2022年中考數(shù)學復習新題速遞之軌跡

2022年中考數(shù)學復習新題速遞之軌跡（2021年11月）

一.選擇題（共9小題）

1.（2021?金鳳區(qū)二模）如圖，一塊含有30°角的直角三角板ABC,在水平桌面上繞點C

按順時針方向旋轉(zhuǎn)到A5C的位置，若AC=15CT?,那么頂點4從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路

A.\0TtcmB.5ncmC.15ncmD.20irc7/z

2.（2021?鼓樓區(qū)一模）如圖，把直徑為60cm的圓形車輪（。。）在水平地面上沿直線/無

滑動地滾動一周，設初始位置的最低點為P,則下列說法錯誤的是（）

A.當點P離地面最高時，圓心。運動的路徑的長為30TTC7”

B.當點P再次回到最低點時，圓心。運動的路徑的長為60n

C.當點P第一次到達距離地面15"〃的高度時，圓心。運動的路徑的長為7.5n“”

D.當點P第二次到達距離地面30a*的高度時，圓心O運動的路徑的長為45-rrcw

3.（2021?瀘縣模擬）如圖，已知RtZXABC中，乙4BC=90°,/8AC=30°,BC=2,將

△4BC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)至△AEC的位置，且A、C、￡三點在同一條直線上，則點

A經(jīng)過的路線的長度是（）

B'

4.（2021?鞍山二模）如圖，拋物線y=-7-2x+3與x軸交于A,C兩點，與y軸交于點8,

點P為拋物線上一動點，過點P作PQ〃AB交y軸于Q,若點P從點A出發(fā)，沿著直線

A8上方拋物線運動到點8,則點。經(jīng)過的路徑長為（）

5.（2021?長興縣模擬）如圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設備，根據(jù)它的原理設計了圖2的機械

設備，磨盤半徑OM=20COT,把手MQ=15O“，點O,M,。在同一直線，用長為135aM

的連桿將點。與動力裝置P相連（NPQM大小可變），點P在軌道AB上來回滑動并帶

動磨盤繞點。轉(zhuǎn)動，0A=80c〃?.若磨盤轉(zhuǎn)動1周，則點P在軌道AB上滑過

的路徑長為（）

A.90cmB.150cmC.180cmD.70Tlem

6.（2021?洪山區(qū)校級模擬）如圖，00的直徑A8=12,弦CD垂直平分半徑OA,動點M

從點C出發(fā)在優(yōu)弧C8O上運動到點。停止，在點M整個運動過程中，線段AM的中點

P的運動路徑長為（）

A.3irB.4nC.5nD.6ir

7.（2021?永嘉縣校級模擬）圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設備，根據(jù)它的原理設計了圖2的機

械設備，磨盤半徑OM=20。”，把手MQ=15a",點O,M,。成一直線，用長為135。"

的連桿將點。與動力裝置P相連（/PQM大小可變），點P在軌道A8上滑動并帶動磨

盤點。轉(zhuǎn)動，0A_LAB,OA=^cm.若磨盤轉(zhuǎn)動100周，則點尸在軌道48上滑動的路

徑長為（）

A.180，"B.90/n

C.200,"D.（107473-50）m

8.（2021?海城市模擬）如圖，。。的半徑為1,弦AB=J5，BC=6,AB,8c在圓心O

的兩側(cè)，求會上有一動點。，于點E,當點。從點C運動到點4時，則點E所

經(jīng)過的路徑長為（）

A.3TTB.旦TtC.3;3D.且2T

51212

9.（2021?灤陽市一模）如圖，A（-1,1）,B（-1,4）,C（-5,4）,點P是△A8C邊

上一動點，連接OP,以OP為斜邊在OP的右上方作直角三角形，其中NOQP=90°,

/尸0。=30°,當點P在AABC的三條邊上運動一周時，點Q運動的路徑長為（）

二.填空題（共7小題）

10.（2021?清遠模擬）如圖，AB是。。的直徑，M、N是右（異于A、B）上兩點，C是余

上一動點，/AC2的角平分線交00于點。，NBAC的平分線交C。于點E.當點C從

點M運動到點N時，則C、E兩點的運動路徑長的比是.

11.（2021春?東臺市月考）如圖，己知AB=12,點C,。在A8上，且AC=￡?B=2,點P

是線段C￡＞上一動點，以AP、BP為斜邊在A8的同側(cè)畫等腰RtaAPE和等腰RtZ\PBF,

點G是線段EF的中點，點P由點C移動到點。時,EF的中點G移動的路徑長為.

12.（2021?沙坪壩區(qū)校級開學）如圖，把一個含有30°角的直角三角板ABC繞直角頂點C

順時針旋轉(zhuǎn)90°到△4BC,己知BC=2,則在旋轉(zhuǎn)過程中點A經(jīng)過的路徑長

為

13.（2021?江都區(qū)模擬）如圖，拋物線y=?-2r-3?的圖象與坐標軸交于點A,B,D,

-333

頂點為E,以A8為直徑畫半圓交），軸正半軸交于點C,圓心為例，P是半圓上的一動點,

連接EP,N是PE的中點.當P沿半圓從點A運動至點B時，點N運動的路徑長

是.

14.（2021?江北區(qū)模擬）如圖，的半徑為1,弦AB=圾，京=祕，點P為劣弧4c

上一個動點，延長BP至點°,使BP?BQ=4B2,當點P由點A運動到點C時，點。的

運動路徑長為_____________.

15.（2021?杭州模擬）如圖，的半徑為5,弦AB=6,弦AC_L弦BO,點P為CD的中

點，若點。在圓上逆時針運動的路徑長為互71,則點。運動的路徑長為

3

D

16.（2021春?南涪區(qū)期末）如圖，已知有一張正方形紙片ABCD,邊長為9cm,點E,產(chǎn)分

別在邊C￡）,AB±,CE=2cm.現(xiàn)將四邊形8CEP沿EF折疊，使點B,C分別落在點

B',C,上當點8恰好落在邊AQ上時，線段8尸的長為cm；在點尸從點8運動到

點A的過程中，若邊FB與邊AD交于點G,則點G相應運動的路徑長為cm.

三.解答題（共4小題）

17.（2021秋?婺城區(qū)校級月考）圖1是小李在健身器材上進行仰臥起坐鍛煉時情景.圖2

是小李鍛煉時上半身由硒位置運動到與地面垂直的位置時的示意圖.已知BC=0.64

米，AD=0.24米，a=18°.（參考數(shù)據(jù)：sinl8°弋0.31,cos18°g0.95,tanl8°^0.32）

（1）求AB的長（精確到0.01米）；

（2）若測得EN=0.8米，試計算小明頭頂由N點運動到M點的路徑弧MN的長度.（結(jié)

果保留n）圖1圖2

18.（2021?長沙模擬）如圖，已知在△ABC中，AC=5,BC=12,A8=13,點E是邊A3

上一動點，EFLAC于點F,EO_LBC于點。，點G為尸。的中點.

D

（1）求證：四邊形CDEF是矩形;

（2）當點E由點4運動到點8時，求點G的運動路徑長.

19.（2021?金華模擬）桔椽俗稱“吊桿”“稱桿”，如圖1,是我國古代農(nóng)用工具，桔椽始見

于（墨子?備城門），是一種利用杠桿原理的取水機械.如圖2所示的是桔椽示意圖，。歷

是垂直于水平地面的支撐桿，AB是杠桿，且AB=5.4米，OA：08=2：1.當點A位于

最高點時，NAOM=127°；當點A從最高點逆時針旋轉(zhuǎn)54.5°到達最低點Ai.（結(jié)果精

確到0.1〃?；參考數(shù)據(jù)：sin37°弋0.6,sinl7.5°七0.3,tan37°弋0.8)

（1）求此時水桶B所經(jīng)過的路徑長;

20.（2020秋?金寨縣期末）如圖，在平行四邊形A8CQ中，AB=2,BC=4,ZABC=120°,

將平行四邊形繞點2順時針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<90°）得到平行四邊形BEFG.

（1）求點8到的距離;

（2）當點E落在A。邊上時，求點。經(jīng)過的路徑長.

G

2022年中考數(shù)學復習新題速遞之軌跡（2021年11月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共9小題）

1.（2021?金鳳區(qū)二模）如圖，一塊含有30°角的直角三角板ABC,在水平桌面上繞點C

按順時針方向旋轉(zhuǎn)到A5C的位置，若4c=15皿那么頂點4從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路

A.\0ucmB.5TicmC.15TlemD.20Tle機

【考點】含30度角的直角三角形；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】計算題；動點型；應用意識.

【分析】利用互補計算出NACV=120。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到頂點4從開始到結(jié)束

所經(jīng)過的路徑為以點C為圓心，C4為半徑，圓心角為120°的弧長，然后根據(jù)弧長公式

計算.

【解答】解：??,/ACB=60°,

/.ZACA'=180°-/ACB=120°,

二頂點A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長=120?兀T5=］（）n（cm）.

180

故選：A.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所

連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了弧長公式；解題的關鍵是

理解題意，記住弧長公式/=亞二.

180

2.（2021?鼓樓區(qū)一模）如圖，把直徑為60cm的圓形車輪（。。）在水平地面上沿直線/無

滑動地滾動一周，設初始位置的最低點為P,則下列說法錯誤的是（)

A.當點P離地面最高時，圓心。運動的路徑的長為301TC7”

B.當點P再次回到最低點時，圓心0運動的路徑的長為60ncm

C.當點P第一次到達距離地面\5crn的高度時，圓心。運動的路徑的長為7.5TTCW

D.當點P第二次到達距離地面30cm的高度時，圓心0運動的路徑的長為45nc/n

【考點】軌跡.

【專題】與圓有關的計算；應用意識.

【分析】圓心。運動的路徑等于圓上的點滾動的距離，利用弧長公式即可得到答案.

【解答】解：直徑為60。"的圓，周長為60TteM7,

A、當點P離地面最高時，圓心。運動的路徑的長為60nXa&g=30ir(evn),故A不符

360

合題意；

B、當點P再次回到最低點時，圓心。運動的路徑的長即是圓的周長6(hrc%,故B不符

合題意；

C、當點P第一次到達距離地面15cm的高度時，圓上的點滾動的距離是60°圓心角所對

的弧長，即60nx60=10TT(cm),故C符合題意；

360

D、當點P第二次到達距離地面30c,”的高度時，圓上的點滾動的距離是270。圓心角所

對的弧長，即60nx-￡」Q=45TC(cm),故。不符合題意.

360

故選：C.

【點評】本題考查圓的弧長計算，理解圓心。運動的路徑等于圓上的點滾動的距離是解

題的關鍵.

3.(2021?瀘縣模擬)如圖，已知RtZsABC中，NA8C=90°,ZBAC=30Q,BC=2,將

△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)至8c的位置，且A、C、9三點在同一條直線上，則點

4經(jīng)過的路線的長度是()

A.8B.4J3C.絲ITD.旦n

33

【考點】含30度角的直角三角形；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】幾何圖形；推理能力.

【分析】由旋轉(zhuǎn)可知，點A經(jīng)過的路線是弧長，計算出半徑和圓心角即可.

【解答】解：RtZ\4BC中，NABC=90°,

；N84C=30°,BC=2,

：.ZACB=60°,

AC=2BC=4,

：A、C、B,三點在同一條直線上，

AZACA'=120°,

由弧長公式可知：

點A經(jīng)過的路線長度為：12°XnX4

1803

故選：D.

【點評】本題是以直角三角形為背景的旋轉(zhuǎn)，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及弧長公式，求出半

徑和圓心角是解題的關鍵，屬于基礎題.

4.（2021?鞍山二模）如圖，拋物線y=-7-2x+3與x軸交于A,C兩點，與y軸交于點3,

點P為拋物線上一動點，過點P作尸?！ˋB交y軸于。，若點P從點A出發(fā)，沿著直線

48上方拋物線運動到點B,則點0經(jīng)過的路徑長為（）

A.3B.9C.3D.9

242

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；拋物線與x軸的交點；軌跡.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【分析】分別求出點4、B的坐標，運用待定系數(shù)法求出直線AB,PQ的解析式，再求

出它們與x軸的交點坐標即可解決問題.

【解答】解：對于y=-%2-2r+3,

令1=0,則y=3,

：.B(0,3),

??,點A在點。的左側(cè)，

???A(-3,0),

設AB所在直線解析式為y=kx+b,

將A、B點代入得：「3k+b=0,

lb=3

解得：0=1,

lb=3

直線AB的解析式為：y=x+3,

"JPQ//AB,

...設PQ的解析式為：y^x+a,

?.?點。經(jīng)過的路徑長是直線PQ經(jīng)過拋物線的切點與y軸的交點和點B的距離的2倍,

方程-/-2x+3=x+a有兩個實數(shù)根，

.?.△=9-4(tz-3)=0,

解得：

4

：.Q（0,-21）,

4

當點P與點A重合時，點Q與點B重合時，此時點Q的坐標為（0,3）,

點。經(jīng)過的路徑長為2X（.-3）=_|,

故選：D.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線與直線的

交點問題，點Q經(jīng)過的路徑長是直線PQ經(jīng)過拋物線的切點與y軸的交點和點B的距離

的2倍是解題的關鍵.

5.（2021?長興縣模擬）如圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設備，根據(jù)它的原理設計了圖2的機械

設備，磨盤半徑0M=20CTH,把手M2=15C，〃，點O,M,。在同一直線，用長為135cm

的連桿將點。與動力裝置P相連（/尸。例大小可變），點P在軌道AB上來回滑動并帶

動磨盤繞點。轉(zhuǎn)動，OAJ_AB,04=80。".若磨盤轉(zhuǎn)動1周，則點P在軌道AB上滑過

的路徑長為（）

A.90cmB.150cmC,180cmD.lOncm

【考點】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】計算題；等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力；應用意識.

【分析】連接OP,求出。P的取值范圍，再求出外的取值范圍，即可得結(jié)論.

【解答】解：由題意可知OQ=OM+MQ=35c〃],PQ=135cm,

當。、0、P三點共線且。在線段OP左上方延長線上時，OP取得最小值，

此時OP=PQ-MQ-。仞=135-15-20=100cm；

當Q、。、P三點共線且Q在右下方線段OP上時，OP取得最大值，

此時OP=PQ+MQ+OM=135+15+20=110cm.

"JOALAP,04=80s,

.■?①當。P=170c，"時，AP=寸。評卜2={]702_802=15O（cm）；

②當OP=100a〃時，AP=71002-802=6°〈cm）.

?.?每轉(zhuǎn)一周，AP從最小值到最大值再到最小值，

，點尸的運動路徑長為：（150-60）X2=180（cm）.

故選：C.

【點評】本題考查點的運動軌跡，勾股定理，找出AP的最小值和最大值是解題的關鍵.

6.（2021?洪山區(qū)校級模擬）如圖，。0的直徑AB=12,弦CD垂直平分半徑OA,動點、M

從點C出發(fā)在優(yōu)弧C8。上運動到點。停止，在點M整個運動過程中，線段AM的中點

P的運動路徑長為（）

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理；軌跡.

【專題】動點型；與圓有關的計算；推理能力.

【分析】如圖，連接。C,設C。交AB于點E.首先證明在點M整個運動過程中，線段

AM的中點P的運動軌跡是圖中紅線，利用弧長公式求解即可.

【解答】解：如圖，連接OC,設CO交48于點E.

垂直平分線段OA,

：.CA=CO,

;OC=OA,

：.AC=OC=OA,

Z\AOC是等邊三角形,

：.ZCAE=60Q,

當點M與C重合時，連接PE,0P,

'JPA^PM,

：.OPLAM,

，NAPO=90°,

"：AE=EO,

；.EP=20A=3,

2

?.?尸E=AE=3,ZPAE=60Q,

.?.△ME是等邊三角形，

AZAEP=60°,

???在點M整個運動過程中，線段AM的中點尸的運動軌跡是圖中紅線，

運動路徑的長=24°兀畤=47T.

180

故選：B.

【點評】本題考查軌跡，弧長公式，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性

質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確尋找點P的運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.

7.（2021?永嘉縣校級模擬）圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設備，根據(jù)它的原理設計了圖2的機

械設備，磨盤半徑OM=20cm,把手MQ=15tro,點。，M,。成一直線，用長為135cw

的連桿將點。與動力裝置P相連（NPQM大小可變），點P在軌道48上滑動并帶動磨

盤點O轉(zhuǎn)動，OA_LA8,OA=SOcm.若磨盤轉(zhuǎn)動100周，則點P在軌道AB上滑動的路

徑長為（）

圖1圖2

A.180，"B.90m

C.200機D.（I0V473-50）m

【考點】軌跡.

【專題】動點型；解直角三角形及其應用；推理能力.

【分析】連接OP,求出。P的取值范圍.再求出用的取值范圍，可得結(jié)論.

【解答】解：連接。P.

圖2

由題意OQ=35cm,BQ=135。加，

?、1OOcmWOPW17007n

當OP=170cm時，

\'OA.LAP9QA=8(k7n,

AAP=VOP2-OA2=V1702-802=150(cm),

當OP=100c機時，AP=yj]0°202=60(cm),

60c〃?WAP<150cm,

???磨盤轉(zhuǎn)動100周，則點P在軌道AB上滑動的路徑長=100義2義(150-60)=18000

(cm)=180(加)，

故選：A.

【點評】本題考查軌跡，勾股定理等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識

解決問題.

8.(2021?海城市模擬)如圖，0。的半徑為1,弦AB=M，BC=gAB，8c在圓心。

的兩側(cè)，求眾上有一動點。，AE_L8。于點E,當點。從點C運動到點4時，則點E所

經(jīng)過的路徑長為()

A.3nB.|nC.嚕nD.哈

【考點】勾股定理；垂徑定理；軌跡.

【專題】數(shù)形結(jié)合；推理能力.

【分析】根據(jù)AEL8O于點E可知，點E在AB為直徑的圓上運動，然后由。的位置確

定E的起點和終點，根據(jù)弧長公式進行計算即可.

【解答】解：取A8的中點K,作4QLBC于。，作。G,8c于G,

在RtZkBOG中，ZOGB=90°,

V0B=\,BG=/BC=^，

；.cos/OBG=更-工1,

OB2

AZOBG=30°,

同理NABO=45°,

N4BQ=75°,

'：AE±BD,

.?.點E在以K為圓心，AK為半徑的圓上,

當。與C重合時，

E與Q重合，

當。與A重合時，

E與A重合，

...點E的運動路徑是弧AQ,

在RtZ\AB。中，NABQ=75°,

：.ZBAQ=\50,

；.NAKQ=150°,

故選：D.

【點評】本題是圓形軌跡問題，根據(jù)定角所對的弦是定長，確定點的運動路徑是解題的

關鍵，是一道綜合性較強的軌跡問題.

9.(2021?漂陽市一模)如圖，A(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),點P是AABC邊

上一動點，連接。尸，以OP為斜邊在O尸的右上方作直角三角形，其中NOQP=90°,

點Q運動的路徑長為（）

【考點】坐標與圖形性質(zhì)；含30度角的直角三角形；軌跡.

【專題】動點型；解直角三角形及其應用；幾何直觀.

【分析】如圖，由題意，點P在△ABC的三條邊上運動一周時，點Q運動的軌跡是△

MGH.利用相似三角形的性質(zhì)求出MG,GH,即可解決問題.

【解答】解：如圖，由題意，點尸在△ABC的三條邊上運動一周時;點。運動的軌跡是

/XMGH.

VA(-1,1),8(-1,4),C(-5,4),

；.AB=3,BC=4,AC=5,

..OM=OG=?,

NAOB=/MOG,

"OAOBV

zMOBs△仞OG,

?MG_0M_V3

??一一，，一—,

AB0A2

2_

同法可得，GH=?BC=2M，MH=^AC=^&,

222

...點2運動的路徑長=三通+2后至返=6b，

22

故選：D.

【點評】本題考查軌跡，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵

是正確尋找點。的運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.

二.填空題（共7小題）

10.（2021?清遠模擬）如圖，AB是。。的直徑，M、N是窟（異于A、B）上兩點，C是誦

上一動點，/AC8的角平分線交。。于點。，N54C的平分線交CQ于點E.當點C從

點M運動到點N時，則C、E兩點的運動路徑長的比是_亞_.

D

【考點】圓周角定理；軌跡.

【專題】推理填空題；圓的有關概念及性質(zhì)；運算能力；推理能力.

【分析】連接E8,設OA=r,作等腰直角三角形AO8,AD=DB,乙4。8=90°,則點

E在以。為圓心D4為半徑的弧上運動，運動軌跡是衣，點C的運動軌跡是誦，由題意

ZMON=2ZGDF,設NG。尸=a,則NMON=2a,利用弧長公式計算即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接E8,設。4=r,

c

是。。的直徑，

AZACB=90°,

VZACB的角平分線交。。于點D,NBAC的平分線交CD于點E.

：.E^/\ACB的內(nèi)心，

AZAEB=]35a,

作等腰直角三角形AOB，AD=DB,ZADB=90Q,

則點E在以D為圓心DA為半徑的弧上運動，運動軌跡是席，

點C的運動軌跡是右，由題意/MON=2/GOF,

設/GOF=a,則NM0N=2a,

2ax7rxr

...弧MN的長度：弧GF的長度=:?[叱廠=近.

ax兒xq2r

180

故答案為：V2-

【點評】本題考查了軌跡，圓周角定理，弧長公式，解決本題的關鍵是掌握與圓有關的

性質(zhì).

11.（2021春?東臺市月考）如圖，已知AB=12,點C,。在上，且AC=O8=2,點P

是線段CD上一動點，以AP、BP為斜邊在AB的同側(cè)畫等腰RtAAPE和等腰RtAPBF,

點G是線段EF的中點，點P由點C移動到點D時,EF的中點G移動的路徑長為4.

F

\

CDB

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；軌跡.

【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；推理能力；應用意識.

【分析】分別延長AE、BF交于點H,易證四邊形EPFH為平行四邊形.得出G為

中點，則G的軌跡為的中位線再求出CD的長，即可得到的長.

【解答】解：分別延長AE、BF交于點H,

,/Z\APE和△PBF為等腰直角三角形，

J.AH//PF,BH//PE,

/.四邊形EPFH為平行四邊形.

；G為EF中點，

；.G也為HP的中點，

即在P的運動過程中，G始終為PH的中點，

/.點G的軌跡為△HCQ的中位線MN,

VCD=AB-AC-BD=12-2-2=8.

:.MN=4.

故答案為：4.

【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形的中位

線的性質(zhì)、動點軌跡問題，綜合性較強，關鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的運用，屬于中考熱

點題.

12.（2021?沙坪壩區(qū)校級開學）如圖，把一個含有30°角的直角三角板ABC繞直角頂點C

順時針旋轉(zhuǎn)90°到△48iC,已知BC=2,則在旋轉(zhuǎn)過程中點A經(jīng)過的路徑長為

【考點】含30度角的直角三角形；弧長的計算；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】與圓有關的計算；解直角三角形及其應用：推理能力.

【分析】利用直角三角形30°的性質(zhì)求出AB=4,再利用勾股定理求出C4,利用弧長公

式求解即可.

【解答】解：在RtZ^ACB中，VZACB=90°,ZA=30°,BC=2,

.?.A8=28C=4,

：.AC=^AB2_BC2=^42_22=273,

.?.點A經(jīng)過的路徑長一90兀:陰=標,

180

故答案為：杼.

【點評】本題考查直角三角形30°角的性質(zhì)，勾股定理，弧長公式等知識，解題的關鍵

是記住弧長/=亞三.

180

13.（2021?江都區(qū)模擬）如圖，拋物線），="-&-&?的圖象與坐標軸交于點A,B,D,

-333

頂點為E,以A8為直徑畫半圓交y軸正半軸交于點C,圓心為例，P是半圓上的一動點,

連接EP,N是PE的中點.當尸沿半圓從點A運動至點B時，點N運動的路徑長是_&L_.

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；拋物線與x軸的交點；軌跡.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【分析】由二次函數(shù)關系式得出A,B,E的坐標，得出E在OM上，從而得出

得到N的運動路徑即可.

【解答】解：連接ME、MP,

Vy=_kr2-2r-竺

-333

(-2,0),B(4,0),￡(1,-3),

：.MA=MB=ME=3,

在0M上，

；N為PE的中點，ME=MP,

:.MNLPE,

；.N在以ME為直徑的半圓上運動，

【點評】本題以二次函數(shù)為背景考查了圓形路徑問題，通過計算發(fā)現(xiàn)E在圓上是解決問

題的關健.

14.(2021?江北區(qū)模擬)如圖，。0的半徑為1,肱AB=如,AC=BC，點尸為劣弧AC

上一個動點，延長BP至點Q,使8P?BQ=AB2,當點尸由點A運動到點C時，點。的

運動路徑長為

【考點】勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理；軌跡；相似三角

形的判定與性質(zhì).

【專題】與圓有關的計算；圖形的相似；推理能力.

【分析】連接AC、AQ,由得出從而判斷出點。在線

段AQ上運動，求出4。的長即可.

【解答】解：如圖，連接AC、AQ,

.BP_AB；

"AB"BQ"

:/B=NB,

:.ABAPSABQA,

；.NB/^=NBAQ,

...點Q在線段AQ上運動,

當點P與C重合時，

：AC=BC，

；.4C=BC,

：.AB=AQ,

AQ=

故答案為：V2-

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及圓心角、弧、弦的關系等知識,

判斷出點Q在線段AQ上運動是解題的關鍵.

15.(2021?杭州模擬)如圖,的半徑為5,弦AB=6,弦47_1_弦點尸為8的中

點，若點。在圓上逆時針運動的路徑長為五TT,則點P運動的路徑長為1T.

3

【考點】勾股定理；垂徑定理；軌跡.

【專題】動點型；圓的有關概念及性質(zhì)；推理能力.

【分析】如圖，連接。4,OB,AD,OP,OD,過點。作。H_LAB于H.證明△OHAg

△CPO(AAS),推出OP=AH=3,推出點P的運動軌跡是以。為圓心，0P為半徑的圓,

求出點。旋轉(zhuǎn)的角度即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接OA，OB,AD,OP,OD,過點。作。“LAB于從

ZDAC+ZADB=90°,

VZDOC^2ZDAC,ZAOB=2ZADB,

：.ZDOC+ZAOB=\SO0,

VOHVAB,DP=PC,

：.OPLCD,A”=HB=LB=3,

2

'：OA=OB=OC=OD,

：.NAOH=ZBOH,4cop=ZDOP,

/.ZAOH+ZCOP=90°,

；N4O4+/OAH=90°,

：.ZCOP=ZOAH,

:NAHO=NCPO=90°,OA=OC,

：./\OHA^/^CPO（AAS）,

：.0P=AH=3,

.?.點P的運動軌跡是以。為圓心，OP為半徑的圓，

?.?點。在圓上逆時針運動的路徑長為耳，設圓心角為n,

3

?n?兀?5—5打

1803

An=60°,

,：OD,OP的旋轉(zhuǎn)角度相等，

點P的運動路徑的長=60??！?=11.

180

故答案為：TT.

【點評】本題考查軌跡，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式等知識，解題

的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

16.（2021春?南潺區(qū)期末）如圖，已知有一張正方形紙片ABCZ）,邊長為9c加，點E,F分

別在邊CO,ABh,CE=2cm.現(xiàn)將四邊形3CEF沿EF折疊，使點3,C分別落在點

B',C,上當點B”恰好落在邊上時，線段BF的長為5cm：在點尸從點B運動到

點4的過程中，若邊尸片與邊AZ）交于點G,則點G相應運動的路徑長為15-8\萬cm.

T尸。

0【考點】正方形的性質(zhì)；軌跡；翻折變換（折疊問題）.

【專題】壓軸題；動點型；轉(zhuǎn)化思想；矩形菱形正方形；運算能力；推理能力；應用

意識.

【分析】連接BE、B'E,由翻折性質(zhì)得：BE=B'E,BF=B'F,在△8EC與△MOE中，由

勾股定理得8F=5cm；連接EG,并作G關于EF的對稱點G,連接EG,由對稱性知，

GE=GE,由點到直線垂線段最短知EG最小值為E”=9,從而DG最小值為^^2_?2=

啦,AG最大值為9-啦,再由于B,恰好落在邊AO上G、g重合時，AG=AB，=3,

故G點在AD上先向上再向下運動，即可得相應運動的路徑長為9-472-3+9-啦=

15-8&.

【解答】解：①當點夕恰好落在邊AD上時,

由翻折性質(zhì)得：BE=B,E,BF=BH

在△BEC與△8QE中，由勾股定理得：BEr=CE?+BC1=DE^+B'D1,

,:BC=9cm,CE=2cm,DE=1cm,

:?DB'=6cm,A8=3c,加，

設8/=沅〃?，則8'尸=配a，AF=(9-x)cm,

a122

：B'A+AF=B'F1

32+(9-x)2=7,

解得：x=5,

BF=5cm；

②如圖，連接EG,并作G關于E尸的對稱點G',連接EG',

過點E作EH1AB于H,

；點到直線垂線段最短，

EG'最小值為EH=9,

；/B=NC=NEHB=90°,

四邊形EH8C為矩形，

：.EH=BC=9,

，EG最小值為9,

'：DG2^EG2-ED2,

.??OG最小值為孰巧，

.?.AG最大值為9-472>

由①知，點8恰好落在邊4。上G、8,重合時，止匕時AG=48=3,

.?.點G相應運動的路徑長為9-472-3+9-孰歷=15-8M.

故答案為：5cm,15-8A/21

【點評】本題主要考查翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理知識，點到直線垂線段最短，

解題的關鍵是作G關于E尸的對稱點G',連接EG,將GE轉(zhuǎn)化為G'E.

三.解答題（共4小題）

17.（2021秋?婺城區(qū)校級月考）圖1是小李在健身器材上進行仰臥起坐鍛煉時情景.圖2

是小李鍛煉時上半身由EN位置運動到與地面垂直的位置時的示意圖.已知BC=0.64

米，AO=0.24米，a=18°.（參考數(shù)據(jù)：sinl8°弋0.31,cos!8°g0.95,tan18°弋0.32）

（1）求AB的長（精確到0.01米）；

（2）若測得EN=0.8米，試計算小明頭頂由N點運動到M點的路徑弧MN的長度.（結(jié)

【考點】軌跡；解直角三角形的應用.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

【分析】（1）作A尸，8c于R可得四邊形AOC尸是矩形，從而得出BF的長，再根據(jù)

AB=BF4-sinl8°計算即可；

（2）由/NEM=108°,代入弧長公式即可.

【解答】解：（1）作AELBC于F,

.?./AFB=/AFC=NAQC=90°,

二四邊形AOC尸是矩形，

：.FC=AD,

J.BF^BC-CF=BC-AD=0.64-0.24=0.4（米），

.*.AB=BF4-sinl80=0.4+0.32.29（米）

：.AB的長為1.29米；

（2）.：NNEM=90°+18°=108°,

弧長為l08X0.8兀=o或兀（米），

180-

小明頭頂由N點運動到M點的路徑弧MN的長度為0.4811米.

【點評】本題主要考查了解直角三角形的應用，矩形的判定，弧長公式等知識，構(gòu)造所

給銳角所在的直角三角形是解題的關鍵.

18.（2021?長沙模擬）如圖，已知在aABC中，4c=5,BC=12,AB=13,點E是邊AB

上一動點，EFLAC于點F,EDLBC于點。，點G為的中點.

（1）求證：四邊形8EF是矩形；

（2）當點E由點4運動到點B時，求點G的運動路徑長.

【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的判定與性質(zhì)；軌跡.

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得到/C=90°,根據(jù)矩形的判定定理證明結(jié)論；

（2）連接CE,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到點G為CE的中點，根據(jù)三角形中位線定理解答即

可.

【解答】(1)證明：：AC=5,8c=12,A8=13,

：.AC1+BC1=\6(),AB2=169,

:.AC2+HC2=AB2,

AZC=90°,

,：EFA,AC,ED±BC,

四邊形COEF是矩形；

(2)連接CE,

?.?四邊形CDEF是矩形，點G為尸。的中點,

...點G為CE的中點，

.?.點G的運動路徑是aABC的中位線，

，點G的運動路徑長=148=6.5.

2

【點評】本題考查的是點的軌跡、勾股定理的逆定理、矩形的判定，掌握矩形的判定定

理、點的軌跡的確定方法是解題的關鍵.

19.(2021?金華模擬)桔椽俗稱“吊桿”“稱桿”，如圖1,是我國古代農(nóng)用工具，桔梯始見

于(墨子?備城門)，是一種利用杠桿原理的取水機械.如圖2所示的是桔椽示意圖，OM

是垂直于水平地面的支撐桿，AB是杠桿，且48=5.4米，04OB=2；1.當點A位于

最高點時，NA0M=127°；當點A從最高點逆時針旋轉(zhuǎn)54.5°到達最低點4.(結(jié)果精

確到0.L"；參考數(shù)據(jù)：sin37°g0.6,sin17.5°g0.3,tan37°-0.8)

(1)求此時水桶8所經(jīng)過的路徑長；

(2)求此時水桶8上升的高度.

【考點】軌跡；解直角三角形的應用.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

【分析】（1）根據(jù)水桶B所經(jīng)過的路徑為圓心角度數(shù)為54.5度，半徑為1.8米的弧長，

代入計算即可；

（2）過。作EF_LOM,過B作8C_LEF于C,過81作8iO_LEF于。，在RtZkOBC中

和在RtZ\O8iO中，分別利用三角函數(shù)求出BC和的長即可.

【解答】解：（1）丫48=5.4米,OA：08=2：1,

08=1.8米，

水桶B所經(jīng)過的路徑為圓心角度數(shù)為54.5度，半徑為1.8米的弧長，

t,^54.5XJlX1,8^17（米）；

180

（2）過。作EF_LOM,過8作BCJ_EP于C,過81作Bi￡>_LEF于。，

；/AOM=127°,ZEOM=90°,

；.NAOE=37°,

：.ZBOC=ZAOE=31°,ZB\OD=ZA\OE=U.5°,

；OBi=OB=1.8（米）,

在Rt^OBC中，5C=sinNOC8XO3=sin37°XOB=?0.6X1.8=1.08（米），

在Rt^OBiO中，BiD=sinl7.5°XO8i*0.3X1.8=0.54（米），

ABC+B\D=1.08+0.54^1.6（米），

B

E

圖2

,此時水桶B上升的高度為1.6米.

【點評】本題主要考查了解直角三角形的應用，弧長公式等知識，讀懂題意，構(gòu)造直角

三角形是解題的關鍵.

20.(2020秋?金寨縣期末)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2,BC=4,NA8C=120°,

將平行四邊形繞點B順時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)得到平行四邊形8EFG.

(1)求點B到AO的距離；

(2)當點E落在4。邊上時，求點。經(jīng)過的路徑長.

【考點】勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【分析】(1)過點B作于H,在Rt/XABH中，8〃=sin60°X48代入計算即可；

(2)連接8。，BF,點E落在AD邊上,可證△ABE是等邊三角形，則a=60°,在Rt

中，利用勾股定理求出BD的長，代入弧長公式計算即可.

【解答】解：(1)如圖，過點B作BHLAZ)于H,

HED

???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,

：.ZA+ZABC=180°,

VZABC=nO0,

AZA=60°,

VZAHB=90°,

ABH=sin60°XA3=正；

(2)連接8￡),BF,

?二點