山東省新2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

山東省新2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足（且），若，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線，且，則的最小值為()A． B．0 C． D．3．已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)與圓：的圓心重合，且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．34．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則的值等于（）A．2018 B．1009 C．1010 D．20206．已知，是兩條不重合的直線，是一個平面，則下列命題中正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則7．設(shè)i為數(shù)單位，為z的共軛復(fù)數(shù)，若，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，則（）A．2 B．5 C．1 D．310．已知正方體的體積為，點(diǎn)，分別在棱，上，滿足最小，則四面體的體積為A． B． C． D．11．已知等差數(shù)列的前n項和為，，則A．3 B．4 C．5 D．612．函數(shù)在上的圖象大致為()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．3張獎券分別標(biāo)有特等獎、一等獎和二等獎．甲、乙兩人同時各抽取1張獎券,兩人都未抽得特等獎的概率是__________．14．設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為45°的直線與雙曲線的兩條漸近線順次交于，兩點(diǎn)若，則的離心率為________．15．若滿足約束條件，則的最小值是_________，最大值是_________.16．如圖，兩個同心圓的半徑分別為和，為大圓的一條直徑，過點(diǎn)作小圓的切線交大圓于另一點(diǎn)，切點(diǎn)為，點(diǎn)為劣弧上的任一點(diǎn)（不包括兩點(diǎn)），則的最大值是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形且∥，側(cè)面為等邊三角形，且平面平面.（1）求平面與平面所成的銳二面角的大??；（2）若，且直線與平面所成角為，求的值.18．（12分）已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，對，恒有成立，求實數(shù)的最小值.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；（2）若在上單調(diào)遞增，且求c的最大值.20．（12分）已知函數(shù)，不等式的解集為.（1）求實數(shù)，的值；（2）若，，，求證：.21．（12分）某地在每周六的晚上8點(diǎn)到10點(diǎn)半舉行燈光展，燈光展涉及到10000盞燈，每盞燈在某一時刻亮燈的概率均為，并且是否亮燈彼此相互獨(dú)立.現(xiàn)統(tǒng)計了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時長（單位：），得到下面的頻數(shù)表：亮燈時長/頻數(shù)1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時長作為一盞燈的亮燈時長.（1）試估計的值；（2）設(shè)表示這10000盞燈在某一時刻亮燈的數(shù)目.①求的數(shù)學(xué)期望和方差；②若隨機(jī)變量滿足，則認(rèn)為.假設(shè)當(dāng)時，燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計，在一場燈光展中，處于最佳燈光亮度的時長（結(jié)果保留為整數(shù)）.附：①某盞燈在某一時刻亮燈的概率等于亮燈時長與燈光展總時長的商；②若，則，，.22．（10分）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，其面積記為，滿足.（1）求；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式，進(jìn)而求出，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)論.【詳解】依題意有，①，②①②得，又因為，所以，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì)，要熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法，屬于中檔題.2、D【解析】

運(yùn)用輔助角公式，化簡函數(shù)的解析式，由對稱軸的方程，求得的值，得出函數(shù)的解析式，集合正弦函數(shù)的最值，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)為輔助角，由于函數(shù)的對稱軸的方程為，且，即，解得，所以，又由，所以函數(shù)必須取得最大值和最小值，所以可設(shè)，，所以，當(dāng)時，的最小值，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中利用三角恒等變換的公式，化簡函數(shù)的解析式，合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.3、A【解析】

由已知，圓心M到漸近線的距離為，可得，又，解方程即可.【詳解】由已知，，漸近線方程為，因為圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為，所以圓心M到漸近線的距離為，故，所以離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的問題，涉及到直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.4、B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計算出，然后再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念直接寫出即可.【詳解】由，所以其共軛復(fù)數(shù).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，難度較易.5、C【解析】

首先，根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)所求函數(shù)的周期性，得到其周期為4，然后借助于三角函數(shù)的周期性確定其值即可．【詳解】解：．，，的周期為，，，，，．．故選：C【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識，掌握輔助角公式化簡函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．6、D【解析】

利用空間位置關(guān)系的判斷及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.【詳解】解：選項A中直線，還可能相交或異面，選項B中，還可能異面，選項C，由條件可得或．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法求出，然后計算．【詳解】，∴．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．8、C【解析】

求導(dǎo)，先求出在單增，在單減，且知設(shè)，則方程有4個不同的實數(shù)根等價于方程在上有兩個不同的實數(shù)根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，解得，，故當(dāng)時，，當(dāng)，，且，故方程在上有兩個不同的實數(shù)根，故，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個數(shù).其方法：(1)構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)(易求，可解)，轉(zhuǎn)化為確定的零點(diǎn)個數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(或變化趨勢)等，畫出的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解；(2)定理法：先用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù).9、B【解析】

由函數(shù)為奇函數(shù),則有,代入已知即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查奇偶性在抽象函數(shù)中的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.10、D【解析】

由題意畫出圖形，將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面，可得當(dāng)時最小，設(shè)正方體的棱長為，得，進(jìn)一步求出四面體的體積即可．【詳解】解：如圖，

∵點(diǎn)M，N分別在棱上，要最小，將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面，三線共線時，最小，

∴

設(shè)正方體的棱長為，則，∴．

取，連接，則共面，在中，設(shè)到的距離為，

設(shè)到平面的距離為，

.

故選D．【點(diǎn)睛】本題考查多面體體積的求法，考查了多面體表面上的最短距離問題，考查計算能力，是中檔題．11、C【解析】

方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以.故選C．方法二：因為，所以，則.故選C．12、A【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得；【詳解】解：依題意，，故函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，排除C；而，排除B；，排除D.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識別，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用排列組合公式進(jìn)行計算,再利用古典概型公式求出不是特等獎的兩張的概率即可.【詳解】解:3張獎券分別標(biāo)有特等獎、一等獎和二等獎,甲、乙兩人同時各抽取1張獎券,則兩人同時抽取兩張共有：種排法排除特等獎外兩人選兩張共有：種排法.故兩人都未抽得特等獎的概率是：故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.14、【解析】

設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得到A點(diǎn)坐標(biāo)，由得，，代入可得，即得解.【詳解】由題意，直線的方程為，與聯(lián)立得，，由得，，從而，即，從而離心率．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.15、06【解析】

作不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果．【詳解】作出可行域，如圖中的陰影部分：求的最值，即求直線在軸上的截距最小和最大時，當(dāng)直線過點(diǎn)時，軸上截距最大，即z取最小值，．當(dāng)直線過點(diǎn)時，軸上截距最小，即z取最大值，.故答案為：0；6.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中的最值問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法，屬于中檔題．16、【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，從而可得、，，，然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，再根據(jù)輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則、，由，且，所以，所以，即又平分，所以，則,設(shè)，則，，所以，所以，，所以的最大值是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、利用向量解決幾何問題，同時考查了輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）分別取的中點(diǎn)為，易得兩兩垂直，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，易得為平面的法向量，只需求出平面的法向量為，再利用計算即可；（2）求出，利用計算即可.【詳解】（1）分別取的中點(diǎn)為，連結(jié).因為∥，所以∥.因為，所以.因為側(cè)面為等邊三角形，所以又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以兩兩垂直.以為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，則，，.設(shè)平面的法向量為，則，即.取，則，所以.又為平面的法向量，設(shè)平面與平面所成的銳二面角的大小為，則，所以平面與平面所成的銳二面角的大小為.（2）由（1）得，平面的法向量為，所以成.又直線與平面所成角為，所以，即，即，化簡得，所以，符合題意.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量坐標(biāo)法求面面角、線面角，涉及到面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，做好此類題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，是一道中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）求得，根據(jù)已知條件得到在恒成立，由此得到在恒成立，利用分離常數(shù)法求得的取值范圍.（2）構(gòu)造函數(shù)設(shè)，利用求二階導(dǎo)數(shù)的方法，結(jié)合恒成立，求得的取值范圍，由此求得的最小值.【詳解】（1）因為在上單調(diào)遞增，所以在恒成立，即在恒成立，當(dāng)時，上式成立，當(dāng)，有，需，而，，，，故綜上，實數(shù)的取值范圍是（2）設(shè)，，則，令，，在單調(diào)遞增，也就是在單調(diào)遞增，所以.當(dāng)即時，，不符合；當(dāng)即時，，符合當(dāng)即時，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，，使，有時，，在單調(diào)遞減，時，，在單調(diào)遞增，成立，故只需即可，有，得，符合綜上得，，實數(shù)的最小值為【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.19、（1）見解析（2）2【解析】

（1）將代入可得,令,則,設(shè),則轉(zhuǎn)化問題為與的交點(diǎn)問題,利用導(dǎo)函數(shù)判斷的圖象,即可求解；（2）由題可得在上恒成立,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可得,則,即,再設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值,則,進(jìn)而求解.【詳解】（1）當(dāng)時,,定義域為,由可得,令,則,由,得；由,得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則的最大值為,且當(dāng)時,；當(dāng)時,,由此作出函數(shù)的大致圖象,如圖所示.由圖可知,當(dāng)時,直線和函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn),即函數(shù)有兩個零點(diǎn)；當(dāng)或,即或時,直線和函數(shù)的圖象有一個交點(diǎn),即函數(shù)有一個零點(diǎn)；當(dāng)即時,直線與函數(shù)的象沒有交點(diǎn),即函數(shù)無零點(diǎn).（2）因為在上單調(diào)遞增,即在上恒成立,設(shè),則,①若,則,則在上單調(diào)遞減,顯然,在上不恒成立；②若,則,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,故,單調(diào)遞減,不符合題意；③若,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,所以,由,得,設(shè),則,當(dāng)時,,單調(diào)遞減；當(dāng)時,,單調(diào)遞增,所以,所以,又,所以,即c的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題,考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值,考查運(yùn)算能力與分類討論思想.20、（1），.（2）見解析【解析】

（1）分三種情況討論即可（2）將，的值代入，然后利用均值定理即可.【詳解】解：（1）不等式可化為.即有或或.解得，或或.所以不等式的解集為，故，.（2）由（1）知，，即，由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立.故，即.【點(diǎn)睛】考查絕對值不等式的解法以及用均值定理證明不等式，中檔題.21、（1）（2）①，,