2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之軌跡

2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之軌跡（2021年11月）

一.選擇題（共9小題）

1.（2021?金鳳區(qū)二模）如圖，一塊含有30°角的直角三角板ABC,在水平桌面上繞點(diǎn)C

按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到A5C的位置，若AC=15CT?,那么頂點(diǎn)4從開(kāi)始到結(jié)束所經(jīng)過(guò)的路

A.\0TtcmB.5ncmC.15ncmD.20irc7/z

2.（2021?鼓樓區(qū)一模）如圖，把直徑為60cm的圓形車(chē)輪（。。）在水平地面上沿直線(xiàn)/無(wú)

滑動(dòng)地滾動(dòng)一周，設(shè)初始位置的最低點(diǎn)為P,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)P離地面最高時(shí)，圓心。運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為30TTC7”

B.當(dāng)點(diǎn)P再次回到最低點(diǎn)時(shí)，圓心。運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為60n

C.當(dāng)點(diǎn)P第一次到達(dá)距離地面15"〃的高度時(shí)，圓心。運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為7.5n“”

D.當(dāng)點(diǎn)P第二次到達(dá)距離地面30a*的高度時(shí)，圓心O運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為45-rrcw

3.（2021?瀘縣模擬）如圖，已知RtZXABC中，乙4BC=90°,/8AC=30°,BC=2,將

△4BC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△AEC的位置，且A、C、￡三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，則點(diǎn)

A經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)的長(zhǎng)度是（）

B'

4.（2021?鞍山二模）如圖，拋物線(xiàn)y=-7-2x+3與x軸交于A,C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)8,

點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ〃AB交y軸于Q,若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著直線(xiàn)

A8上方拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8,則點(diǎn)。經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）

5.（2021?長(zhǎng)興縣模擬）如圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設(shè)備，根據(jù)它的原理設(shè)計(jì)了圖2的機(jī)械

設(shè)備，磨盤(pán)半徑OM=20COT,把手MQ=15O“，點(diǎn)O,M,。在同一直線(xiàn)，用長(zhǎng)為135aM

的連桿將點(diǎn)。與動(dòng)力裝置P相連（NPQM大小可變），點(diǎn)P在軌道AB上來(lái)回滑動(dòng)并帶

動(dòng)磨盤(pán)繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)，0A=80c〃?.若磨盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)1周，則點(diǎn)P在軌道AB上滑過(guò)

的路徑長(zhǎng)為（）

A.90cmB.150cmC.180cmD.70Tlem

6.（2021?洪山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，00的直徑A8=12,弦CD垂直平分半徑OA,動(dòng)點(diǎn)M

從點(diǎn)C出發(fā)在優(yōu)弧C8O上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。停止，在點(diǎn)M整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段AM的中點(diǎn)

P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（）

A.3irB.4nC.5nD.6ir

7.（2021?永嘉縣校級(jí)模擬）圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設(shè)備，根據(jù)它的原理設(shè)計(jì)了圖2的機(jī)

械設(shè)備，磨盤(pán)半徑OM=20。”，把手MQ=15a",點(diǎn)O,M,。成一直線(xiàn)，用長(zhǎng)為135。"

的連桿將點(diǎn)。與動(dòng)力裝置P相連（/PQM大小可變），點(diǎn)P在軌道A8上滑動(dòng)并帶動(dòng)磨

盤(pán)點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)，0A_LAB,OA=^cm.若磨盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)100周，則點(diǎn)尸在軌道48上滑動(dòng)的路

徑長(zhǎng)為（）

A.180，"B.90/n

C.200,"D.（107473-50）m

8.（2021?海城市模擬）如圖，。。的半徑為1,弦AB=J5，BC=6,AB,8c在圓心O

的兩側(cè)，求會(huì)上有一動(dòng)點(diǎn)。，于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)4時(shí)，則點(diǎn)E所

經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）

A.3TTB.旦TtC.3;3D.且2T

51212

9.（2021?灤陽(yáng)市一模）如圖，A（-1,1）,B（-1,4）,C（-5,4）,點(diǎn)P是△A8C邊

上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP,以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作直角三角形，其中NOQP=90°,

/尸0。=30°,當(dāng)點(diǎn)P在AABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）

二.填空題（共7小題）

10.（2021?清遠(yuǎn)模擬）如圖，AB是。。的直徑，M、N是右（異于A、B）上兩點(diǎn)，C是余

上一動(dòng)點(diǎn)，/AC2的角平分線(xiàn)交00于點(diǎn)。，NBAC的平分線(xiàn)交C。于點(diǎn)E.當(dāng)點(diǎn)C從

點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，則C、E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)的比是.

11.（2021春?東臺(tái)市月考）如圖，己知AB=12,點(diǎn)C,。在A8上，且AC=￡?B=2,點(diǎn)P

是線(xiàn)段C￡＞上一動(dòng)點(diǎn)，以AP、BP為斜邊在A8的同側(cè)畫(huà)等腰RtaAPE和等腰RtZ\PBF,

點(diǎn)G是線(xiàn)段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)。時(shí),EF的中點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

12.（2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，把一個(gè)含有30°角的直角三角板ABC繞直角頂點(diǎn)C

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△4BC,己知BC=2,則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)

為

13.（2021?江都區(qū)模擬）如圖，拋物線(xiàn)y=?-2r-3?的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A,B,D,

-333

頂點(diǎn)為E,以A8為直徑畫(huà)半圓交），軸正半軸交于點(diǎn)C,圓心為例，P是半圓上的一動(dòng)點(diǎn),

連接EP,N是PE的中點(diǎn).當(dāng)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)

是.

14.（2021?江北區(qū)模擬）如圖，的半徑為1,弦AB=圾，京=祕(mì)，點(diǎn)P為劣弧4c

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)BP至點(diǎn)°,使BP?BQ=4B2,當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)。的

運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_(kāi)____________.

15.（2021?杭州模擬）如圖，的半徑為5,弦AB=6,弦AC_L弦BO,點(diǎn)P為CD的中

點(diǎn)，若點(diǎn)。在圓上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為互71,則點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為

3

D

16.（2021春?南涪區(qū)期末）如圖，已知有一張正方形紙片ABCD,邊長(zhǎng)為9cm,點(diǎn)E,產(chǎn)分

別在邊C￡）,AB±,CE=2cm.現(xiàn)將四邊形8CEP沿EF折疊，使點(diǎn)B,C分別落在點(diǎn)

B',C,上當(dāng)點(diǎn)8恰好落在邊AQ上時(shí)，線(xiàn)段8尸的長(zhǎng)為cm；在點(diǎn)尸從點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)A的過(guò)程中，若邊FB與邊AD交于點(diǎn)G,則點(diǎn)G相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為cm.

三.解答題（共4小題）

17.（2021秋?婺城區(qū)校級(jí)月考）圖1是小李在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)情景.圖2

是小李鍛煉時(shí)上半身由硒位置運(yùn)動(dòng)到與地面垂直的位置時(shí)的示意圖.已知BC=0.64

米，AD=0.24米，a=18°.（參考數(shù)據(jù)：sinl8°弋0.31,cos18°g0.95,tanl8°^0.32）

（1）求AB的長(zhǎng)（精確到0.01米）；

（2）若測(cè)得EN=0.8米，試計(jì)算小明頭頂由N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的路徑弧MN的長(zhǎng)度.（結(jié)

果保留n）圖1圖2

18.（2021?長(zhǎng)沙模擬）如圖，已知在△ABC中，AC=5,BC=12,A8=13,點(diǎn)E是邊A3

上一動(dòng)點(diǎn)，EFLAC于點(diǎn)F,EO_LBC于點(diǎn)。，點(diǎn)G為尸。的中點(diǎn).

D

（1）求證：四邊形CDEF是矩形;

（2）當(dāng)點(diǎn)E由點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，求點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

19.（2021?金華模擬）桔椽俗稱(chēng)“吊桿”“稱(chēng)桿”，如圖1,是我國(guó)古代農(nóng)用工具，桔椽始見(jiàn)

于（墨子?備城門(mén)），是一種利用杠桿原理的取水機(jī)械.如圖2所示的是桔椽示意圖，。歷

是垂直于水平地面的支撐桿，AB是杠桿，且AB=5.4米，OA：08=2：1.當(dāng)點(diǎn)A位于

最高點(diǎn)時(shí)，NAOM=127°；當(dāng)點(diǎn)A從最高點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)54.5°到達(dá)最低點(diǎn)Ai.（結(jié)果精

確到0.1〃?；參考數(shù)據(jù)：sin37°弋0.6,sinl7.5°七0.3,tan37°弋0.8)

（1）求此時(shí)水桶B所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng);

20.（2020秋?金寨縣期末）如圖，在平行四邊形A8CQ中，AB=2,BC=4,ZABC=120°,

將平行四邊形繞點(diǎn)2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<90°）得到平行四邊形BEFG.

（1）求點(diǎn)8到的距離;

（2）當(dāng)點(diǎn)E落在A。邊上時(shí)，求點(diǎn)。經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

G

2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之軌跡（2021年11月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共9小題）

1.（2021?金鳳區(qū)二模）如圖，一塊含有30°角的直角三角板ABC,在水平桌面上繞點(diǎn)C

按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到A5C的位置，若4c=15皿那么頂點(diǎn)4從開(kāi)始到結(jié)束所經(jīng)過(guò)的路

A.\0ucmB.5TicmC.15TlemD.20Tle機(jī)

【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專(zhuān)題】計(jì)算題；動(dòng)點(diǎn)型；應(yīng)用意識(shí).

【分析】利用互補(bǔ)計(jì)算出NACV=120。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到頂點(diǎn)4從開(kāi)始到結(jié)束

所經(jīng)過(guò)的路徑為以點(diǎn)C為圓心，C4為半徑，圓心角為120°的弧長(zhǎng)，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式

計(jì)算.

【解答】解：??,/ACB=60°,

/.ZACA'=180°-/ACB=120°,

二頂點(diǎn)A從開(kāi)始到結(jié)束所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)=120?兀T5=］（）n（cm）.

180

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所

連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了弧長(zhǎng)公式；解題的關(guān)鍵是

理解題意，記住弧長(zhǎng)公式/=亞二.

180

2.（2021?鼓樓區(qū)一模）如圖，把直徑為60cm的圓形車(chē)輪（。。）在水平地面上沿直線(xiàn)/無(wú)

滑動(dòng)地滾動(dòng)一周，設(shè)初始位置的最低點(diǎn)為P,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（)

A.當(dāng)點(diǎn)P離地面最高時(shí)，圓心。運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為301TC7”

B.當(dāng)點(diǎn)P再次回到最低點(diǎn)時(shí)，圓心0運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為60ncm

C.當(dāng)點(diǎn)P第一次到達(dá)距離地面\5crn的高度時(shí)，圓心。運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為7.5TTCW

D.當(dāng)點(diǎn)P第二次到達(dá)距離地面30cm的高度時(shí)，圓心0運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為45nc/n

【考點(diǎn)】軌跡.

【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的計(jì)算；應(yīng)用意識(shí).

【分析】圓心。運(yùn)動(dòng)的路徑等于圓上的點(diǎn)滾動(dòng)的距離，利用弧長(zhǎng)公式即可得到答案.

【解答】解：直徑為60。"的圓，周長(zhǎng)為60TteM7,

A、當(dāng)點(diǎn)P離地面最高時(shí)，圓心。運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為60nXa&g=30ir(evn),故A不符

360

合題意；

B、當(dāng)點(diǎn)P再次回到最低點(diǎn)時(shí)，圓心。運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)即是圓的周長(zhǎng)6(hrc%,故B不符

合題意；

C、當(dāng)點(diǎn)P第一次到達(dá)距離地面15cm的高度時(shí)，圓上的點(diǎn)滾動(dòng)的距離是60°圓心角所對(duì)

的弧長(zhǎng)，即60nx60=10TT(cm),故C符合題意；

360

D、當(dāng)點(diǎn)P第二次到達(dá)距離地面30c,”的高度時(shí)，圓上的點(diǎn)滾動(dòng)的距離是270。圓心角所

對(duì)的弧長(zhǎng)，即60nx-￡」Q=45TC(cm),故。不符合題意.

360

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的弧長(zhǎng)計(jì)算，理解圓心。運(yùn)動(dòng)的路徑等于圓上的點(diǎn)滾動(dòng)的距離是解

題的關(guān)鍵.

3.(2021?瀘縣模擬)如圖，已知RtZsABC中，NA8C=90°,ZBAC=30Q,BC=2,將

△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至8c的位置，且A、C、9三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，則點(diǎn)

4經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)的長(zhǎng)度是()

A.8B.4J3C.絲ITD.旦n

33

【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專(zhuān)題】幾何圖形；推理能力.

【分析】由旋轉(zhuǎn)可知，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)是弧長(zhǎng)，計(jì)算出半徑和圓心角即可.

【解答】解：RtZ\4BC中，NABC=90°,

；N84C=30°,BC=2,

：.ZACB=60°,

AC=2BC=4,

：A、C、B,三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，

AZACA'=120°,

由弧長(zhǎng)公式可知：

點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)度為：12°XnX4

1803

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題是以直角三角形為背景的旋轉(zhuǎn)，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及弧長(zhǎng)公式，求出半

徑和圓心角是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2021?鞍山二模）如圖，拋物線(xiàn)y=-7-2x+3與x軸交于A,C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)3,

點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作尸?！ˋB交y軸于。，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著直線(xiàn)

48上方拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,則點(diǎn)0經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）

A.3B.9C.3D.9

242

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)；軌跡.

【專(zhuān)題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【分析】分別求出點(diǎn)4、B的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)AB,PQ的解析式，再求

出它們與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問(wèn)題.

【解答】解：對(duì)于y=-%2-2r+3,

令1=0,則y=3,

：.B(0,3),

??,點(diǎn)A在點(diǎn)。的左側(cè)，

???A(-3,0),

設(shè)AB所在直線(xiàn)解析式為y=kx+b,

將A、B點(diǎn)代入得：「3k+b=0,

lb=3

解得：0=1,

lb=3

直線(xiàn)AB的解析式為：y=x+3,

"JPQ//AB,

...設(shè)PQ的解析式為：y^x+a,

?.?點(diǎn)。經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是直線(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的切點(diǎn)與y軸的交點(diǎn)和點(diǎn)B的距離的2倍,

方程-/-2x+3=x+a有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

.?.△=9-4(tz-3)=0,

解得：

4

：.Q（0,-21）,

4

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0,3）,

點(diǎn)。經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為2X（.-3）=_|,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的

交點(diǎn)問(wèn)題，點(diǎn)Q經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是直線(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的切點(diǎn)與y軸的交點(diǎn)和點(diǎn)B的距離

的2倍是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?長(zhǎng)興縣模擬）如圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設(shè)備，根據(jù)它的原理設(shè)計(jì)了圖2的機(jī)械

設(shè)備，磨盤(pán)半徑0M=20CTH,把手M2=15C，〃，點(diǎn)O,M,。在同一直線(xiàn)，用長(zhǎng)為135cm

的連桿將點(diǎn)。與動(dòng)力裝置P相連（/尸。例大小可變），點(diǎn)P在軌道AB上來(lái)回滑動(dòng)并帶

動(dòng)磨盤(pán)繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)，OAJ_AB,04=80。".若磨盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)1周，則點(diǎn)P在軌道AB上滑過(guò)

的路徑長(zhǎng)為（）

A.90cmB.150cmC,180cmD.lOncm

【考點(diǎn)】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專(zhuān)題】計(jì)算題；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用意識(shí).

【分析】連接OP,求出。P的取值范圍，再求出外的取值范圍，即可得結(jié)論.

【解答】解：由題意可知OQ=OM+MQ=35c〃],PQ=135cm,

當(dāng)。、0、P三點(diǎn)共線(xiàn)且。在線(xiàn)段OP左上方延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，OP取得最小值，

此時(shí)OP=PQ-MQ-。仞=135-15-20=100cm；

當(dāng)Q、。、P三點(diǎn)共線(xiàn)且Q在右下方線(xiàn)段OP上時(shí)，OP取得最大值，

此時(shí)OP=PQ+MQ+OM=135+15+20=110cm.

"JOALAP,04=80s,

.■?①當(dāng)。P=170c，"時(shí)，AP=寸。評(píng)卜2={]702_802=15O（cm）；

②當(dāng)OP=100a〃時(shí)，AP=71002-802=6°〈cm）.

?.?每轉(zhuǎn)一周，AP從最小值到最大值再到最小值，

，點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為：（150-60）X2=180（cm）.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，勾股定理，找出AP的最小值和最大值是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?洪山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，。0的直徑AB=12,弦CD垂直平分半徑OA,動(dòng)點(diǎn)、M

從點(diǎn)C出發(fā)在優(yōu)弧C8。上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。停止，在點(diǎn)M整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段AM的中點(diǎn)

P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（）

【考點(diǎn)】線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理；軌跡.

【專(zhuān)題】動(dòng)點(diǎn)型；與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力.

【分析】如圖，連接。C,設(shè)C。交AB于點(diǎn)E.首先證明在點(diǎn)M整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段

AM的中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖中紅線(xiàn)，利用弧長(zhǎng)公式求解即可.

【解答】解：如圖，連接OC,設(shè)CO交48于點(diǎn)E.

垂直平分線(xiàn)段OA,

：.CA=CO,

;OC=OA,

：.AC=OC=OA,

Z\AOC是等邊三角形,

：.ZCAE=60Q,

當(dāng)點(diǎn)M與C重合時(shí)，連接PE,0P,

'JPA^PM,

：.OPLAM,

，NAPO=90°,

"：AE=EO,

；.EP=20A=3,

2

?.?尸E=AE=3,ZPAE=60Q,

.?.△ME是等邊三角形，

AZAEP=60°,

???在點(diǎn)M整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段AM的中點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖中紅線(xiàn)，

運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)=24°兀畤=47T.

180

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡，弧長(zhǎng)公式，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性

質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.

7.（2021?永嘉縣校級(jí)模擬）圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設(shè)備，根據(jù)它的原理設(shè)計(jì)了圖2的機(jī)

械設(shè)備，磨盤(pán)半徑OM=20cm,把手MQ=15tro,點(diǎn)。，M,。成一直線(xiàn)，用長(zhǎng)為135cw

的連桿將點(diǎn)。與動(dòng)力裝置P相連（NPQM大小可變），點(diǎn)P在軌道48上滑動(dòng)并帶動(dòng)磨

盤(pán)點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，OA_LA8,OA=SOcm.若磨盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)100周，則點(diǎn)P在軌道AB上滑動(dòng)的路

徑長(zhǎng)為（）

圖1圖2

A.180，"B.90m

C.200機(jī)D.（I0V473-50）m

【考點(diǎn)】軌跡.

【專(zhuān)題】動(dòng)點(diǎn)型；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【分析】連接OP,求出。P的取值范圍.再求出用的取值范圍，可得結(jié)論.

【解答】解：連接。P.

圖2

由題意OQ=35cm,BQ=135。加，

?、1OOcmWOPW17007n

當(dāng)OP=170cm時(shí)，

\'OA.LAP9QA=8(k7n,

AAP=VOP2-OA2=V1702-802=150(cm),

當(dāng)OP=100c機(jī)時(shí)，AP=yj]0°202=60(cm),

60c〃?WAP<150cm,

???磨盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)100周，則點(diǎn)P在軌道AB上滑動(dòng)的路徑長(zhǎng)=100義2義(150-60)=18000

(cm)=180(加)，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)

解決問(wèn)題.

8.(2021?海城市模擬)如圖，0。的半徑為1,弦AB=M，BC=gAB，8c在圓心。

的兩側(cè)，求眾上有一動(dòng)點(diǎn)。，AE_L8。于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)4時(shí)，則點(diǎn)E所

經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為()

A.3nB.|nC.嚕nD.哈

【考點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理；軌跡.

【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；推理能力.

【分析】根據(jù)AEL8O于點(diǎn)E可知，點(diǎn)E在AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，然后由。的位置確

定E的起點(diǎn)和終點(diǎn)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：取A8的中點(diǎn)K,作4QLBC于。，作。G,8c于G,

在RtZkBOG中，ZOGB=90°,

V0B=\,BG=/BC=^，

；.cos/OBG=更-工1,

OB2

AZOBG=30°,

同理NABO=45°,

N4BQ=75°,

'：AE±BD,

.?.點(diǎn)E在以K為圓心，AK為半徑的圓上,

當(dāng)。與C重合時(shí)，

E與Q重合，

當(dāng)。與A重合時(shí)，

E與A重合，

...點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是弧AQ,

在RtZ\AB。中，NABQ=75°,

：.ZBAQ=\50,

；.NAKQ=150°,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題是圓形軌跡問(wèn)題，根據(jù)定角所對(duì)的弦是定長(zhǎng)，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的

關(guān)鍵，是一道綜合性較強(qiáng)的軌跡問(wèn)題.

9.(2021?漂陽(yáng)市一模)如圖，A(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),點(diǎn)P是AABC邊

上一動(dòng)點(diǎn)，連接。尸，以O(shè)P為斜邊在O尸的右上方作直角三角形，其中NOQP=90°,

點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）

【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；含30度角的直角三角形；軌跡.

【專(zhuān)題】動(dòng)點(diǎn)型；解直角三角形及其應(yīng)用；幾何直觀.

【分析】如圖，由題意，點(diǎn)P在△ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的軌跡是△

MGH.利用相似三角形的性質(zhì)求出MG,GH,即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，由題意，點(diǎn)尸在△ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí);點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的軌跡是

/XMGH.

VA(-1,1),8(-1,4),C(-5,4),

；.AB=3,BC=4,AC=5,

..OM=OG=?,

NAOB=/MOG,

"OAOBV

zMOBs△仞OG,

?MG_0M_V3

??一一，，一—,

AB0A2

2_

同法可得，GH=?BC=2M，MH=^AC=^&,

222

...點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)=三通+2后至返=6b，

22

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是正確尋找點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.

二.填空題（共7小題）

10.（2021?清遠(yuǎn)模擬）如圖，AB是。。的直徑，M、N是窟（異于A、B）上兩點(diǎn)，C是誦

上一動(dòng)點(diǎn)，/AC8的角平分線(xiàn)交。。于點(diǎn)。，N54C的平分線(xiàn)交CQ于點(diǎn)E.當(dāng)點(diǎn)C從

點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，則C、E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)的比是_亞_.

D

【考點(diǎn)】圓周角定理；軌跡.

【專(zhuān)題】推理填空題；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】連接E8,設(shè)OA=r,作等腰直角三角形AO8,AD=DB,乙4。8=90°,則點(diǎn)

E在以。為圓心D4為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是衣，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是誦，由題意

ZMON=2ZGDF,設(shè)NG。尸=a,則NMON=2a,利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，連接E8,設(shè)。4=r,

c

是。。的直徑，

AZACB=90°,

VZACB的角平分線(xiàn)交。。于點(diǎn)D,NBAC的平分線(xiàn)交CD于點(diǎn)E.

：.E^/\ACB的內(nèi)心，

AZAEB=]35a,

作等腰直角三角形AOB，AD=DB,ZADB=90Q,

則點(diǎn)E在以D為圓心DA為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是席，

點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是右，由題意/MON=2/GOF,

設(shè)/GOF=a,則NM0N=2a,

2ax7rxr

...弧MN的長(zhǎng)度：弧GF的長(zhǎng)度=:?[叱廠=近.

ax兒xq2r

180

故答案為：V2-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡，圓周角定理，弧長(zhǎng)公式，解決本題的關(guān)鍵是掌握與圓有關(guān)的

性質(zhì).

11.（2021春?東臺(tái)市月考）如圖，已知AB=12,點(diǎn)C,。在上，且AC=O8=2,點(diǎn)P

是線(xiàn)段CD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP、BP為斜邊在AB的同側(cè)畫(huà)等腰RtAAPE和等腰RtAPBF,

點(diǎn)G是線(xiàn)段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí),EF的中點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為4.

F

\

CDB

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；軌跡.

【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；推理能力；應(yīng)用意識(shí).

【分析】分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)H,易證四邊形EPFH為平行四邊形.得出G為

中點(diǎn)，則G的軌跡為的中位線(xiàn)再求出CD的長(zhǎng)，即可得到的長(zhǎng).

【解答】解：分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)H,

,/Z\APE和△PBF為等腰直角三角形，

J.AH//PF,BH//PE,

/.四邊形EPFH為平行四邊形.

；G為EF中點(diǎn)，

；.G也為HP的中點(diǎn)，

即在P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，G始終為PH的中點(diǎn)，

/.點(diǎn)G的軌跡為△HCQ的中位線(xiàn)MN,

VCD=AB-AC-BD=12-2-2=8.

:.MN=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形的中位

線(xiàn)的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，屬于中考熱

點(diǎn)題.

12.（2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，把一個(gè)含有30°角的直角三角板ABC繞直角頂點(diǎn)C

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△48iC,已知BC=2,則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為

【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；弧長(zhǎng)的計(jì)算；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的計(jì)算；解直角三角形及其應(yīng)用：推理能力.

【分析】利用直角三角形30°的性質(zhì)求出AB=4,再利用勾股定理求出C4,利用弧長(zhǎng)公

式求解即可.

【解答】解：在RtZ^ACB中，VZACB=90°,ZA=30°,BC=2,

.?.A8=28C=4,

：.AC=^AB2_BC2=^42_22=273,

.?.點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)一90兀:陰=標(biāo),

180

故答案為：杼.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形30°角的性質(zhì)，勾股定理，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是記住弧長(zhǎng)/=亞三.

180

13.（2021?江都區(qū)模擬）如圖，拋物線(xiàn)），="-&-&?的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A,B,D,

-333

頂點(diǎn)為E,以A8為直徑畫(huà)半圓交y軸正半軸交于點(diǎn)C,圓心為例，P是半圓上的一動(dòng)點(diǎn),

連接EP,N是PE的中點(diǎn).當(dāng)尸沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是_&L_.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)；軌跡.

【專(zhuān)題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【分析】由二次函數(shù)關(guān)系式得出A,B,E的坐標(biāo)，得出E在OM上，從而得出

得到N的運(yùn)動(dòng)路徑即可.

【解答】解：連接ME、MP,

Vy=_kr2-2r-竺

-333

(-2,0),B(4,0),￡(1,-3),

：.MA=MB=ME=3,

在0M上，

；N為PE的中點(diǎn)，ME=MP,

:.MNLPE,

；.N在以ME為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，

【點(diǎn)評(píng)】本題以二次函數(shù)為背景考查了圓形路徑問(wèn)題，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)E在圓上是解決問(wèn)

題的關(guān)健.

14.(2021?江北區(qū)模擬)如圖，。0的半徑為1,肱AB=如,AC=BC，點(diǎn)尸為劣弧AC

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)BP至點(diǎn)Q,使8P?BQ=AB2,當(dāng)點(diǎn)尸由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)。的

運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為

【考點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理；軌跡；相似三角

形的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的計(jì)算；圖形的相似；推理能力.

【分析】連接AC、AQ,由得出從而判斷出點(diǎn)。在線(xiàn)

段AQ上運(yùn)動(dòng)，求出4。的長(zhǎng)即可.

【解答】解：如圖，連接AC、AQ,

.BP_AB；

"AB"BQ"

:/B=NB,

:.ABAPSABQA,

；.NB/^=NBAQ,

...點(diǎn)Q在線(xiàn)段AQ上運(yùn)動(dòng),

當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，

：AC=BC，

；.4C=BC,

：.AB=AQ,

AQ=

故答案為：V2-

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識(shí),

判斷出點(diǎn)Q在線(xiàn)段AQ上運(yùn)動(dòng)是解題的關(guān)鍵.

15.(2021?杭州模擬)如圖,的半徑為5,弦AB=6,弦47_1_弦點(diǎn)尸為8的中

點(diǎn)，若點(diǎn)。在圓上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為五TT,則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為1T.

3

【考點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理；軌跡.

【專(zhuān)題】動(dòng)點(diǎn)型；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【分析】如圖，連接。4,OB,AD,OP,OD,過(guò)點(diǎn)。作。H_LAB于H.證明△OHAg

△CPO(AAS),推出OP=AH=3,推出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以。為圓心，0P為半徑的圓,

求出點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的角度即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，連接OA，OB,AD,OP,OD,過(guò)點(diǎn)。作?！癓AB于從

ZDAC+ZADB=90°,

VZDOC^2ZDAC,ZAOB=2ZADB,

：.ZDOC+ZAOB=\SO0,

VOHVAB,DP=PC,

：.OPLCD,A”=HB=LB=3,

2

'：OA=OB=OC=OD,

：.NAOH=ZBOH,4cop=ZDOP,

/.ZAOH+ZCOP=90°,

；N4O4+/OAH=90°,

：.ZCOP=ZOAH,

:NAHO=NCPO=90°,OA=OC,

：./\OHA^/^CPO（AAS）,

：.0P=AH=3,

.?.點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以。為圓心，OP為半徑的圓，

?.?點(diǎn)。在圓上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為耳，設(shè)圓心角為n,

3

?n?兀?5—5打

1803

An=60°,

,：OD,OP的旋轉(zhuǎn)角度相等，

點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)=60??！?=11.

180

故答案為：TT.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題.

16.（2021春?南潺區(qū)期末）如圖，已知有一張正方形紙片ABCZ）,邊長(zhǎng)為9c加，點(diǎn)E,F分

別在邊CO,ABh,CE=2cm.現(xiàn)將四邊形3CEF沿EF折疊，使點(diǎn)3,C分別落在點(diǎn)

B',C,上當(dāng)點(diǎn)B”恰好落在邊上時(shí)，線(xiàn)段BF的長(zhǎng)為5cm：在點(diǎn)尸從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)4的過(guò)程中，若邊尸片與邊AZ）交于點(diǎn)G,則點(diǎn)G相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為15-8\萬(wàn)cm.

T尸。

0【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；軌跡；翻折變換（折疊問(wèn)題）.

【專(zhuān)題】壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型；轉(zhuǎn)化思想；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用

意識(shí).

【分析】連接BE、B'E,由翻折性質(zhì)得：BE=B'E,BF=B'F,在△8EC與△MOE中，由

勾股定理得8F=5cm；連接EG,并作G關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,連接EG,由對(duì)稱(chēng)性知，

GE=GE,由點(diǎn)到直線(xiàn)垂線(xiàn)段最短知EG最小值為E”=9,從而DG最小值為^^2_?2=

啦,AG最大值為9-啦,再由于B,恰好落在邊AO上G、g重合時(shí)，AG=AB，=3,

故G點(diǎn)在AD上先向上再向下運(yùn)動(dòng)，即可得相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為9-472-3+9-啦=

15-8&.

【解答】解：①當(dāng)點(diǎn)夕恰好落在邊AD上時(shí),

由翻折性質(zhì)得：BE=B,E,BF=BH

在△BEC與△8QE中，由勾股定理得：BEr=CE?+BC1=DE^+B'D1,

,:BC=9cm,CE=2cm,DE=1cm,

:?DB'=6cm,A8=3c,加，

設(shè)8/=沅〃?，則8'尸=配a，AF=(9-x)cm,

a122

：B'A+AF=B'F1

32+(9-x)2=7,

解得：x=5,

BF=5cm；

②如圖，連接EG,并作G關(guān)于E尸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G',連接EG',

過(guò)點(diǎn)E作EH1AB于H,

；點(diǎn)到直線(xiàn)垂線(xiàn)段最短，

EG'最小值為EH=9,

；/B=NC=NEHB=90°,

四邊形EH8C為矩形，

：.EH=BC=9,

，EG最小值為9,

'：DG2^EG2-ED2,

.??OG最小值為孰巧，

.?.AG最大值為9-472>

由①知，點(diǎn)8恰好落在邊4。上G、8,重合時(shí)，止匕時(shí)AG=48=3,

.?.點(diǎn)G相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為9-472-3+9-孰歷=15-8M.

故答案為：5cm,15-8A/21

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理知識(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)垂線(xiàn)段最短，

解題的關(guān)鍵是作G關(guān)于E尸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G',連接EG,將GE轉(zhuǎn)化為G'E.

三.解答題（共4小題）

17.（2021秋?婺城區(qū)校級(jí)月考）圖1是小李在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)情景.圖2

是小李鍛煉時(shí)上半身由EN位置運(yùn)動(dòng)到與地面垂直的位置時(shí)的示意圖.已知BC=0.64

米，AO=0.24米，a=18°.（參考數(shù)據(jù)：sinl8°弋0.31,cos!8°g0.95,tan18°弋0.32）

（1）求AB的長(zhǎng)（精確到0.01米）；

（2）若測(cè)得EN=0.8米，試計(jì)算小明頭頂由N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的路徑弧MN的長(zhǎng)度.（結(jié)

【考點(diǎn)】軌跡；解直角三角形的應(yīng)用.

【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】（1）作A尸，8c于R可得四邊形AOC尸是矩形，從而得出BF的長(zhǎng)，再根據(jù)

AB=BF4-sinl8°計(jì)算即可；

（2）由/NEM=108°,代入弧長(zhǎng)公式即可.

【解答】解：（1）作AELBC于F,

.?./AFB=/AFC=NAQC=90°,

二四邊形AOC尸是矩形，

：.FC=AD,

J.BF^BC-CF=BC-AD=0.64-0.24=0.4（米），

.*.AB=BF4-sinl80=0.4+0.32.29（米）

：.AB的長(zhǎng)為1.29米；

（2）.：NNEM=90°+18°=108°,

弧長(zhǎng)為l08X0.8兀=o或兀（米），

180-

小明頭頂由N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的路徑弧MN的長(zhǎng)度為0.4811米.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，構(gòu)造所

給銳角所在的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

18.（2021?長(zhǎng)沙模擬）如圖，已知在aABC中，4c=5,BC=12,AB=13,點(diǎn)E是邊AB

上一動(dòng)點(diǎn)，EFLAC于點(diǎn)F,EDLBC于點(diǎn)。，點(diǎn)G為的中點(diǎn).

（1）求證：四邊形8EF是矩形；

（2）當(dāng)點(diǎn)E由點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

【考點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的判定與性質(zhì)；軌跡.

【專(zhuān)題】矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得到/C=90°,根據(jù)矩形的判定定理證明結(jié)論；

（2）連接CE,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理解答即

可.

【解答】(1)證明：：AC=5,8c=12,A8=13,

：.AC1+BC1=\6(),AB2=169,

:.AC2+HC2=AB2,

AZC=90°,

,：EFA,AC,ED±BC,

四邊形COEF是矩形；

(2)連接CE,

?.?四邊形CDEF是矩形，點(diǎn)G為尸。的中點(diǎn),

...點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，

.?.點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑是aABC的中位線(xiàn)，

，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)=148=6.5.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是點(diǎn)的軌跡、勾股定理的逆定理、矩形的判定，掌握矩形的判定定

理、點(diǎn)的軌跡的確定方法是解題的關(guān)鍵.

19.(2021?金華模擬)桔椽俗稱(chēng)“吊桿”“稱(chēng)桿”，如圖1,是我國(guó)古代農(nóng)用工具，桔梯始見(jiàn)

于(墨子?備城門(mén))，是一種利用杠桿原理的取水機(jī)械.如圖2所示的是桔椽示意圖，OM

是垂直于水平地面的支撐桿，AB是杠桿，且48=5.4米，04OB=2；1.當(dāng)點(diǎn)A位于

最高點(diǎn)時(shí)，NA0M=127°；當(dāng)點(diǎn)A從最高點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)54.5°到達(dá)最低點(diǎn)4.(結(jié)果精

確到0.L"；參考數(shù)據(jù)：sin37°g0.6,sin17.5°g0.3,tan37°-0.8)

(1)求此時(shí)水桶8所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；

(2)求此時(shí)水桶8上升的高度.

【考點(diǎn)】軌跡；解直角三角形的應(yīng)用.

【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】（1）根據(jù)水桶B所經(jīng)過(guò)的路徑為圓心角度數(shù)為54.5度，半徑為1.8米的弧長(zhǎng)，

代入計(jì)算即可；

（2）過(guò)。作EF_LOM,過(guò)B作8C_LEF于C,過(guò)81作8iO_LEF于。，在RtZkOBC中

和在RtZ\O8iO中，分別利用三角函數(shù)求出BC和的長(zhǎng)即可.

【解答】解：（1）丫48=5.4米,OA：08=2：1,

08=1.8米，

水桶B所經(jīng)過(guò)的路徑為圓心角度數(shù)為54.5度，半徑為1.8米的弧長(zhǎng)，

t,^54.5XJlX1,8^17（米）；

180

（2）過(guò)。作EF_LOM,過(guò)8作BCJ_EP于C,過(guò)81作Bi￡>_LEF于。，

；/AOM=127°,ZEOM=90°,

；.NAOE=37°,

：.ZBOC=ZAOE=31°,ZB\OD=ZA\OE=U.5°,

；OBi=OB=1.8（米）,

在Rt^OBC中，5C=sinNOC8XO3=sin37°XOB=?0.6X1.8=1.08（米），

在Rt^OBiO中，BiD=sinl7.5°XO8i*0.3X1.8=0.54（米），

ABC+B\D=1.08+0.54^1.6（米），

B

E

圖2

,此時(shí)水桶B上升的高度為1.6米.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，讀懂題意，構(gòu)造直角

三角形是解題的關(guān)鍵.

20.(2020秋?金寨縣期末)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2,BC=4,NA8C=120°,

將平行四邊形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)得到平行四邊形8EFG.

(1)求點(diǎn)B到AO的距離；

(2)當(dāng)點(diǎn)E落在4。邊上時(shí)，求點(diǎn)。經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

【考點(diǎn)】勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專(zhuān)題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)B作于H,在Rt/XABH中，8〃=sin60°X48代入計(jì)算即可；

(2)連接8。，BF,點(diǎn)E落在AD邊上,可證△ABE是等邊三角形，則a=60°,在Rt

中，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，代入弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【解答】解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)B作BHLAZ)于H,

HED

???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,

：.ZA+ZABC=180°,

VZABC=nO0,

AZA=60°,

VZAHB=90°,

ABH=sin60°XA3=正；

(2)連接8￡),BF,

?二點(diǎn)