恒成立與有解問題

學(xué)員編號：年級：課時數(shù)：學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：授課類型恒成立與有解問題授課日期及時段教學(xué)內(nèi)容恒成立問題【知識梳理】函數(shù)的內(nèi)容作為高中數(shù)學(xué)知識體系的核心，也是歷年高考的一個熱點(diǎn).函數(shù)類問題的解決最終歸結(jié)為對函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)思想的應(yīng)用.恒成立問題，在高中數(shù)學(xué)中較為常見.這類問題的解決涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.〔一〕恒成立問題根本類型1：先別離參數(shù)，再求函數(shù)的最值〔或值域〕假設(shè)不等式在區(qū)間上恒成立,那么等價于:在區(qū)間上,函數(shù)假設(shè)不等式在區(qū)間上恒成立,那么等價于:在區(qū)間上,函數(shù)例1：〔1〕設(shè)實(shí)數(shù)滿足，假設(shè)恒成立，那么的取值范圍是______〔2〕不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍_____〔3〕的取值范圍______〔4〕的取值范圍______.例2．(07上海)函數(shù)〔1〕判斷函數(shù)的奇偶性；〔2〕假設(shè)在區(qū)間是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例3：〔08年上?！场泊祟}共有2個小題，第1小題總分值8分，第2小題總分值8分.函數(shù)f(x)=.假設(shè)f(x)＝2，求x的值；假設(shè)對于t∈［1，2］恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.變式訓(xùn)練：函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，又，假設(shè)對所有的都成立，求的取值范圍.〔二〕恒成立問題根本類型2：對一些不能把參數(shù)放在一側(cè)的，可以利用對應(yīng)函數(shù)的圖象法求解〔數(shù)形結(jié)合〕例4：，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。變式訓(xùn)練：假設(shè)對任意R,不等式≥ax恒成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是〔〕a＜-1(B)≤1(C)＜1〔D〕a≥1〔三〕恒成立問題根本類型3：一次函數(shù)型——利用單調(diào)性求解給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a≠0),假設(shè)y=f(x)在[m,n]內(nèi)恒有f(x)>0，那么根據(jù)函數(shù)的圖象〔線段〕〔如以下圖〕可得上述結(jié)論等價于ⅰ〕，或ⅱ〕可合并定成同理，假設(shè)在[m,n]內(nèi)恒有f(x)<0，那么有nmnmoxynmoxy例5．對于滿足|a|2的所有實(shí)數(shù)a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范圍.變式訓(xùn)練：假設(shè)不等式對滿足的所有都成立，那么的取值范圍_____〔四〕恒成立問題根本類型4：二次函數(shù)型——利用判別式,韋達(dá)定理及根的分布求解，而對于二次函數(shù)在某一區(qū)間上恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在此區(qū)間上的最值問題對于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在實(shí)數(shù)集R上恒成立問題可利用判別式直接求解，即f(x)>0恒成立；f(x)<0恒成立.假設(shè)是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識求解，往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在此區(qū)間上的最值問題更簡捷。例6．〔1〕假設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍.假設(shè)函數(shù)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例7：函數(shù)，在R上恒成立，求的取值范圍.變式訓(xùn)練1：假設(shè)時，恒成立，求的取值范圍.變式訓(xùn)練2：假設(shè)時，恒成立，求的取值范圍.變式訓(xùn)練3：函數(shù)〔1〕是否存在實(shí)數(shù)a使得時，恒成立〔2是否存在實(shí)數(shù)a使得時，恒成立例8：定義在R上的單調(diào)函數(shù)滿足且對任意的，都有求證是奇函數(shù)假設(shè)對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍【穩(wěn)固練習(xí)】1、假設(shè)不等式對一切恒成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍2、函數(shù)在上，恒成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍3、不等式在上恒成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍4、函數(shù)，假設(shè)時，恒成立，那么實(shí)數(shù)b的取值范圍5、函數(shù)在區(qū)間上恒有，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍6、關(guān)于x的不等式，當(dāng)0≤x≤1時恒成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為.7、假設(shè)不等式x2＋ax＋1≥0對于一切x∈(０，EQ\f(1,2)］成立，那么a的最小值是().

Ａ.０Ｂ.－２Ｃ.－EQ\f(5,2)Ｄ.－３8、如果函數(shù)y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=對稱，那么a=〔〕.A.1B.-1C.D.-.9、對滿足的一切的值，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；10、函數(shù)，．〔I〕求的最大值和最小值；〔II〕假設(shè)不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．方程、不等式有解問題〔存在性問題〕關(guān)于方程的實(shí)數(shù)解的問題方程有解的問題實(shí)際上是求函數(shù)零點(diǎn)的問題，判斷方程有幾個解的問題實(shí)際上就是判斷函數(shù)有幾個零點(diǎn)的問題，這類問題通常有以下處理方法：一、直接法通過因式分解或求根公式直接求方程的根，此法一般適合于含有一元二次〔三次〕的整式函數(shù)，或由此組合的分式函數(shù)。例1函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為〔〕A.0B.1C.2D.3二、圖象法對于不能用因式分解或求根公式直接求解的方程，可以先轉(zhuǎn)化為方程，再在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)和的圖象，兩個圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是原函數(shù)的零點(diǎn)，有幾個交點(diǎn)原函數(shù)就有幾個零點(diǎn)。此法一般適合于函數(shù)解析式中既含有二次函數(shù)，又含有指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)的函數(shù)類型。例2、方程的實(shí)數(shù)解的個數(shù)是例3、設(shè)函數(shù)=，那么關(guān)于x的方程有7個不同的實(shí)數(shù)解的充要條件是〔〕ABCD例4、關(guān)于x的方程，給出以下4個命題存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有2個不同的實(shí)根〔2〕存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有4個不同的實(shí)根〔3〕存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有5個不同的實(shí)根〔4〕存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有8個不同的實(shí)根其中真命題是例5、假設(shè)方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。三、別離參數(shù)法例6、關(guān)于x的方程在內(nèi)有解，求k的取值范圍。變式訓(xùn)練：假設(shè)關(guān)于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是〔〕A.B.C.D.〔二〕、關(guān)于不等式能成立問題假設(shè)在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,那么等價于在區(qū)間上；假設(shè)在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,那么等價于在區(qū)間上的.例7、假設(shè)關(guān)于的不等式的解集不是空集，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．變式訓(xùn)練：不等式有解，求的取值范圍。例8、對于不等式，存在實(shí)數(shù)，使此不等式成立的實(shí)數(shù)的集合是M；對于任意，使此不等式恒成立的實(shí)數(shù)的集合為N，求集合．變式訓(xùn)練：〔1〕對一切實(shí)數(shù)x,不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍?！?〕假設(shè)不等式有解，求實(shí)數(shù)a的范圍?！?〕假設(shè)方程有解，求實(shí)數(shù)a的范圍。例9、設(shè)不等式的解集為，如果，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例10、假設(shè)不等式x2+ax-2>0在區(qū)間[1,5]上有解，那么a的取值范圍為〔〕A.B.C.D.〔三〕、關(guān)于函數(shù)與方程、不等式有解問題利用函數(shù)處理方程解的問題，方法如下：〔1〕方程在區(qū)間上有解(別離參數(shù)法)與的圖象在區(qū)間上有交點(diǎn)方程在區(qū)間上有幾個解與的圖象在區(qū)間上有幾個交點(diǎn)例11、是實(shí)數(shù)，函數(shù)如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例12、函數(shù)假設(shè)函數(shù)在其定義域上有兩個不同的零點(diǎn)，求m的取值范圍假設(shè)函數(shù)在〔1，2〕上有且僅有一個零點(diǎn)，求m的取值范圍〔3)在〔1，3〕上，函數(shù)是否存在兩個不同的零點(diǎn)，假設(shè)存在求m的取值范圍；假設(shè)不存在說明理由?！痉€(wěn)固練習(xí)】一．選擇題1.函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為〔〕A.0B.1C.2D.32.函數(shù)的零點(diǎn)為,那么所在區(qū)間為〔〕A.B.C.D.3.函數(shù)的零點(diǎn)，且常數(shù)分別滿足，，那么〔〕A.B.C.D.4.，，假設(shè)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，那么有〔〕A.B.C.D.5.對實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“”：設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是〔〕A.B.C.D.6.設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，對任意的，都有，且當(dāng)時，，假設(shè)在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有三個不同的實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是〔〕A.B.C.D.7.函數(shù)滿足：①定義域?yàn)?；②對任意，都有；③?dāng)時，.那么方程在區(qū)間內(nèi)的解個數(shù)是〔〕A.20B.12C.11D.108.假設(shè)函數(shù)滿足,當(dāng)時,,假設(shè)在區(qū)間上,有兩個零點(diǎn),那么實(shí)數(shù)的取值范圍是〔〕B.C.D.9.方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，那么的取值范圍為〔〕A.B.C.D.10.設(shè)為整數(shù)，方程在區(qū)間〔0,1〕內(nèi)有兩個不同的根，那么的最小值為〔〕A.-8B.8C.12D.13111、函數(shù)，那么函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)不可能是〔〕A.3B.4C.5D.6二.填空題12.關(guān)于的方程只有正實(shí)數(shù)的解，那么的取值范圍是