高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（人教A版2019選擇性必修三）專題8.3一元線性回歸模型及其應(yīng)用（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

專題8.3一元線性回歸模型及其應(yīng)用（重難點(diǎn)題型精講）1．一元線性回歸模型把式子為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.2．線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程與最小二乘法設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(,)，(,)，，(,)，由=+a+(i=1，2，，n)，得|(+a)|=||，顯然||越小，表示樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)離直線y=bx+a的豎直距離越小.

通常用各散點(diǎn)到直線的豎直距離的平方之和Q=來(lái)刻畫(huà)各樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)與直線y=bx+a的“整體接近程度”.當(dāng)a，b的取值為時(shí)，Q達(dá)到最小.將=x+稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計(jì).

經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過(guò)點(diǎn)(,).3．殘差分析對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.4．刻畫(huà)回歸效果的方式(1)殘差圖法

作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖.在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，說(shuō)明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高.

(2)殘差平方和法

殘差平方和為，殘差平方和越小，模型擬合效果越好.

(3)利用刻畫(huà)擬合效果

=.

越大，模型的擬合效果越好，越小，模型的擬合效果越差.(1)對(duì)于變量x和變量y，設(shè)經(jīng)過(guò)隨機(jī)抽樣獲得的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(,)，(,)，，(,)，利用相關(guān)系數(shù)r來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式：（其中，，，和，，，的均值分別為和）.①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變??；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變大.

②當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變大；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變小.【題型1一元線性回歸模型】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)一元線性回歸模型的定義，結(jié)合具體題目條件，進(jìn)行求解即可.【例1】（2022·高二單元測(cè)試）根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程為Y=nX+m，若樣本點(diǎn)的中心x,y為5,0.9，則當(dāng)X每增加1個(gè)單位時(shí)，Y平均（X34567Y4.0m?5.40.50.5n?0.6A．增加1.4個(gè)單位 B．減少1.4個(gè)單位 C．增加7.9個(gè)單位 D．減少7.9個(gè)單位【變式11】（2022春·黑龍江大慶·高二期末）給出下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．回歸直線y=bB．兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)|r|就越接近1C．某7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個(gè)新數(shù)據(jù)4，此時(shí)這8個(gè)數(shù)的方差不變D．在回歸直線方程y=2?0.5x中，當(dāng)變量x增加一個(gè)單位時(shí)，y【變式12】（2022春·河南南陽(yáng)·高二期中）已知變量x和y的回歸直線方程為y=0.2021x+0.202，變量y與z負(fù)相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是（

A．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān) B．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)【變式13】（2022春·陜西渭南·高一期末）根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：x345678y4.02.50.50.50.40.1得到線性回歸方程為y=bx+a，則（

）A．a(chǎn)>0,b>0 B．a(chǎn)>0,b<0 C．a(chǎn)<0,b>0 D．a(chǎn)<0,b<0【題型2殘差的計(jì)算】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，得出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，再進(jìn)行殘差的計(jì)算.【例2】（2022春·湖北·高二期末）某城市選用一種植物進(jìn)行綠化，設(shè)其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測(cè)得一些數(shù)據(jù)如下表所示：第x天1234567高度y/cm1469111213由表格中數(shù)據(jù)可得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=2.04x+a，則第7天的殘差為（A．1.12 B．2.12 C．?1.12 D．?2.12【變式21】（2023春·河南開(kāi)封·高三開(kāi)學(xué)考試）某部門(mén)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)今年前7個(gè)月在線外賣(mài)的規(guī)模如下表：月份代號(hào)x1234567在線外賣(mài)規(guī)模y（百萬(wàn)元）111318★28★35其中4、6兩個(gè)月的在線外賣(mài)規(guī)模數(shù)據(jù)模糊，但這7個(gè)月的平均值為23．若利用回歸直線方程y=bx+a來(lái)擬合預(yù)測(cè)，且7月相應(yīng)于點(diǎn)7,35的殘差為?0.6，則A．1.0 B．2.0 C．3.0 D．4.0【變式22】（2022春·河南許昌·高二期末）為研究變量x，y的相關(guān)關(guān)系，收集得到下面五個(gè)樣本點(diǎn)（x，y）：x5.56.577.58.5y98643若由最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線方程為y=?1.8x+a，則據(jù)此計(jì)算殘差為1.1的樣本點(diǎn)是（

）A．（5.5，9） B．（6.5，8） C．（7，6）【變式23】（2022春·江蘇宿遷·高二階段練習(xí)）在對(duì)具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量x和y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，得到如下數(shù)據(jù)：x4m81012y12356由表中數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的回歸方程為y=0.65x?1.8，則4,1，m,2，8,3這三個(gè)樣本數(shù)據(jù)中，殘差的絕對(duì)值最小的是（

A．4,1 B．m,2 C．8,3 D．4,1和m,2【題型3刻畫(huà)回歸效果的方式】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)刻畫(huà)回歸效果的三種方式，結(jié)合具體題目條件，選取適當(dāng)?shù)姆绞絹?lái)刻畫(huà)模型的擬合效果，即可得解.【例3】（2022秋·寧夏銀川·高三開(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）(1)在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越差(2)某地氣象局預(yù)報(bào)：6月9日本地降水概率為90%，結(jié)果這天沒(méi)下雨，這表明天氣預(yù)報(bào)并不科學(xué)(3)回歸分析模型中，殘差平方和越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好(4)在回歸直線方程y=0.1x+10A．2 B．3 C．4 D．1【變式31】（2022春·山東菏澤·高二期末）關(guān)于線性回歸的描述，下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心 B．殘差平方和越小，擬合效果越好C．決定系數(shù)R2越接近1，擬合效果越好 D．殘差平方和越小，決定系數(shù)R【變式32】（2022秋·廣東廣州·高三階段練習(xí)）對(duì)兩個(gè)變量y和x進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)x1,y1，x2A．若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r=?0.9462，則變量y和x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．用決定系數(shù)R2來(lái)刻畫(huà)回歸效果，RD．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越高【變式33】（2022春·甘肅天水·高二階段練習(xí)）關(guān)于線性回歸的描述，有下列命題：①回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)；②相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越大，擬合效果越好；③相關(guān)指數(shù)R2④殘差平方和越小，擬合效果越好.其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【題型4代入法求線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程】【方法點(diǎn)撥】經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(,)，求出樣本點(diǎn)的中心后代入線性回歸方程求解相應(yīng)字母.【例4】（2023秋·四川廣安·高二階段練習(xí)）已知兩個(gè)變量x和y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，某興趣小組收集了一組x，y的樣本數(shù)據(jù)如下表所示：x12345y0.50.611.41.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)利用最小二乘法得到的回歸方程是（

）A．y=0.21x+0.53 B．y=0.25x+0.21C．y=0.28x+0.16 D．y=0.31x+0.11【變式41】（2022秋·陜西榆林·高二期中）已知x，y的取值如下表所示：x0134y2.24.34.86.7若y與x線性相關(guān)，且y=0.95x+a，則a=（

）A．2.2 B．2.9 C．2.8 D．2.6【變式42】（2023秋·河南焦作·高二期末）某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷(xiāo)售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：廣告費(fèi)用x（萬(wàn)元）3456銷(xiāo)售額y（萬(wàn)元）25304045根據(jù)如表可得回歸方程y=bx+a中的b為7．根據(jù)此模型預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用為10萬(wàn)元時(shí)銷(xiāo)售額為（

）萬(wàn)元A．63.6 B．75.5【變式43】（2023秋·四川宜賓·高二期末）某小區(qū)流感大爆發(fā)，當(dāng)?shù)蒯t(yī)療機(jī)構(gòu)使用中西醫(yī)結(jié)合的方法取得了不錯(cuò)的成效，每周治愈的患者人數(shù)如表所示，由表格可得y關(guān)于x的線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=36x?48，則測(cè)此回歸模型第4周的治愈人數(shù)為（

周數(shù)（x）12345治愈人數(shù)（y）51535？140A．106 B．105 C．104 D．103【題型5經(jīng)驗(yàn)回歸模型的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】(1)確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是響應(yīng)變量；(2)畫(huà)出解釋變量和響應(yīng)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)；(3)確定經(jīng)驗(yàn)回歸方程的類(lèi)型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程)；(4)按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計(jì)經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù)；(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(如個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等)，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.【例5】（2023秋·四川雅安·高二期末）某連鎖經(jīng)營(yíng)公司所屬5個(gè)零售店某月的銷(xiāo)售額和利潤(rùn)額資料如表．商店名稱ABCDE銷(xiāo)售額x（千萬(wàn)元）35679利潤(rùn)額y（千萬(wàn)元）23345(1)若銷(xiāo)售額和利潤(rùn)額具有相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法計(jì)算利潤(rùn)額y對(duì)銷(xiāo)售額x的回歸直線方程．（參考公式b=i=1n(2)若該公司計(jì)劃再開(kāi)一個(gè)店想達(dá)到預(yù)期利潤(rùn)為8百萬(wàn)，請(qǐng)預(yù)估銷(xiāo)售額需要達(dá)到多少?【變式51】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）目前已經(jīng)成為人們生活中的必需品，國(guó)內(nèi)市場(chǎng)已經(jīng)進(jìn)入成熟期，下表是2016—2021年某市總體出貨量（單位：萬(wàn)部）統(tǒng)計(jì)表．年份2016年2017年2018年2019年2020年2021年年份代碼x123456總體出貨量y/萬(wàn)部5.64.94.13.93.23.5(1)已知該市總體出貨量y與年份代碼x之間可用線性回歸模型擬合，求y關(guān)于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；(2)預(yù)測(cè)2022年該市總體出貨量．附：線性回歸方程y=a+bx【變式52】（2023秋·四川成都·高二期末）某工廠統(tǒng)計(jì)2022年銷(xiāo)售網(wǎng)點(diǎn)數(shù)量與售賣(mài)出的產(chǎn)品件數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：銷(xiāo)售網(wǎng)點(diǎn)數(shù)x（單位：個(gè)）1719202123售賣(mài)出的產(chǎn)品件數(shù)y（單位：萬(wàn)件）2122252730假定該工廠銷(xiāo)售網(wǎng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)與售賣(mài)出的產(chǎn)品件數(shù)呈線性相關(guān)關(guān)系，(1)求2022年售賣(mài)出的產(chǎn)品件數(shù)y（單位：萬(wàn)件）關(guān)于銷(xiāo)售網(wǎng)點(diǎn)數(shù)x（單位：個(gè)）的線性回歸方程；(2)根據(jù)（1）中求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)2022年該工廠建立40個(gè)銷(xiāo)售網(wǎng)點(diǎn)時(shí)售賣(mài)出的產(chǎn)品件數(shù).參考公式：b=i=1n【變式53】（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)5G技術(shù)給直播行業(yè)帶來(lái)了很多發(fā)展空間，加上受疫情影響，直播這種成本較低的獲客渠道備受商家青睞，某商場(chǎng)統(tǒng)計(jì)了2022年1~5月某商品的線上月銷(xiāo)售量y（單位：千件）與售價(jià)x月份12345售價(jià)x（元/件）6056585754月銷(xiāo)售量y（千件）597109(1)求相關(guān)系數(shù)r，并說(shuō)明是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系（當(dāng)|r|∈[0.75,1]時(shí)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；否則，沒(méi)有很強(qiáng)的線性相關(guān)性）（精確到0.01）；(2)建立y關(guān)于x的線性回歸方程，并估計(jì)當(dāng)售價(jià)為55元/件時(shí)，該商品的線上月銷(xiāo)售量估計(jì)為多少千件？(3)若每件商品的購(gòu)進(jìn)價(jià)格為(0.5x+25)元/件，如果不考慮其他費(fèi)用，由（2）中結(jié)論，當(dāng)商品售價(jià)為多少時(shí)，可使得該商品的月利潤(rùn)最大？（該結(jié)果保留整數(shù)）參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)xi,yi(i=1,2,3,?,n)，相關(guān)系數(shù)r=i=1n【題型6非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法】【方法點(diǎn)撥】(1)作散點(diǎn)圖確定曲線模型：曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)種類(lèi)繁多，這就要求我們充分想象，大膽猜測(cè)擬合函數(shù)類(lèi)型，粗略估計(jì)使用哪個(gè)函數(shù)擬合.(2)非線性轉(zhuǎn)化為線性：先通過(guò)適當(dāng)變換化非線性關(guān)系為線性關(guān)系，然后按照線性檢驗(yàn)回歸方程的求解步驟進(jìn)行求解.(3)分析模型的擬合效果，得出結(jié)論.【例6】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）為了研究某種細(xì)菌隨天數(shù)x變化的繁殖個(gè)數(shù)y，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)x123456繁殖個(gè)數(shù)y36132545100(1)判斷y=bx+a（a,b為常數(shù)）與y=c1(2)對(duì)于非線性回歸方程y=c1ec2x（c1,xyzi=1i=1i=13.50322.8517.530712.12（ⅰ）證明：對(duì)于非線性回歸方程y=c1ec2x，令z=（ⅱ）根據(jù)（?。┑呐袛嘟Y(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)保留2位小數(shù)）．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)u1,v1,【變式61】（2023·云南·高三階段練習(xí)）近年來(lái)，云南省保山市龍陵縣緊緊圍繞打造“中國(guó)石斛之鄉(xiāng)”的發(fā)展定位，大力發(fā)展石斛產(chǎn)業(yè)，該產(chǎn)業(yè)帶動(dòng)龍陵縣近四分之一人口脫貧致富．2022年8月，龍陵紫皮石斛獲國(guó)家地理標(biāo)志運(yùn)用促進(jìn)工程重點(diǎn)項(xiàng)目，并被評(píng)為優(yōu)秀等次．在政府的大力扶持下，龍陵紫皮石斛產(chǎn)量逐年增長(zhǎng)，2017年底到2022年底龍陵縣石斛產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如下及散點(diǎn)圖如圖．年份201720182019202020212022年份代碼x123456紫皮石斛產(chǎn)量y（噸）320034003600420075009000(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=ax+b與y=cedx（a，b，c，d均為常數(shù)）哪一個(gè)更適合作為龍陵縣紫皮石斛產(chǎn)量y關(guān)于年份代碼(2)經(jīng)計(jì)算得下表中數(shù)據(jù)，根據(jù)（1）中結(jié)果，求出y關(guān)于x的回歸方程；xyui=1i=1i=13.551508.4617.5209503.85其中u=ln(3)龍陵縣計(jì)劃到2025年底實(shí)現(xiàn)紫皮石斛年產(chǎn)量達(dá)1.5萬(wàn)噸，根據(jù)（2）所求得的回歸方程，預(yù)測(cè)該目標(biāo)是否能完成？（參考數(shù)據(jù)：e9.45附：b=i=1n【變式62】（2023·江西撫州·高三開(kāi)學(xué)