2023中考二次函數(shù)(含答案)

1.如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線y=x-3交于A、B兩點，其中點A在y軸上，點B坐標為(-4,-5),點P

為y軸左側的拋物線上一動點，過點P作PCJ_x軸于點C,交AB于點D.(1)求拋物線的解析式；(2)以0,

A,P,D為頂點的平行四邊形是否存在？如存在，求點P的坐標；假設不存在，說明理由.(3)當點P運動

到直線AB下方某一處時，過點P作PMLAB,垂足為M,連接PA使APAM為等腰直角三角形，請直接寫出

此時點P的坐標.

2.在直角坐標系xoy中，A(0,2)、B(-l,0),將A4B。經(jīng)過旋轉、平移變化后得到如下圖15.1的

(1)求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；(2)連結AC,點P是位于線段上方的拋物線上一動點，

假設直線PC將A48C的面積分成1:3兩局部，求此時點P的坐標；(3)現(xiàn)將A48。、ABC。分別向下、向

左以1：2的速度同時平移，求出在此運動過程中\(zhòng)ABO與ABC。重疊局部面積的最大值.

3.如圖，拋物線y=ax2+bx+c(aW0)的對稱軸為直線x=-l,且經(jīng)過A(1,0),C(0,3)兩點，與x軸的另

一個交點為8.⑴假設直線y=mx+c經(jīng)過8,C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；⑵在拋物線的對稱軸x

=一1上找一點使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求點M的坐標；⑶設點P為拋物線的

對稱軸x=-l上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標.

第25題圖

4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+〃x-8與x軸交于A,8兩點，與y軸交于點C,直線/經(jīng)過坐標

原點。，與拋物線的一個交點為。，與拋物線的對稱軸交于點E,連接CE,點4。的坐標分別為

(-2,0),(6,-8).(1)求拋物線的函數(shù)表達式，并分別求出點B和點E的坐標；(2)試探究拋物線上是

否存在點F,使△尸OE也AFCE,假設存在，請直接寫出點F的坐標；假設不存在，請說明理由；(3)假設點

P是y軸負半軸上的一個動點，設其坐標為(0,m),直線P8與直線/交于點Q.試探究：當m為何值時，\OPQ

是等腰三角形.

5.如圖，拋物線y=ax2+bx-5(axO)經(jīng)過點A(4,-5),與x軸的負半軸交于點B,與y軸交于點C,且OC=5OB,

拋物線的頂點為點D.(1)求這條拋物線的表達式；(2)聯(lián)結AB、BC、CD、DA,求四邊形ABCD的面積;

(3)如果點E在y軸的正半軸上，且NBEO=NABC,求點E的坐標.

6.如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-3,0),B(9,0)和C[0,4).CD垂直于y軸，交拋物線于點D,

DE垂直與x軸，垂足為E,1是拋物線的對稱軸，點F是拋物線的頂點.(1)求出二次函數(shù)的表達式以及點

D的坐標；(2)假設RtAAOC沿x軸向右平移到其直角邊OC與對稱軸1重合，再沿對稱軸1向上平移到點

C與點F重合，得到RJAQF，求此時RSAQF與矩形OCDE重疊局部的圖形的面積；13)假設RSAOC

沿x軸向右平移t個單位長度(0<t<6)得到RtAA202c2,R3A2O2C2與RtAOED重疊局部的圖形面積記為

S,求S與t之間的函數(shù)表達式，并寫出自變量t的取值范圍.

7.如圖，拋物線y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(-2,0),點B(4,0),點D(2,4),與y軸交于點C,作直線

BC,連接AC,CD.(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)E是拋物線上的點，求滿足NECD=NACO的點E的

坐標；(3)點M在y軸上且位于點C上方，點N在直線BC上，點P為第一象限內(nèi)拋物線上一點，假設以點

C,M,N,P為頂點的四邊形是菱形，求菱形的邊長.

8.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過兩點A(-1,1),B(2,2).過點B作BCIIx軸，

交拋物線于點C,交y軸于點D.(1)求此拋物線對應的函數(shù)表達式及點C的坐標；(2)假設拋物線上存在

點M,使得△BCM的面積為，求出點M的坐標；(3)連接OA、OB、OC、AC,在坐標平面內(nèi)，求使得△AOC

與AOBN相似(邊OA與邊OB對應)的點N的坐標.

1?【解答】解：(1)?直線y=x-3交于A、B兩點，其中點A在y軸上，

.,.A(0,-3),VB(-4,-5),2,.?.拋物線解析式為y=x2+x-3,

16-4b+c=-5c=_3

(2)存在，設P(m,m2+m-3],[m<0),；.D(m,m-3),PD=|m2+4m|*.*PD//AO,

.?.當PD=OA=3,故存在以O,A,P,D為頂點的平行四邊形，，|m2+4m|=3,

①當m2+4m=3時，/.m]=-2-^7,m2=-(舍)，/.m2+m-3=-1-:.，P(-2-77--1-—).

4-?

?ffi

②當m2+4m=-3時，m〕=-1,012=-3,I>mi=-1,m2+m-3=-.*.P

2

II、rri2=-3,/.m2+m-3=-.,.P(-3,-一■),

22

點P的坐標為(-2--1-YZ),(-1,-1^),[-3,-.

“'222

(3)如圖，?.?△PAM為等腰直角三角形，...NBAP=45。，

?.?直線AP可以看做是直線AB繞點A逆時針旋轉45。所得，

設直線AP解析式i-3,?.?直線AB解析—總工

2

直線AP解析式為y=3x-3,聯(lián)立,Cg，.*.X1=O（舍）X2=-

產(chǎn)X

當x=-時，y=-P［-,-.

22

2.解析：(1)?.?4(0,2)、5(-1,0),將AAB。經(jīng)過旋轉、平移變化得到如下圖4.1的ABC。,

BD=OA=2,CD=OB=1,ZBDC=ZAOB=90°.C（l,l）.（1分）

設經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式為y=??+法+c,

a-/?+c=0?

31、

那么有《a+Z?+c=l,解得：a=—,b=—,c=2.

22X

c=2

31

拋物線解析式為y=一］%2+］》+2.

圖4.1

（2）如圖4.1所示，設直線PC與A8交于點E.?.?直線PC將A4BC的面積分成1:3兩局部,

4/7IAC

.?.空=土或生=3,過E作EF1OB于點F,那么EF〃Q4.

BE3BE

?AREFAR4c.EFBE_BF.^AE_1EF_3_BF

??bBEFsCz,??---=-----=-----.??=i-----=一時，----=—=----，

AOBABOBE3241

3313

：.EF=-,BF=~,

2442

27

設直線PC解析式為y=如+〃，那么可求得其解析式為y=+

3oJ272239

---廠HX+2=XH，X,=,=1（舍去），6（石）.

2255152

AI7AOQ

當靠=3時，同理可得乙（一與京）?

(3)設A46。平移的距離為，AA4a與△々GA重疊局部的面積為S.

可由求出A4的解析式為y=2無+2T,A片與x軸交點坐標為(彳,0).

G員的解析式為y=gx+f+g,與y軸交點坐標為(0,7+g).（9分）

3

①如圖4.2所示，當0<r<M時，AA4a與△BzGA重疊局部為四邊形.

設4耳與X軸交于點M，與y軸交于點N,4片與交于點Q,連結OQ.

4r—3

y=2x+27x-

由《113

得，(10分)

5t_

I22

y=T

x-xx?x

S-SAQMO+S^QNO-y~+y(+~)--~

131?5

=----12+t-i—.s的最大值為—.

12452

34

②如下圖4.3,當—時，與△仄GR重疊局部為直角三角形.

設44與x軸交于點〃，44與交于點G.那么G(l—2r,4—5r),

2-t4-5r

DiH=RG=4-5f.

I?4一5f|

S=2"”.RG=-—.(4-5Z)=-(5r-4)2.

.?.當三3mr＜4之時，S的最大值為1上.

554

25

綜上所述，在此運動過程中AABO與ABC。重疊局部面積的最大值為三.

--二_1，f_1

2a。=-1,

3.(1)依題意，得＜a+〃+c=O,解之，得《人=-2,???拋物線解析式為y=—，一21+3.

c=3.

???對稱軸為X=-1,且拋物線經(jīng)過A(1,0),AB(-3,0).

把B(—3,0)、C(0,3)分別直線y=mx+n,得

PC2=(一1/+(t-3)2=t2-6t+10.

①假設B為直角頂點，那么BC2+PB2=PC:即18+4+/=/—61+10.解之，得t=-2.

②假設C為直角頂點，那么BC?+PC2=PB2,即18+t?-6t+10=4+t2.解之，得t=4.

34.、/a_、/

③假設P為直角頂點，那么PB2+PC2=BC2,即4+t2+t2-6t+10=18.解之，得ti=.7，t2=一.

22

4.解答：(1)?.?拋物線丫=0？+笈-8經(jīng)過點4(-2,O),D(6,一8),

4a-26-8=0_11

a=2拋物線的函數(shù)表達式為＞=上》2一3》-8

36。+6&一8=—8b=-32

y=gf-3x-8=；(x-3)2-T，：?拋物線的對稱軸為直線X=3.又???拋物線與x軸交于A,B兩點，點A的

坐標為(一2,0)....點B的坐標為(8,0)設直線/的函數(shù)表達式為丫=履.?.?點0(6)-8)在直線/上，

；.6k=—8,解得女=一§.，直線/的函數(shù)表達式為y=-|x-.?點E為直線/和拋物線對稱軸的交點..?.點E的橫

4c,

坐標為3,縱坐標為-§x3=-4,即點E的坐標為（3,-4）

（2）拋物線上存在點F,使AFOE注AFCE.點F的坐標為（3-舊,-4）或（3+717,-4）.

CE=V32+(8-4)2=5,OE=CE,：.Z1=Z2,又因為QO=QP,Z1=Z3,

Z2=Z3,：.CE〃P8設直線C￡交x軸于點N,其函數(shù)表達式為產(chǎn)女2》-8,：.3&-8=-4,解得女2

4?4.

；.CE的函數(shù)表達式為)'=QX-8,令y=o,得QX-8=°,%=6,點N的坐標為（6,0）

..…“00.OPOB.-m8優(yōu)殂32

OCON863

832

綜上所述，當m的值為-]或-半時，AOPQ是等腰三角形.

解法二：當x=0時，y=-x2-3x-8=-8，，點C的坐標為(0,—8)A點E的坐標為

2

[3,-4),:.OE=y132+42=5,CE=+(8-4猿=5,/.OE=CE,AZ1=Z2,設拋物線的對稱軸交直線

/-r

PB于點M,交x軸于點H.分兩種情況:

①當QO=QP時，AOPQ是等腰三角形.

Nl=N3,=N2=N3,CE//PB

又???HA4//y軸，，四邊形PMEC是平行四邊形，；.EM=CP=-8-/n,

HM=HE+EM=4+(-S-m)=-4-mBH=8-3=5,"M〃y軸,

,HMBH.-4-m532

△BHMsXBOP,:.m=—

'~OP~~BO"-m一8T

②當。尸=0Q時，AOPQ是等腰三角形.

EH〃)，軸，AXOPQsAEMQ,.,.能=—,EQ=EM

OQOP

EM=EQ=OE-OQ=OE-OP=5-(-m)=5+m,HM=4-(5+m),.

?：EH〃y軸，\BHMs&BOP,：.幽=—

OPBO

土生=3?.當m的值為或-%時，AOP。是等腰三角形.

-m8333

5.解：(1)?.?拋物線丫=2*2+5*-5與y軸交于點C,.--C(0,-5),二OC=5.

?.OC=5OB,AOB=1,又點B在x軸的負半軸上，，B(-1,0).

.??拋物線經(jīng)過點A[4,-5)和點B(-1,0),

，tanNCBH=^=^....在RTABOE中，ZBOE=90°,tanZBEO=^,

BH3EO

??,NBEO=NABC,.,.*《，得EO二，，點E的坐標為(0,.

6.解：(1)..?拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-3,0),B(9,0)和C(0,4).

設拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-9),/C(0,4)在拋物線上，，4=-27a,

a=-W,.?.設拋物線的解析式為y=-&(X+3)(x-9)=-AX2+1X+4,

9.72727g

,；CD垂直于y軸，C(0,4)-_l_x2+^x+4=4,二x=6,/D(6,4),

279

(2)如圖1,；點F是拋物線y=-$2璃+4的頂點，

279

,16、4GHFH

F(3,—),FH-2-,GHIIAiOi，：'X-77

3WA1IJ1PG

1

CHGH=1,

T57

RtAA]O1F與矩形OCDE重疊局部是梯形A1O,HG.

SFGH=AQIXOF-^GHXFH=A.X3X4-^-xlxJ-=^-

S重疊局部=S^AIOIF-A

22,2233

⑶①當0〈區(qū)3時,如圖2,???C2O2HDE,

DE-0E

0》G+9--91,

1二，C)2G=Wt,S=SAoo2G=_^_OO2xO2G=-^-tx=t=-^t~，

q632233

②當3Vts6時，如圖3,-??CoHlIOC,---1___

CD-0C

———=——>C2H=-7"(6-t)，S=S四邊形A2O2HG=SAA2O2C2-Sc2GH

643A

=—OAxOC-=C2Hx(t-3)=—x3x4-—xZ(6-t)(t-3)

22223

=yt2-3t+12

.?.當0Vt4時,S=it2,當3ct46時,S=—t2-3t+12.

33

7.解：(1)1?拋物線y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(-2,0),點B(4,

???設拋物線解析式為y=a(x+2)(x-4),/.-8a=4,/.a=-,

???拋物線解析式為y=-(x+2)(x-4)=-X2+X+4；

[2)如圖1,①點E在直線CD上方的拋物線上，記ET

連接CET過E作EF_LCD,垂足為F,由⑴知,OC=4,

ZACO=ZE'CF',二tanNACO=tanzE'CF',

:理$---=,設線段EF=h,那么CF=2h,.?.點口(2h,h+4)

COCF'

???點E在拋物線上，-(2h)2+2h+4=h+4,

h=0(舍)h=.\E'(1,),

②點E在直線CD下方的拋物線上，記E,同①的方法得，E(3,),點E的坐標為(1,),(3,)

(3)①CM為菱形的邊，如圖2,

在第一象限內(nèi)取點P',過點P'作PNIly軸，交BC于NT過點P作FM1IBC,

交y軸于M，，.?.四邊形CMPN，是平行四邊形，?.,四邊形CMPN，是菱形，

P,M,=P,N,,過點P‘作P'Q'J_y軸，垂足為Q',OC=OB,ZBOC=90°,

NOCB=45°,J.NP'M'C=45°,設點P'(m,-m2+m+4),

在中，P，Q，=m,P，M，=7^m，rB(4,0),C[0,4),

，直線BC的解析式為y=-x+4,「PNUy軸，r.N'(tn,-m+4),

PN=-m2+m+4-[-m+4)=-m2+2m,-m1+lm,；.m=0(舍)或m=4-

菱形CMPN，的邊長為避(4-272)=472-4.

②CM為菱形的對角線，如圖3,

在第一象限內(nèi)拋物線上取點P,過點P作PMIIBC,

交y軸于點M,連接CP,過點M作MNIICP,交BC于N,

二四邊形CPMN是平行四邊形，連接PN交CM于點Q,

1??四邊形CPMN是菱形，「.PQ_LCM,ZPCQ=ZNCQ,:NOCB=45。，

ZNCQ=45°,；.ZPCQ=45°,；.ZCPQ=ZPCQ=45°,PQ=CQ,

設點P(n,-n2+n+4),CQ=n,OQ=n+2,n+4=-n2+n+4,n=0(舍)，

??.此種情況不存在.，菱形的邊長為％Q-4.

f2

fl-b斗

8.解：⑴把A(-1,1),B(2,2)代入y=ax2+bx得：,=a，解得°,

12=4/2bt--l

3

故拋物線的函數(shù)表達式為y=x2-x,,「BCI