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*3垂徑定理第三章圓逐點(diǎn)學(xué)練本節(jié)小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)本節(jié)要點(diǎn)1學(xué)習(xí)流程2垂徑定理的推論知識(shí)點(diǎn)感悟新知1垂徑定理1.垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.特別提醒1.“垂直于弦的直徑”中的“直徑”,其實(shí)質(zhì)是:過圓心且垂直于弦的線段、直線均可.2.“兩條弧”是指弦所對(duì)的劣弧和優(yōu)弧或兩個(gè)半圓.感悟新知2.示例:如圖3-3-1,CD⊥AB
于點(diǎn)E,CD是⊙O
的直徑,那么可用幾何語(yǔ)言表述為感悟新知如圖3-3-2,弦CD
垂直于⊙O
的直徑AB,垂足為點(diǎn)H,且CD=2,BD=,則AB
的長(zhǎng)為()A.2B.3C.4D.5例1B感悟新知解題秘方:構(gòu)造垂徑定理的基本圖形解題.把半徑、圓心到弦的垂線段、弦的一半構(gòu)建在一個(gè)直角三角形里是解題的關(guān)鍵.解:連接OD,如圖3-3-2.∵CD⊥AB,CD=2,∴CH=DH=.感悟新知在Rt△BHD
中,由勾股定理,得BH=1.設(shè)⊙O的半徑為r,在Rt△OHD
中,OH2+HD2=OD2,即(r-1)2+()2=r2,解得r=.∴AB=3.利用勾股定理列方程感悟新知1-1.[中考·瀘州]如圖,AB
是⊙O
的直徑,OD垂直于弦AC于點(diǎn)D,DO
的延長(zhǎng)線交⊙O
于點(diǎn)E.若AC=4
,DE=4,則BC
的長(zhǎng)是()A.1
B.
C.2D.4C感悟新知如圖3-3-3,在⊙O
中,AB
為⊙O的弦,C,D
是直線AB
上的兩點(diǎn),且AC=BD.求證:△OCD
為等腰三角形.例2感悟新知解題秘方:構(gòu)建垂徑定理的基本圖形結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)證明.作垂直于弦的半徑(或直徑)或連半徑是常用的作輔助線的方法.感悟新知證明:過點(diǎn)O
作OM⊥AB,垂足為M,如圖3-3-3.∵OM⊥AB,∴
AM=BM.∵AC=BD,∴CM=DM.又∵OM⊥CD,∴OC=OD.∴△OCD
為等腰三角感悟新知2-1.如圖,已知在以點(diǎn)O
為圓心的兩個(gè)同心圓中,大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C,D.若大圓的半徑R=10,小圓的半徑r=8,且圓心O
到直線AB
的距離為6,求AC
的長(zhǎng).感悟新知知識(shí)點(diǎn)垂徑定理的推論感悟新知21.推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.感悟新知2.示例如圖3-3-4,CD
是⊙O
的直徑,AB
是弦(非直徑),AB與CD
相交于點(diǎn)E,且AE=BE,那么CD
垂直于AB,并且AC
=CB,AD=DB
.可用幾何語(yǔ)言表述為︵︵︵︵感悟新知拓寬視野對(duì)于圓中的一條直線,如果具備下列五個(gè)條件中的任意兩個(gè),那么一定具備其他三個(gè):(1)過圓心;(2)垂直于弦;(3)平分弦(非直徑);(4)平分弦所對(duì)的劣?。?5)平分弦所對(duì)的優(yōu)弧.簡(jiǎn)記為“知二推三”.感悟新知如圖3-3-5,AB,CD是⊙O
的弦,M,N
分別為AB,CD
的中點(diǎn),且∠
AMN=∠CNM.求證:AB=CD.例3解題秘方:緊扣弦的中點(diǎn)作符合垂徑定理推論的基本圖形,再結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明.感悟新知證明:如圖3-3-5,連接OM,ON,OA,OC.∵O為圓心,且M,N
分別為AB,CD
的中點(diǎn),∴AB=2AM,CD=2CN,OM⊥AB,ON⊥CD.∴∠OMA=∠ONC=90°.∵∠AMN=∠CNM,∴∠OMN=∠ONM.∴OM=ON.又∵
OA=OC,∴Rt△OAM≌Rt△OCN(HL).∴AM=CN.∴AB=CD.感悟新知3-1.如圖,⊙O
的弦AB=12,M
是AB
的中點(diǎn),且OM=2,則⊙O的半徑等于________.感悟新知如圖3-3-6,要把殘破的圓片復(fù)制完整.已知弧上的三點(diǎn)A,B,C,用尺規(guī)作圖找出ABC所在圓的圓心(保留作圖痕跡).解題秘方:緊扣垂徑定理的推論,利用垂直平分弦的直線經(jīng)過圓心來(lái)找圓心.例4︵感悟新知解:如圖3-3-6,連接AB,BC,分別作AB,BC的垂直平分線,兩條垂直平分線的交點(diǎn)即為所求圓的圓心.感悟新知4-1.一塊圓形宣傳標(biāo)志牌如圖所示,點(diǎn)A,B,C
在⊙O
上,CD
垂直平分AB
于點(diǎn)D.現(xiàn)測(cè)得AB=8dm,DC=2dm,則圓形標(biāo)志牌的半徑為_______.5dm感悟新知如圖3-3-7,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(AB),點(diǎn)O
是這段弧所在圓的圓心,點(diǎn)C
是AB的中點(diǎn),半徑OC
與AB相交于點(diǎn)D,AB=120m,CD=20m,求這段彎路所在圓的半徑.例5解題秘方:緊扣垂徑定理的推論,利用“平分弧,且經(jīng)過圓心”推出“垂直平分弦”,結(jié)合勾股定理求出半徑的長(zhǎng).︵︵感悟新知解:連接OB,如圖3-3-7.∵點(diǎn)C
是AB的中點(diǎn),∴
OC⊥AB,AD=BD=AB=60m.設(shè)OB=OC=rm,在Rt△OBD中,OB2=OD2+BD2,∴r2=(r-20)2+602,∴r=100,即這段彎路所在圓的半徑為1
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