，如圖：因點M，N為雙曲線左右兩支上的點，由雙曲線定義得，，則，令雙曲線半焦距為c，中，，中，，則有，即，因直線的斜率為，即，而，即，，于是有，，，所以雙曲線的離心率為.故選：B28．（2024·江西九江·統(tǒng)考）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線分別交雙曲線左、右兩支于點P，Q，點M為線段PQ的中點，若P，Q，F(xiàn)1都在以M為圓心的圓上，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．2 C． D．2【答案】C【解析】以PQ為直徑的圓經(jīng)過點F1，則，又，可知PQ⊥MF1，則|PF1|＝|QF1|，故三角形PF1Q是等腰直角三角形，設(shè)|PF1|＝t，則|PQ|t，由雙曲線的定義可知：|PF2|＝t+2a，|QF2|＝t﹣2a，可得|PQ|＝4a，則t＝4a，即t＝2a，則：|PF2|，在Rt△MF1F2中，|MF1|2a，|MF2|＝|PF1|﹣|PM|＝2a，由勾股定理可知|F1F2|＝2a＝2c，則雙曲線C的離心率為：e．故選：C．29．（2024·安徽合肥·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線左右兩支交于，兩點，以為直徑的圓過，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為即所以在三角形中，有余弦定理可得：所以即因為以MN為直徑的圓經(jīng)過右焦點F2，所以，又|MF2|＝|NF2|，可得△MNF2為等腰直角三角形，設(shè)|MF2|＝|NF2|＝m，則|MN|m，由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，兩式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，即有m＝2a，在直角三角形HF1F2中可得4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，化為c2＝3a2，即e．故選：B．30．（2024·河北石家莊·統(tǒng)考）已知，分別為橢圓的左、右焦點，點是橢圓上位于第一象限內(nèi)的點，延長交橢圓于點，若，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，，，因為，故.因，故，整理得到，即，故選A.31．（2024·山東煙臺·統(tǒng)考）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在的右支上，與交于點，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由且知：△為等腰直角三角形且、，即，∵，∴，故，則，而在△中，，∴，則，故.故選：B.08焦點到漸近線距離為b32．（2024·四川瀘州·高三統(tǒng)考期末）已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦點，過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，且與C的右支交于點Q，若（O為坐標(biāo)原點），則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】根據(jù)對稱性不妨設(shè)P為第一象限的點，∵O為F1F2的中點，又，∴Q為PF2的中點，又F2（c，0）到的距離，∴|PF2|＝b，∴|QF2|＝，連接，所以，又|F1F2|＝2c，∵PO的斜率為，又QF2⊥PO，∴QF2的斜率為，∴，∴，在△QF2F1中，由余弦定理可得：，化簡可得a＝b，∴雙曲線C的離心率為＝.故選：A.33．（2024·安徽滁州·高三統(tǒng)考期末）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，過F2作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為H，若|HF1|=3|HF2|，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題設(shè)條件推導(dǎo)出，，可得的坐標(biāo)，由兩點間的距離公式得，計算求出離心率．由題設(shè)知雙曲線C：的一條漸近線方程為：，∵右焦點，且，∴，∴，由，解得，∴，∴，平方化簡得，又，∴，即，，即，所以，故得，故選：D.34．（2024·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點，O是坐標(biāo)原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝3|OP|，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，則，，，在中，，在中，，，即，所以故選：A．35．（2024·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的焦點在，過點的直線與兩條漸近線的交點分別為M?N兩點(點位于點M與點N之間)，且，又過點作于P(點O為坐標(biāo)原點)，且，則雙曲線E的離心率（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，可得如下示意圖：其中，知：，又，，即且，∴中，有，得，∴在中，，若與x軸夾角為，即，∴，由，即可得.故選：C09焦點到漸近線垂線構(gòu)造的直角三角形36．（2024·安徽宣城·統(tǒng)考）設(shè)是雙曲線的一個焦點，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，與兩條漸近線分別交于兩點．若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．5【答案】C【解析】不妨設(shè)，過作雙曲線一條漸近線的垂線方程為，與聯(lián)立可得；與聯(lián)立可得，∵，∴，整理得，，即，∵，∴．故選：C．37．（2024·浙江臺州·高三臺州一中?？茧A段練習(xí)）如圖，已知雙曲線，過其右焦點F作漸近線的垂線，垂足為H，交另一條漸近線于點A，已知O為原點，且，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由題意直線方程為，由，解得，即，由，解得，即，由圖知，在第二象限，，所以，，代入可得，化簡得，，因為，所以，即，．故選：D．38．（2024·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線，過其右焦點作漸近線的垂線，垂足為，交軸于點，交另一條漸近線于點，并且點位于點，之間．已知為原點，且，則雙曲線離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】雙曲線的右焦點，漸近線的方程為，即，漸近線OA的方程為，即．所以，，．所以，．解得或（舍去），所以雙曲線的離心率為，故選：C．39．（2024·四川巴中·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線：（，），過的右焦點作垂直于漸近線的直線交兩漸近線于，兩點，，兩點分別在一、四象限，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根據(jù)點到直線距離公式求得，再由用表示出.根據(jù)雙曲線的漸近線方程及正切二倍角公式，即可求得與的等量關(guān)系式，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.雙曲線：（，），右焦點，漸近線方程為.將漸近線方程化為一般式為，雙曲線滿足，過的右焦點作垂直于漸近線的直線交兩漸近線于，兩點，，兩點分別在一、四象限，如下圖所示:由點到直線距離公式可知，根據(jù)題意，則，設(shè)，由雙曲線對稱性可知，而，，由正切二倍角公式可知，即，化簡可得，由雙曲線離心率公式可知，故選：B.10以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題40．（2024·湖南長沙·高三長沙市明德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為、，過的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如下圖示，因為，，是中點，所以是中點且，則，，因為直線是雙曲線的漸近線，所以，，直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，整理得，因為，所以，.故選：A41．（2024·江蘇徐州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是雙曲線的左焦點，圓與雙曲線在第一象限的交點為，若的中點在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】由題意可設(shè)右焦點為，因為，且圓：，所以點在以焦距為直徑的圓上，則，設(shè)的中點為點，則為的中位線，所以，則，又點在漸近線上，所以，且，則，，所以，所以，則在中，可得，，即，解得，所以，故選：A．42．（2024·山東煙臺·統(tǒng)考）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，過作傾斜角為的直線與軸和雙曲線的右支分別交于點、，若，則該雙曲線的離心率為A．2 B． C． D．【答案】C【解析】分析：由題意求出直線方程，再根據(jù)，可得為的中點，根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出的坐標(biāo)，代入雙曲線方程可得，化簡整理即可求出∵，∴為的中點，由題意可得直線方程為當(dāng)時，設(shè)∴，即即整理可得即解得．故選C．43．（2024·甘肅蘭州·校聯(lián)考）(2017·蘭州模擬)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線(a>0，b>0)的左、右焦點，以F1F2為直徑的圓與雙曲線右支的一個交點為P，PF1與雙曲線相交于點Q，且|PQ|＝2|QF1|，則該雙曲線的離心率為()A． B．2 C． D．【答案】A【解析】如圖，連接.由|，可設(shè)則|；由，得|由得點在以為直徑的圓上，由，得解得，化簡得雙曲線的離心率故選A.44．（2024·福建莆田·統(tǒng)考）已知雙曲線的左、右焦點分別為，以線段為直徑的圓與的漸近線在第一象限的交點為，且.設(shè)的離心率為，則=A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，結(jié)合已知可求得，由漸近線上點滿足可得（為雙曲線右頂點）且，利用面積可建立的關(guān)系式，變形后可求得．由題意，則①，又②，得＝，∵在漸近線上且，設(shè)為雙曲線右頂點，如圖，則，且，由得，于是，變形為，解得（舍去），故選B．11漸近線平行線與面積問題45．（2024·安徽蕪湖·統(tǒng)考）設(shè)為雙曲線上任意一點，過點作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于，兩點．若的面積為4，則雙曲線D的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】設(shè)，設(shè)過點與雙曲線漸近線平行的直線交雙曲線漸近線于點，過點與雙曲線漸近線