浙江省嘉興市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

浙江省嘉興市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題（共8小題，每小題5分，合計40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項正確）1．若直線過兩點，，則直線AB的傾斜角為（

）A． B．C．（） D．（）2．已知、，動點滿足，則點的軌跡是（

）A．橢圓 B．圓 C．直線 D．線段3．已知點和點，則以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．4．若橢圓和雙曲線的共同焦點為是兩曲線的一個交點，則的面積值為（

）A． B． C． D．85．如圖，已知空間四邊形，其對角線為、，、分別是對邊、的中點，點在線段上，且，現(xiàn)用基向量，，表示向量，設(shè)，則、、的值分別是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，6．已知定點，點為拋物線上一動點，點到直線的距離為，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知長方體，，，M是的中點，點P滿足，其中，，且平面，則動點P的軌跡所形成的軌跡長度是（

）A． B．6 C． D．58．已知雙曲線（，）的左焦點為F，M，N，P是雙曲線C上的點，其中線段MN的中點恰為坐標(biāo)原點O，且點M在第一象限，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（共4小題，每小題5分，計20分.在每小題給出的四個選項中，多個選項正確.全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯或不答的得0分.）9．下列說法正確的是（

）A．任意一條直線都有傾斜角和斜率B．點關(guān)于直線的對稱點為C．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為D．過點且圓相切的直線方程是10．已知過拋物線（）的焦點的直線交拋物線C于，兩點，且，直線OA和OB的斜率分別為，則（

）A． B．C．線段長的最小值為4 D．11．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，在陽馬中，平面ABCD，若，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點，則（

）A．平面PACB．平面EFCC．點到直線的距離為D．AC與平面EFC的所成角的正弦值為12．已知是橢圓（）焦點，且，過點作不與坐標(biāo)軸垂直的直線l與橢圓交于P，Q兩點，當(dāng)點P為橢圓C的上頂點時，直線l與直線垂直，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，的面積是B．若點，則的最大值為C．若點M，N在x軸上，其中（O為坐標(biāo)原點），，且點A為直線PN，QM的交點，則點A的橫坐標(biāo)為D．過橢圓的左焦點作直線l的垂線，交橢圓于、兩點，當(dāng)點為橢圓的上頂點時，的周長為三、填空題（本大題共4小題，共20分）13．已知雙曲線（，）的右焦點到漸近線的距離為，且實軸長為2，則該雙曲線左焦點的坐標(biāo)為．14．圓和的公共弦所在直線方程為．15．已知點，，，則向量與的夾角為．16．已知拋物線，是拋物線上異于原點的兩個動點，直線與拋物線相切且交于點，且，值是．四?解答題：本題共有6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程和演算步驟.17．已知直線與（）．(1)若，求的值；(2)若，求直線到的距離．18．已知直線（）和圓交于A，B兩點，(1)求證：直線過一定點，并求出定點的坐標(biāo)；(2)當(dāng)線段AB的長取最小值時，求的值．19．已知過點的直線與橢圓相交于A，B兩點，且M是AB的中點，(1)求直線的方程；(2)求面積．20．在四棱錐中，平面平面，，，為中點，，．(1)求證：；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.21．已知雙曲線過點，它的漸近線方程是．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線交于兩點，直線的傾斜角互補，求直線的斜率．22．已知點，，平面內(nèi)一動點滿足直線與的斜率乘積為．(1)求動點的軌跡的方程；(2)直線交軌跡于兩點，若直線的斜率是直線的斜率的倍，求坐標(biāo)原點到直線的距離的取值范圍．1．B【分析】求出直線的斜率，進而求出其傾斜角即可.【詳解】點，，則直線的斜率，直線的傾斜角滿足，而，因此，所以直線的傾斜角為.故選：B2．D【分析】由已知可得出，分析可得結(jié)果.【詳解】因為、，動點滿足，所以點的軌跡為線段.故選：D.3．C【分析】求圓心與半徑可得標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因為點和點為直徑端點，所以中點，即為圓心，由，則圓的半徑，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.4．A【分析】設(shè)點，根據(jù)方程組求點P的坐標(biāo)和焦距，進而可得面積.【詳解】對于橢圓可知：半長軸長為5，半短軸長為3，半焦距為4，則，設(shè)點，則，解得，所以的面積值為.故選：A.5．D【分析】利用向量的三角形法則及平行四邊形法則和向量形式的中點公式即可得出．【詳解】、分別是對邊、的中點，，．，因此，．故選：D6．C【分析】拋物線的焦點為，設(shè)點，則，可得出，分析可知，當(dāng)點為線段與拋物線的交點時，取最小值，即可得解.【詳解】拋物線的焦點為，設(shè)點，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)點為線段與拋物線的交點時，等號成立，故的最小值為.故選：C.7．D【分析】根據(jù)給定條件，可得點在平面內(nèi)，再利用線面、線線平行的判定性質(zhì)推理計算即得.【詳解】在長方體中，由，，得點在矩形及內(nèi)部，當(dāng)為中點時，連接，如圖，由M是的中點，得，而長方體的對角面是矩形，則，因此，又平面，平面，于是平面，又在過且平行于平面的平面中，故的軌跡為線段即為.而，則，所以動點P的軌跡所形成的軌跡長度是5.故選：D8．B【分析】易證得四邊形為矩形，設(shè)，結(jié)合雙曲線定義可表示出，，，，在，中，利用勾股定理可構(gòu)造方程求得，由此可得漸近線方程．【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為，連接，，，

，，，又為中點，四邊形為矩形；設(shè)，則，，，，，，解得：，又，，得，即，所以雙曲線的離心率為.故選：B.9．BD【分析】選項A，根據(jù)傾斜角和斜率的概念即可判斷；選項B，設(shè)關(guān)于直線對稱的點為，得到，再解方程即可判斷；選項C，分別討論直線過原點和不過原點兩種情況，即可判斷；選項D，先判斷點在圓上，再由相切性質(zhì)求出直線斜率，求出直線方程即可判斷.【詳解】選項A，任意一條直線都有傾斜角，當(dāng)傾斜角為時，不存在斜率，故A錯誤；選項B，設(shè)關(guān)于直線對稱的點為，則，解得，即關(guān)于直線對稱的點為，故B正確；選項C，當(dāng)所求直線過原點時，設(shè)直線為，因為點在上，所以，所求直線為.當(dāng)直線不過原點時，設(shè)所求直線為，因為點在上，所以，所求直線為.綜上，所求直線為或，故C錯誤；選項D，由，則點在圓上，且直線斜率，設(shè)過點且圓相切的直線為，斜率為，由圓心，，得，則，則切線方程為，化簡得，故D正確.故選：BD.10．BC【分析】直接由特殊值（）求得，及判斷AD，并驗證BC選項，然后在斜率存在時，設(shè)其方程為，代入拋物線方程得出，由焦點弦長公式得判斷C，利用計算后判斷C．【詳解】當(dāng)時，，，，，A錯；當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程為，代入拋物線方程得，，解得（負值舍去），焦點為，拋物線方程為，當(dāng)與軸垂直時，，，可取，此時，，，，D錯；，，，，而異號，所以，，B正確；，綜上，，當(dāng)軸時，取得最小值4，C正確，故選：BC．11．AC【分析】利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明選項A;利用空間向量的坐標(biāo)運算證明線面位置關(guān)系求解選項B；利用空間向量的坐標(biāo)運算求點到直線的距離求解選項C；利用間向量的坐標(biāo)運算求解線面夾角的正弦值.【詳解】對A，連接，則因為E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點，所以,因為平面ABCD，平面ABCD，所以,且平面，所以平面，則平面，A正確；對B，因為平面ABCD，平面ABCD，所以,且,所以以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)平面的一個法向量為，則有令，則，所以，因為，所以與平面EFC不平行，B錯誤；對C，設(shè)到直線的距離為，則，所以，C正確；設(shè)AC與平面EFC的所成角為，,所以，D錯誤；故選:AC.12．BCD【分析】由題意，利用垂直關(guān)系求橢圓的上頂點即求，再利用關(guān)系求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用橢圓的定義和余弦定理聯(lián)立方程組得，再利用三角形面積公式即可判斷A選項；利用橢圓的定義將的最大值轉(zhuǎn)化為的最大值問題，當(dāng)點在線段的延長線時，的最大值為，進而判斷B選項；由的方程與橢圓的方程得到一元二次方程，由韋達定理得系數(shù)與根的關(guān)系，再根據(jù)條件直線PN，QM聯(lián)立方程組，從而求出它們交點的橫坐標(biāo)，即可判斷C選項；由題意，可得直線是線段的垂直平分線，進而利用橢圓的定義可求的周長，即可判斷D選項.【詳解】因為過點作不與坐標(biāo)軸垂直的直線l，所以設(shè)直線的方程為.因為當(dāng)點P為橢圓C的上頂點時，直線l與直線垂直，所以，得，此時直線的方程為，橢圓C的上頂點為，即.由得，在橢圓中，所以.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.對于A：由橢圓的定義得，取平方得，即①，由得，即②，由①②得，，即..故A選項錯誤；對于B：；當(dāng)不共線時，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，得到，當(dāng)點在線段的延長線時，得到，所以，因此，故的最大值為，B選項正確；對于C：由題意，設(shè)直線的方程與橢圓有兩個交點，所以，即，設(shè)兩個交點，由韋達定理可得③，④；由點M，N在x軸上，其中（O為坐標(biāo)原點），可得，直線的方程為：⑤，直線的方程為：⑥，把⑤代入⑥得，，即，化簡得，把③④代入得，，即，得，故直線PN，QM的交點的橫坐標(biāo)為，C選項正確；對于D：設(shè)過橢圓的左焦點作直線l的垂線，垂足為，當(dāng)點為橢圓的上頂點時，，此時為等邊三角形，所以為線段的中點，進而可得為線段的垂直平分線，所以.因此，的周長等于.故的周長為，D選項為正確.故選：BCD.13．【分析】根據(jù)給定的雙曲線求出漸近線的方程，再借助點到直線距離求出即可作答.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，令的半焦距為c，由到漸近線的距離為，得，而，因此，所以該雙曲線左焦點的坐標(biāo)為.故答案為：14．【分析】根據(jù)公共弦直線方程的求解方法求解.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，所以圓心距，所以兩圓相交，有公共弦，由，可得即為公共弦所在直線方程，故答案為：.15．【分析】先求向量的坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)運算求夾角.【詳解】由，，，則，則，所以向量與的夾角為.故答案為：.16．【分析】設(shè)，，切線方程為，由直線與拋物線相切求得，同理得，從而由得，然后計算即可得．【詳解】設(shè)，，切線方程為，由得，，，即，，同理切線的斜率為，因為，所以，即，，故答案為：．17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)直線的垂直的充要條件求解；（2）由直線平行的條件求出，再檢驗后，根據(jù)平行線間距離公式求解.【詳解】（1）因為，所以，解得.（2）因為,所以，解得或，當(dāng)時，與平行，當(dāng)時，與重合，不符合題意，故，此時，直線到的距離.18．(1)證明見解析，；(2)【分析】（1）根據(jù)給定的直線方程求出定點坐標(biāo)即可.（2）確定定點與圓的位置關(guān)系，求出過定點的圓的直徑斜率即可得解.【詳解】（1）直線，由，得，顯然無論取什么實數(shù)，直線都過點，所以直線過定點，點的坐標(biāo)為.（2）由（1）知，點，顯然點在圓內(nèi)，而圓的圓心，由圓的性質(zhì)知，當(dāng)時，弦AB的長取最小值，又直線的斜率，所以.19．(1)(2)【分析】（1）設(shè)，代入橢圓方程相減得合中點坐標(biāo)直線得斜率，從而得直線方程；（2）直線方程代入橢圓方程應(yīng)用韋達定理得，由弦長公式得弦長，再求得原點到直線的距離后可得三角形面積．【詳解】（1），點在橢圓內(nèi)部，設(shè)，則，由，得，，所以直線方程為，即；（2）由得，，，，又原點到直線的距離為，所以．20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法證明線線垂直；（2）用空間向量法求二面角．【詳解】（1）因為為中點，，所以，又平面平面，平面，所以平面，以為軸，過與平行的直線為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，所以，即；（2）由（1），又，設(shè)平面的一個法向量是，則，取，則，，即，設(shè)平面的一個法向量是，則，取，得，又，所以，，所以平面與平面的夾角的余弦值為．21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)雙曲線經(jīng)過的點和漸近線方程列方程求解；（2）將直線的傾斜角互補轉(zhuǎn)化為，再利用韋達定理求解.【詳解】（1）若雙曲線焦點在軸上，設(shè)方程為，則有，解得，所以雙曲線方程為；若雙曲線焦點在軸上，設(shè)方程為，則有，無解；綜